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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 高中数学函数基础知识汇总 1.函数的单调性 (1) 设 2121 ,xxbaxx那么 1212 ()()()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是增函数； 1212 ()()()0 xxf xf xbaxf xx xfxf ,)(0 )()( 21 21 在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果 0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 ,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减 函 数 ; 如 果 函 数)
2、(ufy和)(xgu在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 )(xgfy是增函数 . 2.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图 象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函 数是偶函数 注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶 函数，则)()(axfaxf. 注： 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是 函数 2 ba x; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直
3、线 2 ba x对称 . 注 ： 若)()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0 , 2 ( a 对 称 ; 若 )()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 3.多项式函数 1 10 ( ) nn nn P xa xaxa的奇偶性 多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零. 23. 函数( )yf x的图象的对称性 (1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax (2)( )faxf x. (2)
4、 函数( )yf x的图象关于直线 2 ab x对称()()f amxf bmx ()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性 (1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线 2 ab x m 对称 . (3) 函数)(xfy和)( 1 xfy的图象关于直线y=x 对称 . 25. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位， 得到曲线0),(byaxf的图
5、 象. 5.互为反函数的两个函数的关系 abfbaf)()( 1 . 27. 若 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为)( 11 bxf k y , 并 不 是 )( 1 bkxfy , 而函数)( 1 bkxfy 是)( 1 bxf k y的反函数 . 6.几个常见的函数方程 (1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)fxyf xf yfc. (2) 指数函数( ) x f xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )log a f xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa.
6、 (4) 幂函数( )f xx , ()( )( ),(1)f xyf x fyf. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y， 0 ( ) (0)1,lim1 x g x f x . 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a； （2）0)()(axfxf， 或)0)( )( 1 )(xf xf axf， 或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x, 或 21 ( )( )(),( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, 则)
7、(xf的周期 T=2a； (3)0)( )( 1 1)(xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf且 1212 ( )1()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则 )(xf的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a； (6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂 (1) 1 m n
8、nm a a （0,am nN，且1n）. (2) 1 m n m n a a （0,am nN，且1n） . 9.根式的性质 （1）() nn aa. （2）当n为奇数时， nn aa； 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . 10.有理指数幂的运算性质 (1)(0, ,) rsrs aaaar sQ. (2)()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba babrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数
9、式与对数式的互化式 log b a Nba N ( 0,1,0)aaN . 34. 对数的换底公式 log log log m a m N N a (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglog m n a a n bb m (0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则 若 a0，a1，M 0，N0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2)logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 注： 设函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , 记acb4 2 . 若)(xf
10、的定义域为 R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要 单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论 若 0a , 0b , 0 x , 1 x a , 则函数log()axybx (1) 当a b时 , 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为增函数 . (2)(2)当a b时, 在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log() ax ybx为减函数 . 推论 :设 1nm ， 0p ， 0a ，且 1a ，则 （1）log()log m pm npn. （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn. 读
11、书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 习题集：函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大， 考查内容和形式灵活 多样 .本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力， 掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力. 难点 ( )设函数 f(x)的定义域为R，对任意实数x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时 f(x)0. (1)求 f( 2 1 )、f( 4 1 ); (2)证明 f(x)是周期函数； (3)记 an=f(n+ n2 1 ),求).(ln limn n a 命题意图：本题主要考查函数概念，图象
12、函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识， 还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)=f(x1)f(x2)找到问题 的突破口 . 错解分析：不会利用f(x1+x2)=f(x1)f(x2)进行合理变形 . 技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为 ) 2 () 2 () 2 () 22 ()( x f x f x f xx fxf是解决 问题的关键 . (1) 解：因为对x1,x2 0, 2 1 ,都有 f(x1+x2)=f(x1) f(x2),所以 f(x)= ) 2 () 22 ( x f xx f 0, x 0,1
13、又因为 f(1)=f( 2 1 + 2 1 )=f( 2 1 )f( 2 1 )=f( 2 1 ) 2 f( 2 1 )=f( 4 1 + 4 1 )=f( 4 1 )f( 4 1 )=f（ 4 1 ） 2 又 f(1)=a0 f( 2 1 )=a 2 1 ,f( 4 1 )=a4 1 (2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1 对称，故f(x)=f(1+1 x),即 f(x)=f(2x),xR. 又由 f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xR f( x)=f(2 x),xR. 将上式中 x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是 R 上的周期函数，且2 是它的一个 周
14、期 . (3)解：由 (1)知 f(x)0,x 0,1 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 f( 2 1 )=f(n n2 1 )=f( n2 1 +(n1) n2 1 )=f( n2 1 )f(n1) n2 1 ) = =f( n2 1 )f( n2 1 ) f( n2 1 ) =f( n2 1 ) n=a2 1 f( n2 1 )=a n2 1 . 又 f(x)的一个周期是2 f(2n+ n2 1 )=f( n2 1 ),因此 an=a n2 1 .0)ln 2 1 ( lim )(ln lim a n a n n n 一、选择题 1.( )函数 y=x+a 与 y=logax 的图象
15、可能是( ) 2.( )定义在区间 ( ,+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间 0，+) 的图象与f(x)的图象重合，设ab0,给出下列不等式： f(b) f(a)g(a)g(b) f(b)f(a)g(b) g(a) f(a)f(b)g(b)g(a) 其中成立的是( ) A.与B.与C.与D.与 二、填空题 3.( )若关于 x 的方程 2 2x+2xa+a+1=0 有实根， 则实数 a 的取值范围是 _. 三、解答题 4.( )设 a 为实数，函数f(x)=x 2+|xa|+1,xR. (1)讨论 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的最小值 . 5.( )设 f(x)= x
16、 x x1 1 lg 1 1 . (1)证明： f(x)在其定义域上的单调性； (2)证明：方程f -1(x)=0 有惟一解； (3)解不等式fx(x 2 1 ) 0. 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 求证：) 2 1 () 13 1 () 11 1 () 5 1 ( 2 f nn fff. 7.( )某工厂拟建一座平面图(如下图 )为矩形且面积为200 平方米的三级污水 处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 米，如果池外周壁建造单价为每米400 元， 中间两条隔墙建造单价为每米248 元，池底建造单价为每平方米80 元(池壁厚度忽略不计， 且池无盖 ). (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域. (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价. 8.()已知函数f(x)在 ( ,0)(0,+ )上有定义，
