《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第5章 均匀平面波在无界空间中的传1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第5章 均匀平面波在无界空间中的传1（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第5章 均匀平面波在无界空间中的传播在上一章中，我们从麦克斯韦方程出发，导出了电场强度和磁场强度所满足的波动方程，本章我们将讨论电磁波的传播规律与特点。我们从最简单的均匀平面波着手，所谓均匀平面波是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场强度和磁场强度的方向、振幅和相位都保持不变。例如沿直角坐标系的方向传播的均匀平面波，在和所构成的横平面上无变化，如图5.1.1所示。图5.1.1 均匀平面波均匀平面波是电磁波的一种理想情况，它的特性及讨论方法简单，但又能表征电磁波重要的和主要的性质。虽然这种均匀平面波实际上并不存在，但讨论这种均匀平面波是具有实际意义的。因
2、为在距离波源足够远的地方，呈球面的波阵面上的一小部分就可以近似看作一个均匀平面波。本章首先讨论在无界理想介质中均匀平面波的传播特点和各项参数的物理意义，然后讨论有耗媒质中均匀平面波的传播特点，最后讨论各向异性媒质中均匀平面波的传播特点。5.1 理想介质中的均匀平面波5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数假设所讨论的区域为无源区，即、，且充满线性、各向同性的均匀理想介质，现在我们来讨论均匀平面波在这种理想介质中的传播特点。首先考虑一种简单的情况，假设我们选用的直角坐标系中均匀平面波沿方向传播，则电场强度和磁场强度都不是和的函数，即，同时，由和，有，再根据和的波动方程，可得到，这表明沿方向传播的均
3、匀平面波的电场强度和磁场强度都没有沿传播方向的分量，即电场强度和磁场强度都与波的传播方向垂直，这种波又称为横电磁波（TEM波）。对于沿方向传播的均匀平面波，电场强度和磁场强度的分量、和、满足标量亥姆霍兹方程 （5.1.1） （5.1.2） （5.1.3） （5.1.4）上述四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因而它们的解的形式也相同。下面只对方程（5.1.1）及其解进行讨论。方程（5.1.1）的通解为 （5.1.5）其中、，、分别为、的幅角。写成瞬时表达式，则为 （5.1.6）5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 式（5.1.5）的第一项代表沿方向传播的均匀平面波，第二项代表
4、沿方向传播的均匀平面波。对于无界的均匀媒质中只存在沿一个方向传播的波，这里讨论沿正方向传播的均匀平面波，即 （5.1.7）瞬时表达式为 （5.1.8）可见，场分量既是时间的周期函数，又是空间坐标的周期函数。图5.1.2 的曲线图5.1.3 的曲线在常数的平面上，随时间作周期性变化。图5.1.2给出了的变化曲线，这里取。为时间相位，则表示单位时间内的相位变化，称为角频率，单位为。由得到场量随时间变化的周期为 （5.1.9）它表征在给定的位置上，时间相位变化的时间间隔。 （5.1.10）为电磁波的频率。在任意固定时刻，随空间坐标作周期性变化，图5.1.3给出了的变化曲线。为空间相位，所以波的等相位
5、面（波阵面）是为常数的平面，故称为平面波。表示波传播单位距离的相位变化，称为相位常数，单位为。在任意固定时刻，空间相位差为的两个波阵面之间的距离称为电磁波的波长，用表示，单位为。由可得到 （5.1.11）由于，又可得到 （5.1.12）可见电磁波的波长不仅与频率有关，还与媒质参数有关。由式（5.1.11）可得到 （5.1.13）图5.1.4 几个不同时刻的图形所以的大小也表示在的空间距离内所包含的波长数，所以又将称为波数。电磁波的等相位面在空间中的移动速度称为相位速度，或简称相速，以表示，单位为。图5.1.4给出了在几个不同时刻的图形，对于波上任一固定观察点（譬如波峰点），其相位为恒定值，即常
6、数，于是，由此得到均匀平面波的相速为 （5.1.14）由于，所以又得到 （5.1.15）由此可见，在理想介质中，均匀平面波的相速与频率无关，但与媒质参数有关。在自由空间 、，这时 （5.1.16）为自由空间的光速。利用麦克斯韦方程，可得到电磁波的磁场表达式。由，有 （5.1.17）其瞬时表示式为 （5.1.18）其中 （5.1.19）是电场的振幅与磁场的振幅之比，具有阻抗的量纲，故称为波阻抗。由于的值与媒质的参数有关，因此又称为媒质的本征阻抗（或特性阻抗）。在自由空间中（） （5.1.20）由式（5.1.17）可知磁场与电场之间满足关系 （5.1.21）或者写为 （5.1.22）由此可见，电场
