数值分析积分上

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1、第七章数值积分与（上）第七章目录1 数值积分的基本概念 1.1构造数值求积公式的基本思想 1.2代数精度 1.3插值型求积公式2 牛顿一柯特斯（Newton-Cotes）公式 2.1牛顿一柯特斯公式 2.2几种低价N-C求积公式的余项 2.3牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性3 复化求积公式 3.1复化梯形公式 3.2复化Simpson公式与复化Cotes公式第七章目录4 变步长方法（逐次分半算法） 4.1 梯形公式的逐次分半算法 4.2 Simpson公式的逐次分半算法5 龙贝格（Romberg）求积公式 5.1外推法 5.2 Romberg求积公式6 高斯（Gauss）型求积公式7 7 数值

2、微分数值微分序(1) 计算定积分计算定积分 的值是经常遇到的一个问题，的值是经常遇到的一个问题，由微积分理论知道：只要求出由微积分理论知道：只要求出f f ( (x x) )的一个原函数的一个原函数F F( (x x) )，就可以利用牛顿就可以利用牛顿莱布尼慈（莱布尼慈（Newton-LeibnizNewton-Leibniz）公式公式出定积分值：出定积分值： 但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法但是，在工程技术领域，在实际使用上述求积分方法时，往往会遇到下面情况：时，往往会遇到下面情况： 1. 1. 函数函数f f ( (x x) )没有具体的解析表达式，只有一些由实验没有具体的解

3、析表达式，只有一些由实验 测试数据形成的表格或测试数据形成的表格或 图形。图形。序(2) 3. 3. f f ( (x x) ) 的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。的结构复杂，求原函数困难，即不定积分难求。 2. 2. f f ( (x x) )的原函数无法用初等函数表示出来，如：的原函数无法用初等函数表示出来，如： 由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算由于以上种种原因，因此有必要研究积分的数值计算方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积方法，进而建立起上机计算定积分的算法，此外，数值积分也是研究微分方程和积分方程的数值解法的基础。分也是研究微分方程和积分方程的数值

4、解法的基础。同样，对函数同样，对函数f f ( (x x) )求导，也有类似的问题，需要研究数求导，也有类似的问题，需要研究数值微分方法。值微分方法。 1 数值积分的基本概念 1.1 构造数值求积公式的基本思想 定积分定积分I I=a ab b f f ( (x x) )dxdx在几何上为在几何上为x=a, x=bx=a, x=b, , y= y=0 0和和y=f y=f ( (x x) )所所围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于围成的曲边梯形的面积。定积分计算之所以困难，就在于这个曲边梯形中有一条边这个曲边梯形中有一条边y=f y=f ( (x x) )是曲边，而不是规则图形。

5、是曲边，而不是规则图形。 由积分中值定理，对连续函数由积分中值定理，对连续函数f f ( (x x) )，在区间在区间 a a, , b b 内至内至少少存在一点存在一点 ，使：，使： 也就是说，曲边梯形的面积也就是说，曲边梯形的面积I I 恰好恰好等于底为（等于底为（b b- -a a），），高为高为f f ( ( ) )的规则图的规则图形形矩形的面积（图矩形的面积（图7-17-1），），f f ( ( ) )为曲为曲边梯形的平均高度，然而点边梯形的平均高度，然而点 的具体位置一般是不知道的，的具体位置一般是不知道的，因此难以准确地求出因此难以准确地求出f f ( ( ) )的值。但是，由此

6、可以得到这样的值。但是，由此可以得到这样的启发，只要能对平均高度的启发，只要能对平均高度f f ( ( ) )提供一种近似算法，便可提供一种近似算法，便可以相应地得到一种数值求积公式。以相应地得到一种数值求积公式。 图图7-1 7-1 a ab b 构造数值求积公式的基本思想（续） 如，用两端点的函数值如，用两端点的函数值f f ( (a a) )与与f f ( (b b) )取算术平均值作为平均取算术平均值作为平均高度高度f f ( ( ) )的近似值，这样可导出求积公式：的近似值，这样可导出求积公式： 更一般地，可以在区间更一般地，可以在区间 a a, , b b 上适当选取某些点上适当选

