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1、大学物理学,第五章 刚体力学基础,刚体是一种特殊的质点系，刚体力学包括刚体运动学和动力学。,根据刚体运动的特点，建立刚体定轴转动运动学。,重新定义描述定轴转动刚体运动状态的动力学量 刚体的角动量。,把质点系的相应结论应用于刚体这个特殊的质点系，可以得到定轴转动刚体相应的动力学规律。,主要包括：,一、刚体 平动和转动,1、刚体,定义: 在外力作用下，形状和大小保持不变的的物体称为 刚体；是一种特殊的质点系。,特点：刚体上的任两点间的距离始终保持不变。,刚体是实际物体的理想模型。,刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种运动称为刚体的平动。,特征：刚体上各个质点的位移、速度、加速度相等。,刚体上
2、任一点的运动规律代表刚体的平动规律。,2、刚体的平动,刚体上的各个质点绕同一直线做圆周运动。,定轴转动：转轴在空间的位置固定不动的转动。,1）各点的角位移、角速度、角加速度相同。 2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。,特征：,平面运动：也称为滚动 。,刚体上任一点作圆周运动的规律代表了刚体定轴转动的规律。,视为车轮轴在垂直轴方向的平动和绕车轮轴的转动的叠加。,2、刚体的转动,二、刚体定轴转动的角量描述,平均角速度：,角速度： （矢量）,角加速度：（矢量）,角位移:,规定沿 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。,角位置：,刚体定轴转动的运动学方程。,定轴转动只有两个转动方向。,刚体作匀
3、变速转动时，相应公式如下：,角量与线量的关系：,线速度与角速度之间的矢量关系为:,由于在定轴转动中轴的位置不变，故 只有沿轴的正负两个方向，可以用代数值代替。,例题1一半径为R = 0.1m 的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的变化关系为 = ( 2 + 4 t 3 ) rad ，式中 t 以秒计。试求： 1）在 t = 2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速度的大小。2）当角 为多大时，该质点的加速度与半径成 45 o。,解 1）,( 舍去 t = 0 和 t = - 0.55 ),此时砂轮的角位置：,当t = 2s 时,2）加速度与半径成450时有,即,解 1） 棒做变加速运动
4、：,例题2 一细棒绕O点自由转动，并知 , L 为棒长。 求: 1） 棒自水平静止开始运动， = / 3 时, 角速度 ? 2）此时端点A 和中点B 的线速度为多大?,一、刚体的动能,当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。,整个刚体的动能,一般刚体动能 ：,刚体绕定轴的转动惯量,转动动能,2 、转动惯量的计算：, 若质量离散分布： （质点，质点系）, 若质量连续分布：,其中：,1、定义： 刚体对转轴的转动惯量刚体中每个质元的质量与该质元到转轴的距离平方的乘积的总和。,二、转动惯量的计算,（描述刚体转动惯性大小的物理量）,SI单位：kg . m 2,例
5、题1 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心轴的转动惯量。,解： 设线密度为；,例题2 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴的转动惯量。,取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,解： 设面密度为。,例题3 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解 1）取A 点为坐标原点。在距A 点为x 处取dm= dx 。,2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。,2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。,刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定;,3、平行轴定理,若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距
6、为d，刚体对该轴的 转动惯量为J，则有：,例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。,4、垂直轴定理,设一薄板，过其上一点作 z 轴垂直于板面，x、y轴在平板面内，若在薄板上取一质元mi ，则有,三、作用于刚体的力对转轴的力矩,刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P ，且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢。,有两个方向，可用正负表示。,方向：,1）若力不在转动平面内,将力分解为径向、横向和沿转轴方向的三个分量。,产生的力矩垂直于转轴，它在转轴上的投影为零。,2） 当有n 个力作用于刚体，则,对转轴的合外力矩等于各力对转轴力矩的代数和。,3） 刚体的内力对转轴的力矩,刚体的内力
7、对转轴的 力矩的矢量和等于零。,四、刚体的定轴转动定律,在定轴转动的刚体的P点任取一质元。,质量为mi ， 此质元所受的外力为 ，内力为 ，均在转动平面内。,由牛顿第二定律得:,建立自然坐标系，得到切向和法向分量方程：,法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。,切向,法向,由于各质元的角加速度均相同，则,刚体的定轴转动定律,刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体上所有外力对该轴力矩的代数和。,对切向方程两边同乘以ri，可得,1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。,2、M 一定：作用不同刚体上，J 大时， 小时， 转速不宜 改变，转动惯性大。反之，J 小
