《（人教B版）选修2-2 2.2.2《反证法》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（人教B版）选修2-2 2.2.2《反证法》ppt课件（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2接证明与间接证明第 2课时 反证法第二章课堂典例探究2课 时 作 业3课前自主预习1课前自主预习甲、乙、丙三人站成一列，甲在前，丙在后，乙在中间有 3 红 2黑 5 顶帽子，现在随机抽取 3 顶分别戴在甲、乙、丙三人头上只有站在后面的人才可以看见前面的人头上帽子的颜色让这三人各自猜自己头上帽子的颜色，结果丙先说不知道，然后乙也说不知道，最后甲猜出自己头上帽子的颜色是红色的你知道甲是怎么推理的吗？ 什么样的命题具有相同的真假性 ？2 你知道如何将 “ 他俩说的都对 ” 否定吗 ？答案： 命题 、 否命题 、 逆命题 、 逆否命题四种形式
2、， 一个命题和它的逆否命题具有相同的真假性 2 他俩说的不都对 证法 1 反证法的定义 一般地，由证明 p q 转向证明 q r t ， t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法 2 反证法的证题步骤3 注意的问题(1)反证法中的 “ 反设 ” 是应用反证法的第一步 ， 也是关键的一步 “ 反设 ” 的结论将是下一步 “ 归谬 ” 的一个已知条件 “ 反设 ” 是否正确 、 全面 ， 将直接影响下一步的证明 要做好 “ 反设 ” 必须正确分清题设和结论；对结论实施正确的否定；对结论否定时 ， 找出其所有的分类情况 在否定命题的结论时 ， 当命题的
3、结论的反面非常明显并且只有一种情形时 ， 比较容易作出否定 ， 但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时 ， 就不太容易作出否定 这时必须认真分析 、 仔细推敲 ， 在提出 “ 假设 ” 后 ， 再回过头来看看 “ 假设 ” 的对立面是否恰是命题的结论 (2) 反证法的 “ 归谬 ” 是反证法的核心，其含义是：从命题的结论的假设 ( 即把 “ 反设 ” 作为一个新的已知条件 ) 及原命题的条件出发，引用一系列的论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果 3 常见的 “ 原结论词 ” 与 “ 假设词 ” 原结论词 只有一个 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 假设词 没
4、有或至 少有两个 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立 原结论词 都是 一定是 p 或 q p 且 q 假设词 不都是 一定不是 p 且 q p 且 q 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 假设词 一个也没有 ( 不存在 ) 至少有两个 至多有 ( n 1) 个 至少有 ( n 1) 个 已知 2， 求证： p q2. 证明 假设 p q 2 ，则 q 2 p ， 从而 12 p 6 即 6( p 1)2 于是 6( p 1)2. 又 ( p 1)2 0 ， . 此结论与已知 2 矛盾，因此 p q 2 不成立，即 p q 2. 二 、 反证法的适用范围反证法
5、不是直接证明命题结论正确 ， 而是利用 “ 原命题的否定不成立 ， 则原命题一定成立 ” 来进行证明的 因而如果结论的反面比结论本身更具体 、 更明确 、 更简单 ， 则适宜用反证法 反证法证题主要有以下几种类型：1 唯一性命题的证明可考虑使用反证法 2 当命题中涉及 “ 至少 ”“ 至多 ”“ 无限 ” 时 ， 可考虑使用反证法 3 直接证明较繁琐或较困难时 ， 可考虑使用反证法 4 当问题的结论是以否定形式出现的否定性命题时 ， 可考虑使用反证法 5 结论的反面为简单明确的命题 ， 可考虑使用反证法 证明：不论 x 、 y 取任何非零实数，等式1x 1y 1x 证明 假设存在非零实数 得等
6、式1x1y1x 有 0 ， ( x1340 ， 0 ， ( x134 ， 从而得出矛盾，故原命题成立 课堂典例探究用反证法证明存在性命题证明：二次函数 y 2 c ， y 2 a ， y 2 b ( a ， b ， c 0) ( a ， b ， c 是互不相同的实数 ) 它们的图象至少 有一个与 x 轴有两个交点 解析 假 设 三 个 图 象 都 不 与 x 轴有两个交点 则1 2 b 2 4 02 2 c 2 4 03 2 a 2 4 0 三个式子相加得， ( a b )2 ( b c )2 ( c a )2 0. a b b c c a 0. a b c 与已知矛盾 所以三个图 象至少有一