7、取某些点x xk k ( (k k=0,1, ,=0,1, ,n n) )，然后用然后用f f ( (x xk k) ) 的加权平均值近似地表示的加权平均值近似地表示f f ( ( ) )，这样得到一般的求积公式：这样得到一般的求积公式： 其中，点其中，点x xk k 称为求积节点，系数称为求积节点，系数A Ak k 称为求积系数，称为求积系数，A Ak k 仅仅与节点仅仅与节点x xk k 的选取有关，而不依赖于被积函数的选取有关，而不依赖于被积函数f f ( (x x) )的的具体形式，即具体形式，即x xk k决定了，决定了，A Ak k也就相应的决定了。也就相应的决定了。 构造数值求积

8、公式的基本思想（续1）回顾定积分的定义，积回顾定积分的定义，积分值分值I I 是和式的极限：是和式的极限： 其中其中 x xk k是是 a a, , b b 的每的每一个分割小区间的长度，它与一个分割小区间的长度，它与f f ( (x x) )无关，去掉极限，由此无关，去掉极限，由此得到近似计算公式：得到近似计算公式： 因此，式（因此，式（7-17-1）可作为一般的求积公式，其特点是将积）可作为一般的求积公式，其特点是将积分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布分问题归结为函数值的计算，从而避开了使用牛顿一莱布尼慈公式需要求原函数的困难，适合于函数给出时计算积尼慈公式需要求原函数的困

9、难，适合于函数给出时计算积分，也非常便于设计算法。便于上机计算。分，也非常便于设计算法。便于上机计算。 求积公式（求积公式（7-17-1）的截断误差为：）的截断误差为：Rn也称为积分余项。1.2 代数精度 数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多数值积分是一种近似方法，但其中有的公式能对较多的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。的函数准确成立，而有的公式只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的为了反映数值积分公式在这方面的差别，引入代数精度的概念。概念。 定义定义1 1 如果某个求积公式对所有次数不大于如果某个求积公式对所有次数不大于mm的多

10、项式的多项式都精确成立，而至少对一个都精确成立，而至少对一个m m +1+1次多项式不精次多项式不精确成，则称该公式具有确成，则称该公式具有mm次代数精度。次代数精度。 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于一般来说，代数精度越高，求积公式越好。为了便于应用，由定义应用，由定义1 1容易得到下面定理。容易得到下面定理。 定理定理1 1 一个求积公式具有一个求积公式具有mm次代数精度的充分必要条次代数精度的充分必要条件是该求积公式对件是该求积公式对 1,1,x,xx,x2 2,x,xmm 精确成立，而对精确成立，而对x xmm+1+1不精确成立。不精确成立。 代数精度(续1）试验证梯形公

11、式具有一次代数精度。试验证梯形公式具有一次代数精度。 例例1 1同理可证明矩形公式的同理可证明矩形公式的代数精度也是一次的代数精度也是一次的 代数精度（续2）上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公上述过程表明，可以从代数精度的角度出发来构造求积公式。式。 例如，对于求积公式（例如，对于求积公式（7-17-1），若事先选定一组求积），若事先选定一组求积节点节点x xk k ( (k k=0,1,=0,1,n,n,) )， x xk k可以选为等距点，也可以选为非可以选为等距点，也可以选为非等距点，等距点，则可令公式对则可令公式对f f( (x x)=1,)=1,x x,x xn n

12、精确成立，即得：精确成立，即得： 这是关于这是关于A A0 0、A A1 1、A An n的线性方程组，系数行的线性方程组，系数行列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在列式为范德蒙行列式，其值不等于零，故方程组存在唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数唯一的一组解。求解该方程组即可确定求积系数A Ak k，所得到的求积公式（所得到的求积公式（7-17-1）至少具有）至少具有n n次代数精度。次代数精度。 代数精度举例例2 确定求确定求积公式积公式 使其具有尽可能高的代数精度。使其具有尽可能高的代数精度。 解求积公式中含有三个待定参数，可假定近似式（求积公式中含有三个待定参数，可假定