7、、磁场与传播方向之间相互垂直，且遵循右手螺旋关系，如图5.1.5所示。在理想介质中，由于，所以有 （5.1.23）这表明，在理想介质中，均匀平面波的电场能量密度等于磁场能量密度。因此，电磁能量密度可表表示为 （5.1.24）在理想介质中，瞬时坡印廷矢量为 （5.1.25）平均坡印廷矢量为 （5.1.26）由此可见均匀平面波电磁能量沿波的传播方向流动。图5.1.5 理想介质中均匀平面波的和x yzEoH综合以上的讨论，可将理想介质中的均匀平面波的传播特点归纳为：（1）电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波）；（2）电场与磁场的振幅不变；（3）波阻抗为实数，电场与磁场同相位；（4）
8、电磁波的相速与频率无关；（5）电场能量密度等于磁场能量密度。例5.1.1 频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿方向传播，其电场。已知该媒质的相对介电常数、相对磁导率，且当、时，电场幅值为。（1）求的瞬时表示式；（2）求的瞬时表示式。解：（1）设的瞬时表示为式中 rad/m对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。因此，考虑条件、时电场达到幅值，有所以 （2）的瞬时表示式为式中 因此 例5.1.2 频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为。若磁场的振幅为，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。解：由题意、因此 例5.1.3 自由空间中平面波的电场强度，求在
9、处垂直穿过半径的圆平面的平均功率。解：电场强度的复数表示式为自由空间的本征阻抗为故得到该平面波的磁场强度于是，平均坡印廷矢量 垂直穿过半径的圆平面的平均功率 5.1.4沿任意方向传播的均匀平面波我们知道均匀平面波的传播方向与等相位面垂直，在等相位面内任一点的电磁场的大小和方向都是相同的，这些都与坐标系的选择无关。前面讨论了沿坐标轴方向传播的均匀平面波，这里讨论均匀平面波沿任意方向传播的一般情况。图5.1.6 沿任意方向传播的均匀平面波 图5.1.6所示为沿任意方向传播的均匀平面波，传播方向的单位矢量为。定义一个波矢量，其大小为相位常数、方向为，即 （5.1.27）式中、为的三个分量。沿方向传播
10、的均匀平面波是一种特殊情况，其波矢量为设空间任意点的矢径为，则，因此可将沿方向传播的均匀平面波表示为式中是一个常矢量，其等相位面为常数的平面。对于沿方向传播的均匀平面波，等相位面是垂直于的平面，其方程为常数对照沿方向传播的情况可知，沿任意方向传播的均匀平面波的电场矢量可表示为 （5.1.28）而且由，可以得到，这表明电场矢量的方向垂直于传播方向。与式（5.1.28）相应的磁场矢量可表示为 （5.1.29）例5.1.4频率的均匀平面波，在、的无损耗媒质中传播。已知、。求：（1）传播方向；（2）和。解：（1） （2）由 ，得到 m5.2电磁波的极化5.2.1极化的概念前面在讨论沿方向传播的均匀平面
11、波时，假设。在任何时刻，此波的电场强度矢量的方向始终都保持在方向。一般情况下，沿方向传播的均匀平面波的和分量都存在，可表示为 （5.2.1） （5.2.2）合成波电场。由于和分量的振幅和相位不一定相同，因此，在空间任意给定点上，合成波电场强度矢量的大小和方向都可能会随时间变化，这种现象称为电磁波的极化。电磁波的极化是电磁理论中的一个重要概念，它表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。若该轨迹是直线，则波称为直线极化；若轨迹是圆，则称为圆极化；若轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。前一节讨论的均匀平面波就是沿方向极化的线极化波。合成波的极化形式
12、取决于和分量的振幅之间和相位之间的关系。为简单起见，下面取的给定点来讨论，这时式(5.2.1)和式(5.2.2)写成为 （5.2.3） （5.2.4）5.2.2 直线极化若电场的分量和分量的相位相同或相差，即或时，则合成波为直线极化波。当时，可得到合成波电场强度的大小为 （5.2.5）合成波电场与轴的夹角为 （5.2.6）由此可见，合成波电场的大小虽然随时间变化，但其矢端轨迹与轴夹角始终保持不变，如图5.2.1所示，因此为直线极化波。对的情况，可类似讨论。从以上讨论可以得出结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的线极化波，当它们的相位相同或相差为时，其合成波为线极化波。图5.2.1 直线极化在工程上，常将垂直于大地的直线极化波称为垂直极化波，而将与大地平行的直线极化波称为水平极化波。例如，中波广播天线架设与地面垂直，发射垂直极化波。收听者要得到最佳的收听效果，就应将收音机的天线调整到与电场平行的位置，即与大地垂直；电视发射天线与大地平行，发射平行极化波，这时电视接收天线应调整到与大地平行的位置, 我们所见到的电视共用天线都是按照这个原理架设的。5.2.3圆极化波若电场的分量和分量的振幅相等
