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1、基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a, b 在 R，贝U a2 +b2 2ab2、基本不等式一般形式(均值不等式)3、基本不等式的两个重要变形2.2(2)若 a,b R，贝U aba b _2右 a,b R，则 a b _ 2 ab(1)若a,b R*,则以芝面2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值;(2)若 a,b R* ,则 abcUT一 .2当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值;特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取=”4、求最值的条件:5、常用结论(1)当且仅当X=1时取=”)(2)当且仅当X = -1时取=)(3)(4)(5)a,b
2、R，则ab不蛭)2a, b w R*,贝u 1a b2,2.a b_2JWF22特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取 6、柯西不等式(1) 若 a,b,c,d 在 R，则(a2 +b2)(c2 +d2) Kac + bd)2(2) 若 a,a2,a3,b1,b2,b3 wr，则有：(a； +a22 +332)(1灯2 +b22 +b32)芝(ag +a?b2 +a3bs)2(3) 设 a,a2, ,an与b1,b2, *bn 是两组实数，则有 (a；+a22 + +an2)(b；+b22 + +bn2)芝(讪+a2b2 + +antn)2、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、
3、设a,b均为正数，证明不等式:面21 1a ba,b, c为两两不相等的实数，求证： a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a +b +c =1，求证：a2 +b2 +c2 2 13a,b,c匕 R且 a *b*c = 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c)兰8abc1112、已知3、已知4、已知已知 a,b,cR，且 a+b+c=1,求证：.一1 1 1 倍8 abc6、选修4 5:不等式选讲1设 a,b,c均为正数，且 a +b + c =1,证明：(i) ab + bc + ca 壬一；( 32,22a b c n)1.b c a7、选 修45：不等式选 讲： 已知a占b
4、 A0，求证：2a3 b3 N 2ab2 a2b题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域,、21（1） y =3x 22x2(2) y=x(4x)，、1，(3) y =x+-(x A0) x题型三：利用不等式求最值1、已知（一）（凑项）4 x2，求函数y=2x-4十的最小值;2x4变式1:变式2:- 4，-=2x +的取小值；2x - 4- 4，-=2x +的取大值；2x -45练习：1、已知x一，求函数y =4x 2 + 1 的取小值;44x -552、已知 x一，求函数 y=4x2 +的取大值；44x5题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当04时，求y =x（82x）的最大
5、值；变式1：当。时，求y =4x（8 2x）的最大值；3变式2：设0x 一，求函数y=4x（3 2x）的最大值。22、若 0x 2,求 y = Jx（6 - 3x）的最大值；变式：若0x4,求y = * x（8 -2x）的最大值；1 53、求函数y =、2x-1 +p52x（- x -）的取大值；（提示：平方，利用基本不等式）2 2变式：求函数y =t4x-3+/11 -4x（，0, a +2b =2，求t = +上的最小值； a b2 8.一 . .变式2：已知x,yA0, +=1，求xy的取小值；变式3 :已知x,yA0，且=9，求x+y的最小值。 x y19变式4：已知x,yA0,且一+
6、 = 4,求x + y的最小值；x y变式5：（1）若x, y 0且2x + y =1，求1 +1的最小值；（2）若a, b, x, y在R*且-=1,求x+y的最小值;x yx y变式6：已知正项等比数列 坛 晶足：a?=而+2a5，若存在两项am, a”，使得jama4ai,求1 + 4的最小值; m n题型六：分离换元法求最值（了解）22-, x ，7x“10 x ，8, 1、求函数 y=（x#1）的值域；变式： 求函数 y=（x1）的值域；x 1x 1x 2. x 12、求函数y= 的最大值；（提示：换元法）变式：求函数y= 的最大值；2x 54x 9题型七：基本不等式的综合应用 a
7、_ b .1、已知log2a+log2b 21，求3+9的最小值2、（2009天津）已知a,b0，求1十+2j0b的最小值；211变式1 ： （2010四川）如果a a b0 ,求关于a, b的表达式a + +的最小值；ab a（a-b）变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 a0,a# 1时，函数y = loga（x1）+1的图像恒过定点 A ,若点A在直线mx -y +n =0上，求4m +2n的最小值；3、已知 x, y0 , x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值；变式1：已知a,b0，满足ab=a+b+3，求ab范围；变式2： （2010山东）已知x,y0, 1+1 = 1,
