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1、第十一节 数学建模微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.内容分布图示 衰变问题 追迹问题 自由落体问题 弹簧振动问题 串联电路问题 返回内容要点：(1) 衰变问题(2) 追迹问题(3) 自由落体问题(4) 弹簧振动问题(5) 串联电路问题例题选讲：衰变问题例 1（讲义例 1）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻 的质量.t追迹问题例 2
2、（讲义例 2）设开始时甲、乙水平距离为 1 单位, 乙从 A 点沿垂直于 OA 的直线以等速 向正北行走；甲从乙的左侧 O 点出发, 始终对准乙以 的速度追赶. 求追迹0v )1(0nv曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.自由落体问题例 3（讲义例 3）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).弹簧振动问题例 4（讲义例 4）设有一个弹簧, 它的一端固定, 另一端系有质量为 m 的物体, 物体受力作用沿 x 轴运动 , 其平衡位置取为坐标原点 (图 12-11-3). 如果使物体具有一个初始速度那么物体便离开平衡位置,
3、并在平衡位置附近作上下振动. 在此过程中, 物体的位置0vx 随时间 t 变化. 要确定物体的振动规律 , 就是要求出函数 ).(tx据胡克定律知, 弹簧的弹性恢复力与弹簧变形成正比: ,kf其中 (称为弹性系数), 负号表示弹性恢复力与物体位移方向相反. 在不考虑介质阻力的0k情况下, 由牛顿第二定律可得或 (11.9)kxdtm2 .02kxdtm方程(11.9)称为无阻尼自由振动的微分方程. 它是一个二阶常系数齐次线性方程 . 如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油、水等) 的阻力的作用, 设阻力与质点运动的速度成正比, 且阻力的方向与物体运动方向相反, 则有,2dtxf其中 (
4、阻尼系数). 从而物体运动满足方程0 dtxkdtxm2或 (11.10).0t这个方程叫做有阻尼的自由振动微分方程, 它也是一个二阶常系数齐次线性方程.如果物体在振动过程中所受到的外力除了弹性恢复力与介质阻力之外, 还受到周期性的干扰力 ptHtGsin)(的作用, 那么物体的运动方程为 ,i2tdtxkdtxm即 (11.11),sn2phvt其中 这个方程称为强迫振动的微分方程, 它是一个二阶常系数非齐.,22Hhkv次线性微分方程.下面就三种情形分别讨论物体运动方程的解.串联电路问题如图 12-11-7 是由电阻 R、电感 L 及电容 C（其中 R,L,C 是常数）串联而成的回路 ,
5、时合上开关, 接入电源电动势 求电路中任何时刻的电流0t ),(tE).(tI根据克希霍夫回路电压定律, 有 ),(tCQRIdtL其中 RI 为电流在电阻上电降压, 而 (Q 为电容器两极板间的电量, 是时间 t 的函数)为电容在电感上电压降, 则为电流在电感上电压降. 由电学知, 于是方程成为dtIL ,dtQI(11.13)(12tEQCdtRt这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程. 若当 时, 已知电量为 和电流为 则我们00,0I有初始条件:.)(,)0( 0I此时, 能求出方程(11.13)初 vi 始问题的解.例 5（讲义例 5）在图 12-11-7 的电路中, 设,1,40HLR1064FCttE10cos)(且初始电量和电流均为 0, 求电量 和电流Q.I
