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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 ， 0，1，2 ，则2|AxBABA. 0 B. 0，1 C. 0，2 D. 0，1，2 2.下列函数中，在区间 ， 上为增函数的是()A. B. C. D.yx2yxxy0.5log()yx3.曲线 为参数）的对称中心cos(2inA.在直线 上 B.在直线 上yx2yxC.在直线 上 D.在直线 上114.当 ， 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为7m3n SA. B. C. D.7422108405.设
2、 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ ”为递增数列的naqqnaA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若 、 满足 ，且 的最小值为 ，则 的值为xy20xykzyx4kA. B. C. D.2212127.在空间直角坐标系 中，已知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，Oxyz(A0)(B0)(C20)(1D，若 ， ， 分别表示三棱锥 在 ， ， 坐标平面上的正投影图形的)1S23DCxOyzx面积，则A. B. 且12312S31SC. 且 D. 且28.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合格”.
3、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的学生.问满足条件的最多有多少学生A. B. C. D.2345二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9.复数 _.21()i10.已知向量 、 满足 ， ， ，且 ，则 _.ab|1(2b)0()abR|11.设双曲线 经过点 ， ，且与 具有相同渐近线，则 的方程为_；渐近线C(2)14yxC方程为_.12.若等差数列 满足 ， ，则当 _时， 的前 项和最大.na7890a710anna13
4、.把 5 件不同产品摆成一排，若产品 与产品 相邻，且产品 与产品 不相邻，则不同的摆法有ABA_种.14.设函数 ， ， 是常数， ， ，若 在区间 ， 上具()sin)(fx0)()fx62有单调性，且 ，则 的最小正周期为_.236ff()fx三、解答题：共 6 小题，满分 80 分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 ， .ABC38ABDC21cos7ADC求 ；sinD求 ， 的长.16.（本小题满分 13 分）李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：从上述比赛中随机选择一场
5、，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 的概率；6.0从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 ，一场不超过 的概6.0率；记 为表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 为李明在这场比赛中的命x X中次数，比较 与 的大小（只需写出结论）.()EXx17.（本小题满分 14 分）如图，正方形 的边长为 2， 、 分别为 、 的中点，在五棱锥 中，AMDBCAMDPABCDE为棱 的中点，平面 与棱 ， 分别交于点 ， .FPFPGH求证： ；/BG若 底面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的大小，并求线段 的CEABFH长.18.（本小题 13 分）已知函
6、数 ， ， .()cosinfxx02求证： ；0若 在 ， 上恒成立，求 的最大值与 的最小值.sinabx()ab19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 ： .C24y求椭圆 的离心率；设 为原点，若点 在椭圆 上，点 在直线 上，且 ，试判断直线 与圆OACB2yOABA的位置关系，并证明你的结论.2xy20.（本小题满分 13 分）对于数对序列 ： ， ， ， ，.， ， ，记 ，P1(a)b2()(na)b11()TPab， . ，其中 ， .()mxkkkTbT12kmx()k12a表示 和 . 两个数中最大的数.a1()12k对于数对序列 ： ， ， ， ，求 ， 的值；5)(4
7、)1()T2记 为 ， ， ， 四个数中最小的数，对于由两个数对 ， ， ， 组成的数对序列 ：bcd(a)b(c)dP， ， ， 和 ： ， ， ， ，试分别对 和 的两种情况比较 和(a)()P()(a)b2()T的大小；2T在由 5 个数对 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 组成的所有数对序列中，写(18)(52)(16)(1)(46)出一个数对序列 使 最小，并写出 的值.（只需写出结论）.PT5TP2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学（理） （北京卷）参考答案一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）C（5）D （6）D （
8、7）D （8）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9） 1 （10）5（11） （12）823xy2x（13）36 （14）三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15） （共 13 分）解：（I）在ADC 中，因为 ，所以 .71cosADC43sin7ADC所以 sinsi()BADBcosinC.14327134（）在 中，由正弦定理得ABD，38sin147在 中，由余弦定理得ABC22cosABC.18549所以 .7AC（16）解：（I）根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，
9、客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 05.（）设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过0.6”.则 C= ，A,B 独立.根据投篮统计数据， .32(),()5P.()()PAB135所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 .1325（） .EXx（17） （共 14 分）解：（I）在
10、正方形中，因为 B 是 AM 的中点，所以 .ABDE又因为 平面 PDE，AB所以 平面 PDE，AB因为 平面 ABF，且平面 平面 ，ABFPDFG所以 .FG（）因为 底面 ABCDE,所以 ， .PAAE如图建立空间直角坐标系 ，则 ， , , , ,xyz(0,)(10)B(2)C(02)P(1)F.BC(1,0)设平面 ABF 的法向量为 ，则(,)nxyz即0,nABF,0.yz令 ，则 。所以 ，1,z(,1)n设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a，则 .1sico,2nBC因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 30.设点 H 的坐标为 (,).uvw因为点
11、H 在棱 PC 上，所以可设 (01),PHC即 所以 .(,2)(,1).uv2,2uvw因为 n 是平面 ABF 的法向量，所以 ，即 .nAB(,)(,2)0解得 ，所以点 H 的坐标为34(,).3所以 .2244()()33PH（18） （共 13 分）解：（I）由 得()cosinfxx.()csisf因为在区间 ，0in)(20(xf上，所以 在区间 上单调递减.()fx,从而 .0f（）当 x0 时， “ ”等价于“sinxax 0”“ ”等价于“sinxbx0 对任意 恒成立.0,2当 c1 时，因为对任意 ，所以 g(x)在区间 上单调递0cos)(xg， 0,2减. 从而
12、 g(x)g(0)=0.()gx0,x进一步， “g(x)0 对任意 恒成立”当且仅当 ，即 ，(,)2()102c2c综上所述，当且仅当 时，g( x)0 对任意 恒成立；c(0,)当且仅当 c1 时，g( x)0 对任意 恒成立.,)2所以，若 对任意 恒成立，则 a 最大值为 ，b 的最小值为 1.basin(0,)2（19）解：（I）由题意，椭圆 C 的标准方程为 .214xy所以 ，从而 .因此 .24,ab22cab,2ac故椭圆 C 的离心率 .e（） 直线 AB 与圆 相切.证明如下：2xy设点 A,B 的坐标分别为 ， ，其中 .0(,)(,t0x因为 ，所以 ，即 ，OAO
13、B2y解得 .02ytx当 时， ，代入椭圆 C 的方程，得 ，0t20t 2t故直线 AB 的方程为 .x圆心 O 到直线 AB 的距离 ，此时直线 AB 与圆 相切.2d2xy当 时，直线 AB 的方程为 ，0xt0()ytx即 ，00(2)()2yxtyt圆心 O 到直线 AB 的距离022()()xtyd又 ， ，204xy0tx故2022004dyx0420816x此时直线 AB 与圆 相切.2（20）解：（I） ，1()57TP=8.42max)(2， 1max7,6（） ，,bdc.2()TPc当 m=a 时， = = ，2()ax,cabd因为 ，且 ，所以 .cdbdd2()TP2)当 m=d 时， .2()TPma,cc因为 ，且 ，所以 .aab2()2)所以无论 m=a 还是 m=d， 都成立.2()2)TP（）数对序列 （4,6） ， （11,11） ， （16,11） ， （11,8） ， （5,2）的 值最小，:P5()TP=10， =26， =42， =50， =52.1()T2()3()4()5()