8、求xy最大值；（提示：通分或三角换元）2 x 2 y 322变式3： （2011浙江）已知x,y0 , x +y +xy=1，求xy最大值；4、（2013年山东（理）设正实数x, y,z满足x2 3xy+4y2 z=0, 则当 我取得最大值时，2+ 2的最大值为（1）zx y z（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）2变式：设x, y, z是正数，满足x-2y+3z=0,求匕的最小值；xz题型八：利用基本不等式求参数范围1、（2012沈阳检测）已知x, y0，且（x + y）（【+旦）芝9恒成立，求正实数a的最小值；x y2、已知xyAzA0且恒成立，如果nN二求n的最大值；（参考：
9、4） x y y _z x z（提示：分离参数，换元法）1 4变式：已知a,b0洒则+ =2,若a+b芝c恒成立，求c的取值范围；a b题型九：利用柯西不等式求最值 1、二维柯西不等式（a,b,c,d 七 R,当且仅当 a =b ；即 ad =bc 时等号成立）若 a,b,c,d R,则（a?+b2）（c2 + d2） N （ac+bd）2 c d2、二维形式的柯西不等式的变式（1）、a2 十 b2 Jc2 十 d2 Zac+bd , （a,b,c,dwR,当且仅当 a =b ；即 ad=bc 时等号成立）c d（2）Va2+b2 Zc2+d2 芝 ac +|bd （a,b,c,dR，当且仅当
10、-；即 ad =bc 时等号成立）c d2 a b（3）（a+b）（c+d）芝3ac+、；bd ） , （a,b,c,d 芝0,当且仅当一=；即 ad=bc时等号成立）c d3、二维形式的柯西不等式的向量形式a书4a P ,（当且仅当 = 0,或存在实数k,使一 =顷时，等号成立）4、三维柯西不等式4._.222、. .2. 2. 2、.、2右 a ,a2,a3,b,b2,b3 亡 R，则有：（a +a2 十一3 ）（上 +b2 +炽）芝（aQ+a2b2+a3b3）（ai, b3 R,当且仅当色=堂=一3时等号成立） 灯b2b35、一般n维柯西不等式设 a,a2,an 与 bi,b2,bn 是
11、两组实数，则有：（a12+a22+，+an2）（bi2+b22+，+bn2）N（a1bi+a2b2+i，+anbn）2佰山WR,当且仅当色=堂=,一L时等号成立）灯 炫bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, z 亡 R，若 x2 +y2 +z2 =4，贝U x 2y +2z 的最小值为 时，(x, y, z) = 析：(x-2y+2z)2 (x2 + y2+z2)12+(-2)2+22 =4x9 =36 ,x2y+2z最小值为-6此时 f 土琴=12 (一2)2 22 =5-2x =34-4y=_, z =332、设x, y, z在R , 2x - y 2z = 6
12、，求x2 + y2 + z2的最小值m，并求此时x, y, z之值。.一 、，424、Ans : m =4; (x, y,z)=(，一一，一)3 333、 设 x, y, z w R , 2x 3y +z = 3 ,求 x2 +(y 1)2 + z2之最小值为 ，此时 y =(析：2x -3y - z =3：= 2x -3(y -1) z =0 )4、 （2013 年湖南卷（理）已知 a,b,cw,a+2b+3c=6，则 a2+4b2+9c2 的最小值是（ Ans: 12）5、（2013年湖北卷（理）设 x, y,z R,且满足：x2 + y2 +z2 =1, x + 2y +3z =V14
13、,求 x + y + z的值；6、 求2sin8 + J3cos8sinecosBcose的最大值与最小值。（Ans :最大值为242，最小值为 一2寸2）析：构造法：令 a =（2sin 6, J3cosq - cosB）, b=（1, sin8, cos。）3 、通过活动，使学生养成博览群书的好 *习惯。B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。VC采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。XC采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。VC成本报表是对外报告的会计报表。XC成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。XC成本会计的对象是指成本核算。xC成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。VC成本计算方法中的最基本的方法是分步法。XD当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本中。xD定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。xF “废品损失”账户月末没有余额。VF废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。XF分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。（V）G容月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错G工
