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1、中奖的同学是A.甲B.乙1. A2. (2018东城一模理)设an是公差为“ Sn为递增数列”的(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件2018 一模分类汇编一一数列及推理证明压轴题1. (2018朝阳一模理)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如砸金蛋(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位 同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”乙说：“丁能中奖”；丙说
2、：“我或乙能中奖”丁说：“甲不能中奖”游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，贝UC.丙D . 丁d的等差数列， &为其前n项和，贝U “ d 0”是(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件2. D(2018延庆一模理)若a,b是函数f xx2 px q p 0,q 0的两个不同的零点，且a, b, 2这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b的值等于(A) 4(B) 5(C) 6(D) 73. B4. (2018朝阳一模理)等比数列an满足如下条件： a 0；数列an的前n项和Sn 1 .试写出满足上述所有条件的一个数列的
3、通项公式 .1 4. an 答案不唯一)n 2n5. (2018延庆一模理)有4个不同国籍的人，他们的名字分别是A、B、C、D,他们分别来自英国、美国、德国、法国(名字顺序与国籍顺序不一定一致).现已知每人只从事一个职业，且：(1 ) A和来自美国的人他们俩是医生；(2 ) B和来自德国的人他们俩是教师；(3 ) C会游泳而来自德国的人不会游泳；(4 ) A和来自法国的人他们俩一起去打球.根据以上条件可推测出A是来自 国的人，D是来自 国的人.5. 英，德(第一空3分第二空2分)6. (2018房山一模理)某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵， . . . . . .
4、*以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少大数 n(n N )等于.可编辑6.627. (2018丰台一模理)已知数列an的前n项和Sh n n ,则a3 a4 :7.148. (2018西城一模理)设等差数列an的前n项和为Sn .若ai 2 , S4 20，则a3 ;Sn , 28. 6 ， n n9. (2018石景山一模理)如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰 上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树.若某勾股树含有 1023个正方形，且其最大的正方形的边长 2为，则其取小正方形的边长为.29. 3210. (2018西城一模理)(本小题满分
5、13分)数列 A: a1,a2, L,an(n 2)满足：ak 1 (k 1,2,L ,n).记 A 的前 k 项和为 S ,并 *规定 Sd 0 .定义集合 En kN, k 豆 n|Sk Sj , j 0,1,L ,k 1.(I)对数列 A :0.3 , 0.7,0.1,0.9, 0.1 ,求集合E5；(n )若集合 Enk1,k2,L,km(m 1, k1 k2L km),证明：如 Sk1 (i 1,2,L ,m 1)；（山）给定正整数 C .对所有满足Sh C的数列A，求集合En的元素个数的最小值.10. （本小题满分13分）解：（I）因为So0, $0.3,S20.4 ,S30.3
6、,S41.2 ,S51.3 , 2分所以 E 2,4,5 . 3分（n ）由集合En的定义知Ski 1Ski,且ki1是使得SkSki成立的最小的k,所以Sk, 1产Ski.5分又因为 a、11 ,所以 &, 1 &, 1 1 a% 16分Ski 1.所以乩1 Sk,1. 8 分（m）因为& &,所以En非空.设集合En k1,k2,L,km，不妨设k1 k2 L 原，则由（口）可知 Sk1Sk 1 (i 1,2,L ,m 1),同理乩 S0 1 ,且s C 1 . C 1取常数数列A: a -一 (i 1,2, L ,C 1),并令nC 22_2, (C 1) C 2C 1 一贝U Sn C
7、 ,适合题怠，C 2 C 2且En 1,2,L ,C 1,其元素个数恰为C 1.综上，En的元素个数的最小值为 C 1 .13 分11. （2018海淀一模理）（本小题13分)数表（每a1,1a1,2La1,na2,1a2,2La2,nMMOMan,1an,2Lan,nQ,n2且n设 A(ai,j)nn2 -n组成一个n行n列的也是第j列中的最小值,若存在1 i n , 1 j n，使得ai,j既是第i行中的最大值，则称数表A为一个“ N 数表”，a.为数表A的一个“ N 值”对任意给定的n ,所有“ N 数表”构成的集合记作n.(I)判断下列数表是否是“N数表”.若是，写出它的一个“ N值”
