3-3-2 行程综合问题.教师版【小学奥数精品讲义】

《3-3-2 行程综合问题.教师版【小学奥数精品讲义】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-3-2 行程综合问题.教师版【小学奥数精品讲义】（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、读万卷书 行万里路 1 1. 运用各种方法解决行程内综合问题。 2. 发现一些综合问题中，行程与其它模块的联系，并解决奥数综合问题。 行程问题是奥数中的一个难点，内容多而杂。而在行程问题中，还有一些尤其复杂的综合问题。它们 大致可以分为两类： 一、 行程内综合，把行程问题中的一些零散的知识点综合在一道题目中，这就是一道行程内综合 题目。例如把环形跑道和猎狗追兔结合在一起，把流水行船和发车间隔结合起来等等。 二、 学科内综合，这种问题就不只是行程问题了，把行程问题和其它知识模块里的思想方法结合 在一起，这种综合性题目的难度也很大，比如行程与策略综合等等。 本讲内容主要就是针对这种综合性题目。虽然

2、题目难度偏大，但是这种题目在杯赛和小升初试题中是 行程综合问题行程综合问题 知识精讲知识精讲 教学目标教学目标 读万卷书 行万里路 2 很受“偏爱”的。所以很重要。 模块一、行程内综合 【例【例 1】 邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千米下坡路。 他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返 回，邮递员什么时候可以回到邮局? 【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。邮递员到达对面山里需时间： 124+85=4.6

3、(小时);邮递员返回到邮局共用时间：84+125+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5(时).邮递员是下午 5 时回到邮局的。 法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以 共用时间为： （12+8）4+（12+8）5+1=10(小时)，邮递员是下午 7+10-12=5(时) 回到邮 局的。 【答案】5 时 【例【例 2】 小红上山时每走 30 分钟休息 10 分钟，下山时每走 30 分钟休息 5 分钟已知小红下山的速度 是上山速度的1.5倍，如果上山用了 3 小时 50 分，那么下山用

4、了多少时间？ 【考点】变速问题与走停问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 上山用了 3 小时 50 分，即60 350230 +=(分)，由23030 10530+=（），得到上山休息了 5 次，走了230 10 5180 =(分)因为下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180 1.5120= 读万卷书 行万里路 3 (分)由120304=知，下山途中休息了 3 次，所以下山共用1205 3135+ =(分)2=小时 15 分 【答案】2小时 15 分 【例【例 3】 已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同；猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同而猫跑 3 步的时间与狗

5、跑 5 步的时间相同；猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同，猫、狗、兔沿着 周长为 300 米的圆形跑道， 同时同向同地出发 问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程？ 【考点】环形跑道与猎狗追兔 【难度】5 星 【题型】解答 【解析】 方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49 设单位时间内猫跑 1 米，则狗跑 25 9 米，兔跑 49 25 米 狗追上猫一圈需 25675 3001 94 = 单位时间， 兔追上猫一圈需 49625 3001 252 = 单位时间 猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 675 4 的整数倍，又是 625 2 的整数倍 675

6、4 与 625 2 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大公约数，即 () 675,625 675 62516875 ,8437.5 424,22 = 上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇 此时，猫跑了8437.5米，狗跑了 25 8437.523437.5 9 =米，兔跑了 49 8437.516537.5 25 =米 读万卷书 行万里路 4 方法二：根据题意，猫跑 35 步的路程与狗跑 21 步的路程、兔跑 25 步的路程相等；而猫跑 15 步的时间与狗跑 25 步、兔跑 21 步的时间相同 所以猫、狗、兔的速度比为 15 25 21 : 35 2

7、1 25 ，它们的最大公约数为 () 15,25,2115 25 211 , 35 21 2535,21,253 5 5 7 = ， 即设猫的速度为 151 225 353 5 5 7 = ，那么狗的速度为 251 625 213 5 5 7 = ，则兔的速度为 211 441 253 5 5 7 = 于是狗每跑 3 300(625225) 4 =单位时追上猫； 兔每跑 25 300(441225) 18 =单位时追上猫 而 () 3,25 3 2575 , 4 184,182 = ，所以猫、狗、兔跑了 75 2 单位时，三者相遇 猫跑了 75 2258437.5 2 =米，狗跑了 75 62

8、523437.5 2 =米，兔跑了 75 44116537.5 2 =米 【答案】16537.5米 【例【例 4】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇 后甲比原来速度增加 2 米秒， 乙比原来速度减少 2 米秒， 结果都用 24 秒同时回到原地。 求甲原来的速度。 【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 5 【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑 一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速 V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24