7、个与 x 轴有两个交点 方法总结 (1) 反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的 (2) 对于否定性命题或结论中出现 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、“ 不可能 ” 等字样时，常用反证法 若 a 、 b 、 c 均为实数，且 a 2 y 2， b 2 z 3， c 2 x 6. 求证： a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0. 证明 假设 a ， b ， c 都不大于 0 ， 即 a 0 ， b 0 ， c 0 ，则 a b c 0. 而 a b c 2 y 2 2 z 3 2
8、 x 6 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 3. 30 ，且 ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 0. a b c 0 ，这与 a b c 0 矛盾， 因此 a ， b ， c 中至少有一个大于 0. 用反证法证明唯一性命题求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 证明 已知：点 P 在直线 a 外 求证：过点 P 与直线 a 平行的直线有且只有一条 证明： 点 P 在直线 a 外， 点 P 和直线 a 确定一个平面，设该平面为 ，在平面 内，过点 P 作直线 b ，使得 b a ，则过点 P 有一条直线与 a 平行 假设过点 P 还有一条直线 c 与 a 平
9、行 a b ， a c ， b c ，这与 b 、 c 相交于点 P 矛盾，故假设不成立 方法总结 证明 “ 有且只有一个 ” 的问题，需要证明两个命题 ，即存在性和唯一性当证明结论以 “ 有且只有 ” 、 “ 只有一个 ” 、 “ 唯一存在 ” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性较简单明了 证明方程 2x 3有且只有一个实根 证明 2x 3 ， x 3 ， 这说明方程有一个根 下面用反证法证明方程 2x 3 的根是唯一的假设方程 2x 3 有两个根 b 1 ， b 2 ( b 1 b 2 ) 则 2 b 1 3,2 b 2 3. 两式相除得： 2 b 1 b
10、 2 1. 如果 b 1 b 2 0 ，则 2 b 1 b 2 1 ，这与 2 b 1 b 2 1 相矛盾 如果 b 1 b 2 0)上的任意四点 ， 其坐标分别是 A( ， B( ，C( D( 连接 D， 求证：四边形 分析 解答本题的关键在于通过假设 ， 根据平行四边形对边所在直线的斜率相等 ， 推出结论与已知条件相矛盾 ， 从而肯定原命题正确 解析 由题意得，直线 斜率为 k y 2 y 1x 2 x 12 y 2，同理 k 2 y 2， k C D 2 y 3， k y 4. 假设四边形 为平行四边形，则有 k k k k 即有y4 由 ，得 从而有 x1pp 同理 A ， C 点重合
11、， B ， D 点重合， 这与 A ， B ， C ， D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立 四边形 不可能是平行四边形 方法总结 当结论中含有 “ 不 ” 、 “ 不是 ” 、 “ 不可能 ” 、 “ 不存在 ” 等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾 给定实数 a ， a 0 且 a 1 ，设函数 y x 1 1x R 且 x 1a，求证：经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于 x 轴 证明 假设此函数图象上存在两点 M 1 ， M 2 ，使得直线M 1 M 2 平行于 x 轴 设 M 1 ( x 1 ， y 1 ) ， M 2 ( x 2 ， y 2 ) ，且 x 1 x 2 ， 则由 0 得x11111x1a 1 1 1 0. 解得 a 1 ，这与已知条件 a 1 矛盾， 故假 设不成立，原命题成立， 即经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于 x 轴 . 反证法思想的应用已知下列三个方程： 4 4 a 3 0 ， ( a 1) x 0 ， 2 2 a 0 至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围 分析 此题若采用正面讨论将复杂得多，应采用补集与反证法思想来求 解析 若方程没有一个有实根，则 16 4 3 4 a 0 a 1 2 4 4
