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1、第2节直接证明与间接证明,最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.,知 识 梳 理,1.直接证明,待证结论,已知条件,原因,结果,待证结论,充分条件,结果,产生这一结果的原因,已知,可知,未知,必要条件,未知,需知,已知,充分条件,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义：一般地，由证明pq转向证明： 綈qrt t与_矛盾，或与_矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法,假设,某个真命题,(2)用反证
2、法证明的一般步骤：分清命题的条件和结论；做出与命题结论相矛盾的假定；由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.,微点提醒,1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件. 2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法. 3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)分析法是从要证明的
3、结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.() (2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.() (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.() (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.(),解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件. (2)应假设“ab”. (3)反证法只否定结论. 答案(1)(2)(3)(4),2.(选修22P65B2改编)对于任意角，化简cos4 sin4 () A.2sin B.2cos C.sin 2 D.cos 2 解析因为cos4 sin4 (cos2 sin2 )(cos2 sin2
4、)cos2 sin2 cos 2，故选D. 答案D,答案A,4.(2019昆明调研)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是(),解析a2aba(ab)，a0，a2ab. 又abb2b(ab)0，abb2， 由得a2abb2. 答案B,5.(2019厦门月考)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是() A.假设a，b，c都是偶数 B.假设a，b，c都不是偶数 C.假设a，b，c至多有一个偶数 D.假设a，b，c至多有两个偶数 解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确. 答案B,答案,考
5、点一综合法的应用典例迁移,【例1】 (经典母题)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：,证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca， 得a2b2c2abbcca. 由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，,当且仅当“abc”时等号成立.,证明因为abc1， 所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac， 因为2aba2b2，2bcb2c2，2aca2c2， 所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)， 所以1a2b2c22(a2b2c2)，,规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条
6、件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.,【训练1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.,(1)求证：a，b，c成等差数列；,证明(1)由已知得sin AsinBsin Bsin C2sin2 B， 因为sin B0，所以sin Asin C2sin B， 由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列.,考点二分析法,而上述不等式显然成立，故原不等式成立.,规律方法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，
7、而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.,只需证a25aa25a6， 只需证06，,考点三反证法 【例3】 设an是公比为q的等比数列.,(1)推导an的前n项和公式； (2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.,(1)解设an的前n项和为Sn， 则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn， 两式相减得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，,(2)证明假设数列an1是等比数列， 则(a11)(a31)(a21)2，,因为an是等比数列，公比为q，,所以a1(1q2)2a1q， 即q22q10，(q1)2
8、0，q1， 这与已知q1矛盾， 所以假设不成立，故数列an1不是等比数列.,规律方法1.适用范围：当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证. 2.关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.,【训练3】 若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(ab)，则称函数f(x)是a，b上的“四维光军”函数.,由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，,因为b1，所以b3.,解得ab，这与已知矛盾.,思维升华,分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.,易错防范 1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论. 2.在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.,
