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1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合 , 0,1,2 ,则2|AxBABA. 0 B. 0,1 C. 0,2 D. 0,1,2 2.下列函数中,在区间 , 上为增函数的是()A. B. C. D.yx2yxxy0.5log()yx3.曲线 为参数)的对称中心cos(2inA.在直线 上 B.在直线 上yx2yxC.在直线 上 D.在直线 上114.当 , 时,执行如图所示的程序框图,输出的 值为7m3n SA. B. C. D.7422108405.设
2、 是公比为 的等比数列,则“ ”是“ ”为递增数列的naqqnaA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.若 、 满足 ,且 的最小值为 ,则 的值为xy20xykzyx4kA. B. C. D.2212127.在空间直角坐标系 中,已知 , , , , , , , , , , ,Oxyz(A0)(B0)(C20)(1D,若 , , 分别表示三棱锥 在 , , 坐标平面上的正投影图形的)1S23DCxOyzx面积,则A. B. 且12312S31SC. 且 D. 且28.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合格” “不合格”.
3、若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的学生.问满足条件的最多有多少学生A. B. C. D.2345二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.复数 _.21()i10.已知向量 、 满足 , , ,且 ,则 _.ab|1(2b)0()abR|11.设双曲线 经过点 , ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为_;渐近线C(2)14yxC方程为_.12.若等差数列 满足 , ,则当 _时, 的前 项和最大.na7890a710anna13
4、.把 5 件不同产品摆成一排,若产品 与产品 相邻,且产品 与产品 不相邻,则不同的摆法有ABA_种.14.设函数 , , 是常数, , ,若 在区间 , 上具()sin)(fx0)()fx62有单调性,且 ,则 的最小正周期为_.236ff()fx三、解答题:共 6 小题,满分 80 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 13 分)如图,在 中, , ,点 在 边上,且 , .ABC38ABDC21cos7ADC求 ;sinD求 , 的长.16.(本小题满分 13 分)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立):从上述比赛中随机选择一场
5、,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 的概率;6.0从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 ,一场不超过 的概6.0率;记 为表中 10 个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记 为李明在这场比赛中的命x X中次数,比较 与 的大小(只需写出结论).()EXx17.(本小题满分 14 分)如图,正方形 的边长为 2, 、 分别为 、 的中点,在五棱锥 中,AMDBCAMDPABCDE为棱 的中点,平面 与棱 , 分别交于点 , .FPFPGH求证: ;/BG若 底面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的大小,并求线段 的CEABFH长.18.(本小题 13 分)已知函
6、数 , , .()cosinfxx02求证: ;0若 在 , 上恒成立,求 的最大值与 的最小值.sinabx()ab19.(本小题满分 14 分)已知椭圆 : .C24y求椭圆 的离心率;设 为原点,若点 在椭圆 上,点 在直线 上,且 ,试判断直线 与圆OACB2yOABA的位置关系,并证明你的结论.2xy20.(本小题满分 13 分)对于数对序列 : , , , ,., , ,记 ,P1(a)b2()(na)b11()TPab, . ,其中 , .()mxkkkTbT12kmx()k12a表示 和 . 两个数中最大的数.a1()12k对于数对序列 : , , , ,求 , 的值;5)(4
7、)1()T2记 为 , , , 四个数中最小的数,对于由两个数对 , , , 组成的数对序列 :bcd(a)b(c)dP, , , 和 : , , , ,试分别对 和 的两种情况比较 和(a)()P()(a)b2()T的大小;2T在由 5 个数对 , , , , , , , , , 组成的所有数对序列中,写(18)(52)(16)(1)(46)出一个数对序列 使 最小,并写出 的值.(只需写出结论).PT5TP2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理) (北京卷)参考答案一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)(1)C (2)A (3)B (4)C(5)D (6)D (
8、7)D (8)B二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)(9) 1 (10)5(11) (12)823xy2x(13)36 (14)三、解答题(共 6 小题,共 80 分)(15) (共 13 分)解:(I)在ADC 中,因为 ,所以 .71cosADC43sin7ADC所以 sinsi()BADBcosinC.14327134()在 中,由正弦定理得ABD,38sin147在 中,由余弦定理得ABC22cosABC.18549所以 .7AC(16)解:(I)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,
9、客场 2,客场 4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 05.()设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过0.6”.则 C= ,A,B 独立.根据投篮统计数据, .32(),()5P.()()PAB135所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6 的概率为 .1325() .EXx(17) (共 14 分)解:(I)在
10、正方形中,因为 B 是 AM 的中点,所以 .ABDE又因为 平面 PDE,AB所以 平面 PDE,AB因为 平面 ABF,且平面 平面 ,ABFPDFG所以 .FG()因为 底面 ABCDE,所以 , .PAAE如图建立空间直角坐标系 ,则 , , , , ,xyz(0,)(10)B(2)C(02)P(1)F.BC(1,0)设平面 ABF 的法向量为 ,则(,)nxyz即0,nABF,0.yz令 ,则 。所以 ,1,z(,1)n设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 a,则 .1sico,2nBC因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 30.设点 H 的坐标为 (,).uvw因为点
11、H 在棱 PC 上,所以可设 (01),PHC即 所以 .(,2)(,1).uv2,2uvw因为 n 是平面 ABF 的法向量,所以 ,即 .nAB(,)(,2)0解得 ,所以点 H 的坐标为34(,).3所以 .2244()()33PH(18) (共 13 分)解:(I)由 得()cosinfxx.()csisf因为在区间 ,0in)(20(xf上,所以 在区间 上单调递减.()fx,从而 .0f()当 x0 时, “ ”等价于“sinxax 0”“ ”等价于“sinxbx0 对任意 恒成立.0,2当 c1 时,因为对任意 ,所以 g(x)在区间 上单调递0cos)(xg, 0,2减. 从而
12、 g(x)g(0)=0.()gx0,x进一步, “g(x)0 对任意 恒成立”当且仅当 ,即 ,(,)2()102c2c综上所述,当且仅当 时,g( x)0 对任意 恒成立;c(0,)当且仅当 c1 时,g( x)0 对任意 恒成立.,)2所以,若 对任意 恒成立,则 a 最大值为 ,b 的最小值为 1.basin(0,)2(19)解:(I)由题意,椭圆 C 的标准方程为 .214xy所以 ,从而 .因此 .24,ab22cab,2ac故椭圆 C 的离心率 .e() 直线 AB 与圆 相切.证明如下:2xy设点 A,B 的坐标分别为 , ,其中 .0(,)(,t0x因为 ,所以 ,即 ,OAO
13、B2y解得 .02ytx当 时, ,代入椭圆 C 的方程,得 ,0t20t 2t故直线 AB 的方程为 .x圆心 O 到直线 AB 的距离 ,此时直线 AB 与圆 相切.2d2xy当 时,直线 AB 的方程为 ,0xt0()ytx即 ,00(2)()2yxtyt圆心 O 到直线 AB 的距离022()()xtyd又 , ,204xy0tx故2022004dyx0420816x此时直线 AB 与圆 相切.2(20)解:(I) ,1()57TP=8.42max)(2, 1max7,6() ,,bdc.2()TPc当 m=a 时, = = ,2()ax,cabd因为 ,且 ,所以 .cdbdd2()TP2)当 m=d 时, .2()TPma,cc因为 ,且 ,所以 .aab2()2)所以无论 m=a 还是 m=d, 都成立.2()2)TP()数对序列 (4,6) , (11,11) , (16,11) , (11,8) , (5,2)的 值最小,:P5()TP=10, =26, =42, =50, =52.1()T2()3()4()5()