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1、第5章 金属(自由)电子论,金属:导电、导热、延展、光亮、易加工。 金属晶体都是密排结构，提高结合能。 面心立方：Ag Au Cu Al Ni Pb 六方密集：Be Mg Zn Ca 少数体心立方：Li Na K Rb Cs Cr Mn W 金属原子配位数很多，超过其价电子数。价电子形成非局域电子，因此每个原子有很多空轨道，因此，非局域电子移动容易，近似于自由电子。 汤姆逊发现电子，提出电子在电场作用下运动，形成电流。同时气体分子运动论也已成熟。,5.1 经典的金属自由电子论,5.1.1 特鲁德模型(示意图) 为了说明导电、导热等物理现象。 金属由正离子和电子组成，满壳层电子与原子核构成原子实
2、，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成自由电子气体。 服从玻尔兹曼统计：e-h/kT，在外电场作用下服从牛顿运动定律。 每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差较大。,金属自由电子模型（钾）,1 电子气浓度 势垒限制电子逸出,其中NL为单胞数，na为单胞中原子数，Z为价电子数，a3为单胞体积，为元素密度，NA为阿伏加德罗常数，M为原子量，典型值为10221023个/cm3,电子势垒模型,5条假设,1. 独立电子假设 ：忽略电子-电子之间的库仑排斥力 2. 自由电子假设：电子速度各向同性，电子和离子碰撞，忽略电子-离子的库仑吸引力。 3.
3、 碰撞假设：碰撞后电子方向随机，速度只与温度有关，单个电子的平均能量为： 4. 驰豫时间近似(relaxation time approximation) 电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔，1/ 为碰撞概率，平均自由程(mean free path)：l=v。在无外力作用时，电子的平均集体运动速度按照exp(-T/ )的方式趋于0，弛豫时间与电子速度和位置无关。 5 . 隐含假设：电子是经典粒子（当时没有量子力学）,直流电导,金属电子的平均自由程,金属的比热,特鲁德模型认为金属中电子具有经典理想气体分子的运动特征，它们遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有三个自由度，每个自由度有kBT/2的平均
4、能量，共有3 kBT/2内能，电子气比热CV=3kBn/2,在高温下相当于晶格振动的比热,这与实验不相符。 从经典理论来看，只能说明电子没有热运动，直接动摇了经典电子运动论。 量子力学和费米统计规律建立后，这一矛盾才解决。并在此基础上建立了新的金属电子理论。,作业1,特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的贡献.,补充,薛定谔方程简介,补充：倒易格点与晶格及电子波函数的关系,边长为L的金属中，电子以波长(Na/nx + Na/nx +Na/nx)的平面简谐波存在。,晶格常数为a的简立方,晶格常数b为2/a
5、的倒易格点。 b对应面间距。 最大的 k，对应波长为2a。 最小的 k，对应波长为L。 K越小，所对应波长越长。,b,补充资料：三维晶格情况下的波矢,示意图,说 明,电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。 故k的取值为lb/n，即l2/na时，意味着电子波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面波与晶面垂直。 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比
6、驻波的要求更加宽松。,5.2 索末菲自由电子论,前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自度等于半整数的粒子费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。 这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推动了电子自旋概念的确立。 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基础上，提出电子服从某一统计规律，后来称为费米狄喇克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）,5.2.1 索末菲自由电子气模型,独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米狄喇克统计分布
7、 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电子的薛定谔方程。,平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内，需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。,L=Na,5.2.2 单电子的本征态和本征能量,1.电子气的本征态,第一种解法：驻波解,该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。,通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。 金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、 ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。,第二种解法：行波解,它是自由电子波函数，是前进的平面波，称为行波解,波矢k,由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。,其中,图2.5 K空间的状态分布,作业2,1. 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁德模型的区别. 2.写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界条件推导金属中电子的能量.说明量子化成立的条件.,思考题： 电子运动的波函数与晶格振动的波函数的异同。 整体运动还是单电子运动，有多少种振动模式。,