13、近似式（7-7-3 3）的代数精度为）的代数精度为m m =2=2，则当则当f f ( (x x)=1)=1，x x，x x2 2时，式（时，式（7-37-3）应）应准确成立，即有：准确成立，即有：代回去可得：代回去可得： 公式（公式（7-47-4）不仅对特殊的次数不高于）不仅对特殊的次数不高于3 3次的多项式次的多项式f f ( (x x) ) = 1,= 1,x x, ,x x2 2, , x x3 3准确成立，而且对任意次数不高于准确成立，而且对任意次数不高于3 3次的多项次的多项式式, ,a a0 0+ +a a1 1x x+ +a a2 2x x2 2 + + a a2 2x x3

14、3 （f f ( (x x)=1,)=1,x x, ,x x2 2, , x x3 3的线性组合）也的线性组合）也准确成立，事实上，令准确成立，事实上，令R R( ( f f ) )表式（表式（7-47-4）的截断误差：）的截断误差： 检查（7-4）对 m = 3 是否成立，为此，令 f(x)=x3 代入（7-4），此时左边 。再检查（7-4）对m=4是否成立，令f(x)=x4代入（7-4），此时:因此近似式（7-4）的代数精度为m=3.代数精度举例（续1）由于对任意的常数 , 和函数f (x)，g (x) 成立: 这表明，误差对f (x)=1, x, x2, x3准确成立，则对它们的任意线性

15、组合a0 + a1x + a2x2+ a3x3也准确成立，所以通常检查一个求积公式是否具有m次代数精度，只需检查对f(x)=1,x,xm 是否准确成立即可。上述方法称为待定系数法！ 代数精度举例（续2）待定系数法注释 注1：由待定系数法确定的求积公式没有确切的误差估计式，只能从其所具有的代数精度去判定求积公式的准确程度。 注2：因此，希望由待定系数法确定的求积公式的代数精度越高越好，通常的方法是要确定n +1个待定系数。可设求积公式具有n次代数精度，去建立n +1个方程求解，否则的话，只设其具有0次代数精度，建立1个方程也可以求出n +1个待定参数. 上述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的上

16、述方法称为待定系数法，在具有尽可能高的代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。代数精度的要求下，利用它可以得出各种求积公式。1.3 插值型求积公式 其中其中l lk k( (x x) ) 为插值基函数。取为插值基函数。取f f ( (x x) ) L Ln n( (x x) )，则有：则有：记：记：则有：则有： 设给定一组节点设给定一组节点a a x x0 0 x x1 1 x xn n-1-1 x xn n b b，且已知且已知f f ( (x x) ) 在这些节点上的函数值，则可求在这些节点上的函数值，则可求 得得f f ( (x x) )的拉格朗日插值多项式：的拉格朗日插值多项式：

17、 插值型求积公式（续） 这种求积系数由式（7-5）所确定的求积公式称为插值型求积公式。 根据插值余项定理，插值型求积公式的求积余项为： 其中 a,b 且与x有关。在插值中，因f (x) 不知道，所以无法估计插值误差。而在这里，f (x)作为被积函数，式（7-6）却可以用于估计积分的误差。 插值型求积公式代数精度定理关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。关于插值型求积公式的代数精度，有如下定理。 具有具有n n +1+1个节点的数值求积公式（个节点的数值求积公式（7-17-1）是插值型求积）是插值型求积公式的充分必要条件是该公式至少具有公式的充分必要条件是该公式至少具有n n次代数精度。次代

18、数精度。定定理理2 2证：证：( (充分性充分性) ) 设求积公式（设求积公式（7-17-1）至少具有）至少具有n n次代数精度，次代数精度，那么，由于插值基函数那么，由于插值基函数 l li i( (x x) () (i i=0,1,=0,1,n n) )均是次数为均是次数为n n的的多项式，故式（多项式，故式（7-17-1）对）对l li i( (x x) )精确成立，即精确成立，即: : 定理2（续） (必要性) 设求积公式（7-1）是插值型的，则对所有次数不大于n的多项式f (x)，按（7-6）其求积余项Rn = 0，即公式是精确成立的。由定义1知求积公式至少具有n次代数精度。（证毕）