8、，转动惯性小。 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。,3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。 应用时应注意以下问题：, 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。, 选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、 角速度的正负。,类比, 当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用 隔离法解题。 对转动物体应用转动定律建立方 程， 对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。,例题4 质量为m 1、半径为R 的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m 2 的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m 2 的下落加速度a 和 滑轮转动的角加速度。,联合解得：,关联方程,解 对m 1 分析力矩；取滑轮转动方向为正方向。,对m 2
9、分析受力。取向下为正方向。,由转动定律,由牛顿运动定律,例题6 一刚体由长为 l ，质量为m 的均匀细杆和质量为m 的小球组成，且可绕O 轴在竖直平面内转动， 且 轴处无摩擦。求: 1） 刚体绕轴O 的转动惯量。 2）若杆自水平静止开始运动杆与竖直方向成角时, 小球的角速度。,解 1）,2）取逆时针转动为正方向，杆与竖直方向成角时，合外力矩:,分离变量积分得:,小球的法向加速度 ：,由转动定律:,五、 力矩的功和功率,力矩功的表达式,由功的定义式:,1） M 恒定时,2） 内力矩做功为零。,如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为,- 合外力矩,各外力矩做功所做的总功为合外力矩对刚体所
10、做的功。,根据功率的定义，力矩的功率可表示为,六、定轴转动刚体的动能定理,定轴转动的动能定理,设定轴转动刚体受到的合外力矩为M，根据转动定律,合外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。,八、刚体系统的机械能守恒定律,其中 ，刚体的重力势能为 。,当 时，,刚体的重力势能等于全部质量集中于质心处的质点的重力势能 。,七、刚体的重力势能,刚体的重力势能,刚体中各质元的重力势能的总和称为定轴转动刚体的重力势能。,一、刚体对定轴的角动量,一个以角速度 绕 OZ 轴转动的均匀细棒,均匀细棒对OZ 轴 的角动量：,刚体对某定轴的角动量等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积。,刚体对定轴的角动量,二、
11、刚体的角动量定理,作用在刚体上沿转轴方向的合外力矩等于刚体绕此轴的角动量随时间的变化率。,作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。,刚体定轴转动时，当转动惯量J 不变时，转动定律 可表示为,例题1 一棒长为l，质量为m，质量密度 与到O 点的距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，使棒绕O 点转动，棒的初始角速度为0 ，棒与桌面的摩擦系数为。 求: 1）细棒对O 点的转动惯量。2）细棒绕O 点的摩擦力矩。 3）细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。,解,1) 在离O 点r 处取微元dr，则：,2） 设细棒上距O 点r 处长d r 的线元所受的摩擦力为d f ； 它对O 点的 摩擦力矩为d M
12、 。选 z 方向为正。,3）由角动量原理：,负号表示方向竖直向下,三、刚体的角动量守恒定律,1) 定轴转动的刚体，若 J = C，角动量守恒即刚体保持静止或匀角速转动。,2）若J 不为恒量时，角动量守恒即 J = 恒量。这时，刚体 的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积保持不变,当刚体所受的外力对某固定转轴的合外力矩为零时，刚体对此转轴的总角动量保持不变。,3）角动量守恒定律中的 都是相对于同一转轴的,4）守恒条件：,例:,2） 取细棒为研究对象，碰前细棒作平动，可按质点处理。,解 1）,3）碰撞过程中，细棒所受的外力矩为零，角动量守恒。,由平行轴定理：,例题2 光滑的水平桌面上有一个长为l，
13、质量为M 的均匀细棒，以 速度v 运动，与一固定于桌面上的钉子O 相碰，碰后细棒绕O转动，试求1）细棒绕O 点的转动惯量； 2）碰前棒对O 点的角动量；3 ）碰后棒转动的角速度 。,例题3 一质量为m的子弹以水平速度v0射穿静止悬于顶端的均质长棒的下端。子弹穿出后其速度损失了3/4，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒的长度为l，质量为M。,解 取细棒和子弹为系统，在碰撞过程中，系统受到的外力：重力和轴的作用力，它们对转轴的力矩为零。所以系统的角动量守恒。,设m射穿前为初态， m射穿后为末态。,初态,末态,由角动量守恒定律，得,作业：5- 4、5、9 预习：6 - 1、2,刚体的动能为,刚体: 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。,刚体定轴转动 : 转轴相对参考系固定不动的转动。,力对转轴的力矩,刚体的定轴转动定律,刚体定轴转动的动能,刚体绕定轴的转动惯量,定轴转动的动能定理,力矩的功,力矩的功率,刚体对转轴的角动量,刚体的角动量定理,刚体的角动量守恒定律,