8、123147456 , B825；789693(n)求证：若数表 A是“数表”，则A的“N值”是唯一的;(m)在19中随机选取一个数表A，记A的“ N 值”为X，求X的数学期望E(X).11.(本题满分13分)(I) A是“?数表”，其值”为3, B不是“ N 数表”(n)假设ai,j和ai,r均是数表i,贝U ai,jmax 2.向,2,., amax ai ,1, ai ,2,., ai,n ai,j ；j,则 ai,jmin礼电,.，an,jmin a1,j, a2, j,., an, jai,j；i,j j,则一方面ai,jmaxai,1,ai,2,., aai,jmin ai,j,
9、a2, j,., an,jai,j,另一方面ai,jmax ai,1, a,2,., a,nai,jmin ai,j,a2,j,., an,jai,j ；矛盾.即若数表A是“ N 数表”，则其值”是唯一的.(m)方法1 :对任意的由1, 2 , 3，361组成的19行19列的数表A (ai,j)19 19.定义数表B （b“）1919如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表 B的第j行,第i列，即bj,i a,j （其中 1 i 19, 1 j 19）显然有： 数表B是由1, 2 , 3,，361组成的19行19列的数表 数表B的第j行的元素，即为数表 A的第j列的元素 数表B的第i列的元
10、素，即为数表 A的第i行的元素 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第 j列中的最小值贝U数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值.定义数表C （Cj,i）19 19如下，其与数表 B对应位置的元素的和为 362 ,即5 362 加（其中 1 i 19, 1 j 19）显然有 数表C是由1, 2 , 3,，361组成的19行19列的数表 若数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第 j列中的最小值贝U数表C中，Cj,i是第i列中的最小值，也是第 j列中的最大值特别地，对由1, 2, 3,，361组成的19行19列的数表A （%扇19 数表C是由1, 2 , 3,，3
11、61组成的19行19列的数表 若数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第 j列中的最小值贝U数表C中，Cj,i是第i列中的最小值，也是第 j列中的最大值即对任意的A19，其 “ N 值”为 a,j (其中 1 i 19, 119)，则 C且其 “N 值”为 Cj,i362 bj,i362 %.记 C T(A)，则 T(C)A,即数表A与数表C T(A)的“值”之和为362 ,故可按照上述方式对19中的数表两两配对，使得每对数表的“ N 值”之和为362,故X的数学期望E(X)181.13分方法2 :X 所有可能的取值为 19,20,21,.,341,342,343.记19中使得X k的数表
12、A的个数记作nk, k 19,20,21,.,341,342,343,则.2(18 )!.21818nk19 Ck 1 C361 k(182)!贝,218 八18则 n362 k 19C361 kCk 1343n362 k kk 19343nkk 19343nk kE(X)导一nk k 19343nk (362 k)k 19343nkk 19343nk k2E(X)修一nk k 19343nk (362 k 19343nkk 19k)362E(X)181. 13 分12. (2018石景山一模理)(本小题共13分)对于项数为m( m 1)的有穷正整数数列an,记bk maxa!,a2,L ,a
13、Q ( k 1,2,L ,m),即b为aLL ak中的最大值，称数列bn为数列an的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列为1,3,3,5,5(l) 若数列an 的“创新数列” bn为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列an；(n)设数列bn为数列an的“创新数列”，满足ak bm k 1 2018( k 1,2,L ,m)，求 证：ak bk ( k 1,2,L ,m)；(m)设数列bn为数列&的“创新数列”，数列bn中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列an.12. (本小题共13分)解：(I)所有可能的数列an为 1,2,3,4,1 ； 1,2,3,4,2 ； 1,2,3,