19、 定理2说明，当求积公式（7-1）选定求积节点xk后，确定求积系数Ak有两条可供选择的途径：求解线性方程 组（7-2）或者计算积分（7-5）。由此得到的求积公式都是插值型的，其代数精度均不小于n次。 插值型求积公式举例例3考察求积公式：考察求积公式： 具有几次代数精度。具有几次代数精度。 此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，此例说明三个节点的求积公式不一定具有二次数精度，其原因是此求积公式不是插值型的。其原因是此求积公式不是插值型的。 2 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式 本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，本节介绍求积节点等距分布时的插值型求积公式，即牛顿一柯

20、特斯（即牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式。公式。 2.1 2.1 牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式公式 设将积分区间设将积分区间 a a, , b b 划分为划分为n n等分，步长等分，步长h h=(=(b-ab-a)/ )/n n，求积节点取为求积节点取为x xk k = = a a+ +khkh( (k k=0,1,=0,1,n n) )，由此构造插值型由此构造插值型求积公式，则其求积系数为求积公式，则其求积系数为: : 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续）称之为称之为n n阶牛顿一柯特斯（

21、阶牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式公式简记为简记为N N- -C C公式公式， 称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被称为柯特斯系数。显然，柯特斯系数与被积函数积函数f f ( (x x) ) 和积分区间和积分区间 a a, , b b 无关，且为多项式积分，其值无关，且为多项式积分，其值可以事先求出备用。表可以事先求出备用。表7-17-1中给了了部分柯特斯系数。中给了了部分柯特斯系数。 记：记：柯特斯系数 表7-1 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 9891/283508751 3577 1323 2989

22、2989 1323 3577 7511/172807 41 216 27 272 27 216 411/8406 19 75 50 50 75 191/2885 7 32 12 32 71/904 1 3 3 11/83 1 4 11/62 1 11/21nA AB Bk k牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续1） 经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的经计算或查表得到柯特斯系数后，便可以写出对应的牛顿一柯特斯（牛顿一柯特斯（Newton-CotesNewton-Cotes）公式。公式。 当当n n =1=1时，按公式（时，按公式（7-77-7）有：）有：得求积公式：得求积

23、公式：即为即为梯形公式梯形公式 相应的求积公式：相应的求积公式：称为称为辛卜生辛卜生（SimpsoSimpson n）公式公式。 牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式（续2）所以柯特斯公式是：所以柯特斯公式是：当当n=n=4 4时，所得的公式称作时，所得的公式称作柯特斯公式柯特斯公式，它有五个节点，它有五个节点，其系数：，其系数：柯特斯系数的性质1 1、与积分区间无关与积分区间无关：当：当n n确定后，其系数和确定后，其系数和 都等于都等于1 1，即：即： 2、对称性：此特性由表此特性由表7-17-1很容易看出，现就一般情况证明之。很容易看出，现就一般情况证明之。 3、柯特斯系数并不永

24、远都是正的。 从表从表7-17-1可以看出当可以看出当n n = 8= 8时，出现了负系数，在实际时，出现了负系数，在实际计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿计算中将使舍入误差增大，并且往往难以估计，从而牛顿一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计一柯特斯公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此实际计算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。算中不用高阶的牛顿一柯特斯公式。 柯特斯系数的性质（续）2n阶Newton-Cotes公式至少具有2n+1次代数精度。 一般地，由一般地，由n n次插值多项式导出的次插值多项式导出的n n次牛顿一柯特斯次牛顿一柯特斯公公式至少具有式至少具有n n

25、次代数精度，更进一步有以下结论：次代数精度，更进一步有以下结论：定理3（证明见下屏）（证明见下屏）N为偶时的牛柯公式的代数精度证明 上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，上式中被积函数是奇函数，积分区间关于原点对称，故积分值为故积分值为0 0，即：，即：所以所以2 2n n阶阶N-CN-C公式至少具有公式至少具有2 2n n+1+1次代数精度。次代数精度。 N-C公式应用举例例4 验证辛卜生验证辛卜生（SimpsonSimpson）公式公式: : 具有三次代数精度。具有三次代数精度。解：由定理：由定理2,2,辛卜生公式至少具有二次代数精度辛卜生公式至少具有二次代数精度, ,因此只需因此

