《19.1 变量与函数》课件（2课时）

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1、19.1 函数,第十九章 一次函数,第1课时 常量与变量,19.1.1 变量与函数,学习目标,1. 认识变量、常；,2.学会用含一个变量的式子表示另一个变量.,谁知在去看电影的途中，王红突然问到：,（1）我们乘坐的汽车有多快呀！如果是以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s（千米）， 行驶时间 为了t（小时），请填下面的表：,若行驶t小时， 则行程为 ，试用含 t 的式子表示s？,60,120,300,t,60t,情景导入,（2）在电影院售票大厅处，贴了一张公示：每张电影票 售价为10元: 班长张亮想我们班有50人，那买50张票吧，就要付_元买票，清点人数后，发现才到48人，那就只要买48

2、张票，应付 元，假设我们一共去了 x 人，则要买 x 张票，就应付 y 元，那我们怎样用含 x 的式子表示y 呢?,500,480,1. 每张电影票售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出310张. 三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元.怎样用含x的式子表示 y ？,(2) 关系式为：y=10 x,(1) 早场电影票收入：15010=1500元,日场电影票收入：20510=2050元,晚场电影票收入：31010=3100元,合作探究,活动：探究变量与常量及确定两个变量之间的关系,【1】弹簧秤：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察

3、并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律.如果弹簧原长10cm,每1kg重物使弹簧伸长0.5cm（提示：弹簧伸长长度 = 0.5 重物的质量； 受力后的弹簧长度 = 弹簧原长 + 弹簧伸长长度）.,看完电影回家的途中，李明看到一群小朋友正在玩游戏：,设重物质量为m kg，受力后的弹簧长度为Lcm,怎样用含 m 的式子表示 L ?,10+0.5 m,0.5m,10+0 =10,10+0.5 = 10.5,10+5 =15,m,0,0.5,5,【2】玩变形金钢（如下图）：用周长为86cm的变形金钢围成长方形.试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面

4、积的值，探索它们的变化规律.设长方形的长为 x cm，则宽为 cm,面积为 S cm2 .问：怎样用含 x 的式子表示 S？,10,x,43- x,330,13,390,20,460,x(43 x),43 - x,归纳: 产生常量与变量的前提条件: 怎样区分问题中的常量与变量:,看量的数值是否改变,在一个变化过程中，我们称数值发生改变 的量为变量，称数值始终不变的量为常量.,有变化过程,知识要点,例1 指出下列关系式中的常量与变量（1）在圆的周长公式c=2r中， 常量是,变量是； （2）n边形的内角和y（度）与边数n之间的关系式为y=(n - 2) 1800， 常量是,变量是； （3）球的表面

5、积S(cm2)与球的半径（cm）的关系式是S=4 2 中，常量是 , 变量是；,c 与 r,S 与 r,y 与 n,4 ,2 与1800,2 ,例2 阅读并完成下面一段叙述：,某人持续以a米分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是,变量是.,s米的路程不同的人以不同的速度a米分各需跑的时间为t分，其中常量是,变量是.,根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论.,在不同的条件下，常量与变量是相对的,a,t，s,s,a,t,例3 如下图ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边CB向点B运动时（点C与点B不重合），三角形的面积发生了变化.,(1)在这个变化过程中，常量是 ， 变量是

6、； （2）如果三角形的底边BC的长为 x cm ，那么三角形的面积 为 y cm2,用含x的式子表示y:； （3）当BC的长从12cm 变化到3cm 时，三角形的面积为 从cm2到cm2,6,三角形的底边BC的长与三角形的面积,y= 6x 即 y= 3 x,解：(3) 当x=12时，y=36; 当x=3时，y=9.,36,9,通过这节课的学习我获得了哪些知识？哪些学习方法？,知识收获：,过程与方法：,通过实例分析，从而理解变量与常量,1、理解了什么是变量和常量；2、怎样区分变量 与常量； 3、初步了解变量与常量具有相对性；,课堂小结,19.1 函数,第十九章 一次函数,第2课时 函数,19.1

7、.1 变量与函数,学习目标,1.经过练习,观察,认识变量中的自变量与函数.,2.会写出函数关系式,会求函数值.,3.会确定自变量取值范围.,1.国家为了提高农村学生营养水平，每天补助学生营养午餐费3元/人.某中学八（2）班有学生60人，则每天国家需补助 元；该中学共有学生325人，则每天国家补助了 元.设学生数为x（人），国家补助金额为y（元），则y= .,在这个变化过程中，通过计算可以发现： （1） 随 的变化而变化; （2）每当学生数x取定一个值时，国家补助金额y就 .,180,975,3x,国家补助金额y,学生数x,有唯一确定的对应值,情景导入,2.因营养午餐产生了大量垃圾，学校要新建一

