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1、运用分类讨论数学思想求解等腰三角形中多解问题分类讨论数学思想是解决数学问题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，这时就需要分类讨论 .本节主要介绍下等腰三角形中需要分类讨论的常见题型 .类型一 当顶角或底角不确定时1.已知等腰三角形的一个内角为 70，则这个等腰三角形的顶角为（A）A.70 B. 40 C.70 或 40 D. 70 或 552.一个等腰三角形的一个外角等于 110，则这个三角形的三个角应该为：70、55、55 或 70、70、40 .类型二 当底和腰不确定时3.一个等腰三角形的一边长为 4 cm , 另一边长为 5 cm , 那么这个等腰三角形的周
2、长是（C）A.13 cm B. 14 cm C.13 cm 或14 cm D. 以上都不对4.已知实数 x , y 满足 | x - 4| + (y-8) = 0 , 则以 x , y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（B）A.20 或 16 B. 20 C.16 D. 以上都不对【解析】 | x - 4| + (y-8) = 0 , x = 4 , y = 8 .这时底和腰都不确定，就需要分类讨论了. 当底是 4 时，腰为 8 时，以 4、8、8 为三边可以构成三角形， 周长 = 4 + 8 + 8 = 20 . 当底是 8 时，腰为 4 时，以 8、4、4 为三边构不成三角形 .故选 B
3、答案 .类型三 当高的位置不确定时5.在等腰三角形 ABC 中，ADBC 于点 D，且 AD = 1/2 BC，则 ABC 底角的度数为：45 或 75 或 15 .【解析】 当 ABC 为直角三角形时，A = 90，AB = AC， ADBC， B = C = 45 . 当 ABC 为钝角三角形时，AB = BC， 在 RtADB 中，D = 90，AD = 1/2 AB， ABD = 30， BAC = C = 15 . （三角形外角定理） 当 ABC 为锐角三角形时，BC = AC， 在 RtADC 中，ADC = 90，AD = 1/2 AC， C = 30， B = BAC = 1/
4、2（180 - 30）= 75 .综上所述：ABC 底角的度数为 45 或 75 或 15 .类型四 由腰的垂直平分线引起的分类讨论6.在 ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 40，求底角 B 的大小 .【解析】 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 AC 相交时， AMD = 90，ADM = 40， A = 90 - 40 = 50 . AB = AC , B = C = 1/2（180 - A）= 65； 如图，当 AB 的中垂线 MN 与 CA 的延长线相交时， AED = 90，ADE = 40， DAB = 90 - 40 = 50 .
5、AB = AC , B = C = 1/2 DAB = 25 .综上所述：底角 B 的度数为 65 或 25 .类型五 由腰上的中线引起的分类讨论7.等腰三角形底边长为 5 cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3 cm , 求腰长 .【解析】解：设等腰三角形的腰长为 2x , 一腰上的中线长为 y , 根据题意可得：（2x + x）- （5 + x）= 3 或（5 + x）-（2x + x）= 3 ,解得 x = 4 或 x = 1 , 2x = 8 或 2， 当 ABC 的三边长为 8 , 8 , 5 时，符合三角形三边关系定理，可以构成三角形； 当 ABC 的三边长为 2 , 2 , 5 时， 2 + 2 5 , 不符合三角形三边关系定理，构不成三角形 .综上所述，等腰三角形的腰长为 8 cm .