26、只需检查对检查对f f ( (x x)=)=x x3 3成立否。当成立否。当f f ( (x x)=)=x x3 3时：时： 所以所以I I = = S S，表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项表明辛卜生公式对于次数不超过三次的多项式准确成立，用同样的方法可以验证对于式准确成立，用同样的方法可以验证对于f f ( (x x)=)=x x4 4，辛卜辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。生公式不成立，因此辛卜生公式的代数精度可以达到三次。 在几种低阶在几种低阶N-CN-C公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，公式中，感兴趣的是梯形公式（最简单，最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。

27、最基本）、辛卜生公式和柯特斯公式。N-C公式应用举例（续）例5解：由：由梯形公式梯形公式（7-97-9）得：得： 由由辛卜生公式辛卜生公式（7-107-10）得：得：由由柯特斯公式（7-11）得：得：事实上，积事实上，积分的分的精确值： 分别用梯型公式、辛卜生公式和柯特斯公式计算积分： 与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有与之相比可以看到，柯特斯公式的结果最好，具有七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效七位有效数字；辛卜生公式的结果次之，具有四位有效数字；而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。数字；而梯形公式的结果最差，只有两位有效数字。 2.2 几种低价N-C求积公式的余

28、项 1.考察梯形公式，按余项公式（考察梯形公式，按余项公式（7-67-6），梯形公式（），梯形公式（7-97-9） 的余项为：的余项为： 这里被积函数中的因子这里被积函数中的因子( (x xa a)( )(x xb b) )在区间在区间 a a, , b b 上上不变号（非正），故由积分中值定理，在不变号（非正），故由积分中值定理，在 a a, , b b 内至少存内至少存在一点在一点 ，使：，使： 2. 对于辛卜生公式，为得到其误差估计式，在a, b 区间上构造三次多项式H(x)，让H(x) 满足插值条 件（带导数插值）： （紧接下屏）（紧接下屏）辛卜生公式误差估计式的 推导而辛卜生公式至少

29、具有三次代数精度，因此对上述三次多而辛卜生公式至少具有三次代数精度，因此对上述三次多项式项式H H( (x x) ) 应准确成立，即有：应准确成立，即有：其插值其插值余项为：余项为：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：因此，辛卜生公式的误差就是对上述误差公式的积分：3. 柯特斯公式（6-10）的余项为： 辛卜生公式误差估计式的 推导（续）2.3 牛顿一柯特斯公式的稳定性和收敛性 根据定理根据定理2 2，牛顿一柯特斯公式（，牛顿一柯特斯公式（6-76-7）对）对f f ( (x x)=1)=1精确精确成立，即：成立，即： 由此可得：由此可得： 下面来分析下面来分析f f ( (x x

30、k k) ) 的误差对数值求积结果的影响。的误差对数值求积结果的影响。 设设f f ( (x xk k) )有误差有误差 k k，并设并设 : :则由此引起的计算误差为：牛顿一柯公式的稳定性和收敛性（续） 关于收敛性可以证明，并非对一切连续函数f (x)，都有： ， 也就是说牛顿柯特斯公式的收敛性没有保证。因此，在实际计算中，一般不采用高阶(n 8) 的牛顿柯特斯公式。 在实验计算中常用的就是以上三种低阶的N-C公式，但若积分区间比较大，直接使用这些求积公式，则精度难以保证；若增加节点，就要使用高阶的N-C公式，然而前面已指出，当n 8时，由于N-C公式的收敛性和稳定性得不到保证，因此不能采用

31、高阶的公式，事实上，增加节点，从插值的角度出发，必然会提高插值多项式的次数，Runge现象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高阶N-C公式，为提高精度，当增加求积节点时，考虑对被积函数用分段低次多项式近似，由此导出复化求积公式。3 复化求积公式 3.1 复化梯形公式 用分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分用分段线性插值函数近似被积函数，等于把积分区间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似区间分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值。如图如图7-27-2所示，这样求得的近似值显然比用梯

32、形公式计所示，这样求得的近似值显然比用梯形公式计算高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小算高。定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积区间长度趋于零时，小梯形面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。的准确值，即定积分的准确值。复化梯形公式 它实际上就是用定积分它实际上就是用定积分定义计算积分，经等分区定义计算积分，经等分区间，在每个小区间上以直间，在每个小区间上以直线近似替代曲顶（线）然线近似替代曲顶（线）然后求知，略掉无限细分区后求知，略掉无限细分区间（求极限）这一步而得间（求极限）这一步而得到的近似值。到的近似值。 图图