9、秒 的路程之和等于 400 米，24V +24（V +2 ）=400 易得 V = 1 7 3 米/秒 【答案】 1 7 3 米/秒 【例【例 5】 环形跑道周长是 500 米，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分跑 120 米，乙每分 跑 100 米，两人都是每跑 200 米停下休息 1 分。甲第一次追上乙需多少分？ 【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 55 分。解：甲比乙多跑 500 米，应比乙多休息 2 次，即 2 分。在甲多休息的 2 分内，乙又跑了 200 米，所以在与甲跑步的相同时间里，甲比乙多跑 500200700（米） ，甲跑步的时间为

10、700（120100）35（分） 。共跑了 120354200（米） ，中间休息了 42002001 20 （次） ，即 20 分。所以甲第一次追上乙需 352055（分） 。 【答案】55 分 【例【例 6】 甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的2.5倍，当乙 第一次追上甲时，甲的速度立即提高25%，而乙的速度立即减少20%，并且乙第一次追上甲的 地点与第二次追上甲的地点相距 100 米，那么这条环形跑道的周长是 米 读万卷书 行万里路 6 B C A 【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 如图，设跑道周长为 1，出发时甲速为

11、2，则乙速为 5假设甲、乙从A点同时出发，按逆时针 方向跑由于出发时两者的速度比为2:5，乙追上甲要比甲多跑 1 圈，所以此时甲跑了 2 1(52)2 3 =，乙跑了 5 3 ；此时双方速度发生变化，甲的速度变为2 (125%)2.5+=，乙的速 度变为5 (120%)4=，此时两者的速度比为2.5:45:8=；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑 1 圈，则此次甲跑了 5 1(85)5 3 =，这个 5 3 就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程从 环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是 52 1 33 =个周长，又可 能是 51 2 33 =个周长 那么，这条环形跑

12、道的周长可能为 2 100150 3 =米或 1 100300 3 =米 【答案】300米 【例【例 7】 如图所示，甲、乙两人从长为400米的圆形跑道的A点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分） 道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒8米，而在泥泞 道路上两人的速度均为每秒4米。两人一直跑下去，问：他们第 99 次迎面相遇的地方距A点还 有 米。 读万卷书 行万里路 7 A 【考点】环形跑道与变速问题 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕 着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和

13、泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间 也就相同，所以，两人同时出发，跑一圈后同时回到A点，即两人在A点迎面相遇，然后再从A 点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期 在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人 第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相 遇， 再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点， 偶数次相遇点都是A 点本题要求的是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与A点 的距离 对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：

14、由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到 跑完正常道路时，乙才跑了2008 4100 =米，此时两人相距 100 米，且之间全是泥泞道路，此 时两人速度相同，所以再各跑 50 米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了10050150+=米，这就 是第一次相遇点与A点的距离，也是第 99 次迎面相遇的地点与A点的距离 【答案】150米 【例【例 8】 甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每 人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 2/3.甲 跑第二圈时速度比第一圈提高了 1/3；乙跑第二圈时速度提高了 1/5已知沿跑道看

15、从甲、乙 读万卷书 行万里路 8 两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【考点】环形跑道与变速问题 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 设甲跑第一圈的速度为 3，那么乙跑第一圈的速度为 2，甲跑第二圈的速度为 4，乙跑第二圈的 速度为12 5 .如下图： 第一次相遇地点逆时针方向距出发点 3 5 的跑道长度 有甲回到出发点时， 乙才跑了 2 3 的跑道长度. 在乙接下来跑了 1 3 跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了 12 24 33 =圈所以还剩下 1 3 的跑道长 度，甲以 4 的速度，乙以12 5 的速度相对而跑，所以乙跑了 11212 4 355 + 1 8 =圈.也就是第二 次相遇点逆时针方向距出发点 1 8 圈即第一次相遇点与第二次相遇点相差 3119 5840 =圈，所以， 这条椭圆形跑道的长度为 19 190400 40 =米 【答案】400米 【例【例 9】 如图 3-5,正方形 ABCD 是一条环形公路已知汽车在 AB 上时速是 90 千米，在 BC 上的时速 是 120 千米，在 CD 上的时速是 60 千米,在 DA 上的时速是 80 千米从 CD 上一点 P,同时反 向各发出一辆汽车,它们将在 AB