8、个垃圾池.规划中的垃圾池平面图是周长为10米的长方形，设长方形一边长为x米，则另一边长为（5-x）米，面积S（米2）与长方形的一边长x的关系式为S=x(5-x),完成下表：,4,6,6.25,6,在这个变化过程中，通过填表可以发现： （1） 随 的变化而变化; （2）每当长方形一边长x取定一个值时，面积S就 .,面积S,一边长x,有唯一确定的对应值,3.患有“乳糖不耐症”的同学不能饮用某些品种的牛奶.有位同学饮用某品种牛奶后感到不适，下图是该同学体检时的心电图.图中点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.,生物电流y,在这个变化过程中，通过观察图形可以发现： （1

9、） 随 的变化而变化； （2）每当时间x取定一个值时，心脏的生物电流y就 .,有唯一确定的对应值,生物电流y,时间x,在上面的每个问题中： 1.每个变化的过程中都存在着（ ）变量； 2.两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就( ).,两个,有唯一确定的对应值,自主学习,一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数 如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值,阐述概念,最早给出函数概念明确定义的是詹姆斯格雷戈里。1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列

10、代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。” 1775年数学家欧拉又给出一个新的函数定义：如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。 函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间，经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程，才逐步形成了今天的函数概念。 1859年我国清代数学家李善兰翻译代数学一书 时首先用“函数”一词翻译“function”一词，他解释说： “凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古代用天、 地、人、物表示未知数。李善兰译代数学中有“凡式 中含天，为天之函数”这样的语句。 函数思想，是指用函数的概

11、念和性质去分析问题、 转化问题和解决问题。,李善兰,追根溯源,例如，在“营养午餐”问题中，国家补助金额 y（y=3x）随学生数x的变化而变化，其中学生数x是自变量，补助金额y是x的函数.当x=60时的函数值y=180，当x=325时的函数值y=975.据统计，赣县农村中小学学生数约为70000人，那么国家每天大约需补助 元.,210000,注意： 其中在变化过程中居于主导地位的变量叫做自变量， 随之变化的另一个变量叫做自变量的函数（因变量）.,函数与函数值的区别：函数是变量，函数值是确定了自变量时函数所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.,知识要点,例1 下列问题中哪些量是自变量

12、？哪些量是自变量的函数?试写出用自变量表示函数的式子.,（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.,（2）秀水村的耕地面积是106m2 ,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.,_是自变量，_是_的函数，,关系式是 .,_是自变量，_是_的函数，,关系式是 .,x,S,x,S=x2 (x0),n,y,n,(n为正整数）,2.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.,1. 函数关系式,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数关系式,也称为函数的解析式.,合作探究,活动：探究函数的关系式及自变量的取值范围,分

13、式有意义的条件是：,分母不等于零；,整式有意义的条件是：,字母取全体实数；,二次根式有意义的条件是：,被开方数为非负数.,知识要点,（1） y3x （2） yx29 （3） y= （4） y,（1）x为任意实数（或全体实数）；,（3）由x-30 得x3；,（4）由2x-80得x4.,解：,（2） x为任意实数；,例2 求下列函数关系式中自变量x的取值范围：,巧记自变量的取值范围： 分式分母不为零， 偶次根下负不行； 零次幂底数不为零， 整式、奇次根全能行.,例3 为了让学生吃上放心、健康的营养午餐，某贫困县营养办要求食品公司必须用专车定期配送.该公司的一辆配送专车油箱中有汽油50L，如果不再加

14、油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.,（1）写出表示y与x的函数关系的式子；,（2）指出自变量x的取值范围；,（3）县城至某乡村中学路程为50 km，该汽车从县城往返该县乡村中学配送一次牛奶后油箱中还有多少油？,（4）汽车行驶多少km时，油箱中还有15L油？,解:(1) 函数关系式为: y = 500.1x,(2) 由x0及500.1x 0得0 x 500 自变量x的取值范围是: 0 x 500,(3)当 x = 100时,函数 y 的值为:y=500.1100=40,因此,该汽车配送一次牛奶后油箱中还有40L油.,（4）当函数

15、y=15时，有15= 500.1x ，解得自变量x=350， 所以当汽车行驶350km时，油箱中还有15L油.,表示函数关系的式子叫函数解析式,1.怎样列函数解析式?,(1)对于一些简单问题的函数解析式，往往可以通过利用已有的公式列出.,例如:底边一定,三角形的面积随高的变化而变化. (a已知).,怎样列函数解析式?,(2)一些实际问题的函数解析式,先找出自变量x与函数y之间的等量关系,列出关于x, y的二元一次方程,然后用x表示y,最后还要考虑数量的实际意义,2.本题函数计算问题有两种： 第一种已知自变量的值求函数值； 第二种反过来已知函数值求自变量的值，实质上是解方程的问题.,一、知识 函数的定义及有关概念，如自变量、函数值等.函数是描述变化中的数量关系的数学工具.,二、能力 1.能正确辨别两个变量是否具有函数关系，分清函数关系中的自变量与函数； 2.能列出实际问题中的函数解析式，知道函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）; 3.能确定函数自变量的取值范围.,三、思想方法 1.函数思想；2.数形结合思想；3.观察思考、比较归纳.,课堂小结,