33、7-2 7-2 o oa ab bX XY Y式（7-15）称为复化梯形公式。复化梯形公式的截断误差 因为f (x) 在a, b 连续，由介值定理，存在(a, b)，使得：从而有：这就是复化梯形公式的截断误差。 复化梯形公式的数值稳定性讨论 下面简单讨论复化梯形公式的数值稳定性。设计算函数值f (xk) 时产生误差为 k (k=0,1,n)，则用式（7-15）计算结果的误差为： 因此，无论n为多大，复化梯形公式是数值稳定的。 3.2 复化Simpson公式和复化Cotes公式 如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上如果用分段二次插值函数近似被积函数，即在小区间上用用SimpsonSi

34、mpson公式计算积分近似值，就导出复化公式计算积分近似值，就导出复化SimpsonSimpson公式。公式。 整理后得到：整理后得到：式（式（7-177-17）称为）称为复化复化SimpsonSimpson公式公式。 （紧接下屏）（紧接下屏）复化Simpson公式的截断误差 如果如果f f ( (x x) ) C C(4)(4) a a, , b b ，由式（由式（7-137-13）可得复化）可得复化SimpsonSimpson公式的截断误差为：公式的截断误差为：因为因为f f (4)(4)( (x x) ) 连续，故存在连续，故存在 ( (a a, , b b) )，使得：使得： 式（式（

35、7-187-18）表明，步长）表明，步长h h越小，截断误差越小。与复化越小，截断误差越小。与复化梯形公式的分析相类似，可以证明，当梯形公式的分析相类似，可以证明，当n n 时，用复化时，用复化SimpsonSimpson公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具公式所求得的近似值收敛于积分值，而且算法具有数值稳定性。有数值稳定性。 复化Cotes公式 将区间将区间 a a, , b b 分成分成n n 等分，分点为：等分，分点为：在每个小区间：在每个小区间：上，共五个点：上，共五个点： 用用CotesCotes公式得到公式得到复化复化CotesCotes公式公式 ：复化复化CotesCote

36、s公式的公式的截断误差截断误差为：为： 复化求积公式举例根据函数表 例6解：（1 1）由复化梯形公式）由复化梯形公式, ,n n=8=8,h,h=1/8=1/8： k xk xk k f f ( (x xk k)=)=Sin xSin xk k/ / x xk k k k x xk k f f ( (x xk k)=)=Sin xSin xk k/ / x xk k 0 0 1.000000 5 0.625 0.9361560 0 1.000000 5 0.625 0.9361561 0.125 0.997398 6 0.75 0.9088521 0.125 0.997398 6 0.75 0

37、.9088522 0.25 0.989616 7 0.825 0.8771932 0.25 0.989616 7 0.825 0.8771933 0.375 0.976727 8 1 0.8414713 0.375 0.976727 8 1 0.8414714 0.5 0.958851 4 0.5 0.958851 例6(续）（2 2）由复化）由复化SimpsonSimpson公式公式, ,n n=4,=4,h h=1/4=1/4： 与准确值与准确值I=0.9460831I=0.9460831比较，显然用复化比较，显然用复化SimpsonSimpson公式公式计算精度较高。计算精度较高。 事实

38、上，由误差公式（事实上，由误差公式（7-167-16）与（）与（7-187-18）有）有R RT T ( (f f )=)=OO( (h h2 2), ), R RS S ( (f f )=)=OO( (h h4 4) )，故当故当h h比较小时，用复化比较小时，用复化SimpsonSimpson公式计算误差较小。公式计算误差较小。 由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反由误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，反之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。之，亦可由给定的精度估计应取多大步长。复化求积公式举例（续）若用复化求积若用复化求积公式计算积分公式计算积分: :的近似值，要求计算结

39、果有的近似值，要求计算结果有四位有效数字，四位有效数字，n n应取多大？应取多大？ 例7 解解 因为当因为当00x x11时有时有0.30.3e e-1-1ee- -x x11于是：于是： 要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过要求计算结果有四位有效数字，即要求误差不超过1010-4 -4 / 2/ 2。又因为。又因为: : 因此若用复化梯形公式求积分，因此若用复化梯形公式求积分，n n应等于应等于4141才能达到才能达到精度。精度。由复化梯形公式误差估计式：由复化梯形公式误差估计式：若用复化若用复化SimpsonSimpson公式公式 由式（由式（7-187-18） 即得即得n n 1

40、.61.6。故应取故应取n n = 2= 2。 即得即得n n 3.23.2。故应取故应取n n = 4= 4。 a a, , b b 分成分成n n 等分，分点为：等分，分点为：在每个小区间：在每个小区间：上，共三个点：上，共三个点：所以这里在所以这里在00, 1, 1上实际上共有上实际上共有5 5个分点。个分点。若用公式若用公式注意这里是将区间注意这里是将区间例6、例7说明 例7的计算结果表明，为达到相同的精度，用复化Simpson公式所需的计算量比复化梯形公式少，这也说明了复化Simpson公式的精度较高，实际计算时多采用复化Simpson公式。 复化求积方法又称为定步长方法，要应用复化

41、求积公式，必须根据预先给定的精度估计出合适的步长或n，进而确定对积分区间的等分数，如同例7一样。然而当被积函数稍复杂一些，要由误差估计式给出合适的步长，就要估计被积函数导数的上界值，而这一点是相当困难的。（紧接下屏）（紧接下屏）例6、例7说明（续） 要使截断误差不超要使截断误差不超过过1010-3-3 / 2 / 2，h h应取多大？应取多大？ 如对例如对例6 6，用复化梯形求积公式计算积分，用复化梯形求积公式计算积分: :4 逐次分半算法(变步长方法) 用复化求积公式（定步长方法）必须要用误差估计式对于预先给定的精度给出步长h或n,但由于误差估计式中要估计高阶导数，而这一点往往很困难，因此实

42、际计算时，常采用变步长方法：逐步缩小步长，每次将步长缩小一半，或者说逐次等分区间,反复利用复化求积公式，直到相邻两次计算结果相差不大为止或者满足给定精度为止。 4.1 梯形法的递推公式 因此计算梯形序列因此计算梯形序列 T T2 2mm 可按：可按： 梯形公式的逐次分半算法（续1）梯形公式的逐次分半算法（续1）4 4 设将区间设将区间 a a , , b b n n等分，共有等分，共有n+1n+1个分点，个分点， 如果将积分区间再等分一次，则分点增为如果将积分区间再等分一次，则分点增为2 2n+1n+1个，将个，将等分前后两个积分值联系起来加以考察：等分前后两个积分值联系起来加以考察：注意到每

43、个子区间注意到每个子区间经过等分只增加了一个分点：经过等分只增加了一个分点：用复化梯形公式可求得用复化梯形公式可求得上的积分值为上的积分值为注意，这里注意，这里代表等分前的步长。代表等分前的步长。梯形公式的逐次分半算法（续2）此为此为复化梯形公式的递推公式 将每个子区间上的积分值相加得：将每个子区间上的积分值相加得：梯形公式的逐次分半算法（续3）按上述逐次分半算法，并利用递推公式，按上述逐次分半算法，并利用递推公式，T T2 2mm 的计算较容的计算较容易，那么，上述算法何时停止？易，那么，上述算法何时停止？复化梯形公式的停止计算控制 f f ( ( m-1m-1) ) 与与 f f ( (

44、mm) ) 是二阶导数是二阶导数 f f ( (x x) ) 在在 a a, , b b 上上2 2m-1m-1个点个点与与2 2mm个点的算术平均数（每个小区间上取一个点），个点的算术平均数（每个小区间上取一个点）， 若若f f ( (x x) ) 在在 a a, , b b 的二阶导数连续，则当的二阶导数连续，则当mm较大时：较大时： 以此作为停止计算以此作为停止计算的控制。的控制。 复化simpson的停止计算控制 4.2 Simpson公式的逐次分半法 （紧接下屏）（紧接下屏）Simpson公式的逐次分半法（续）梯形公式的逐次分半法举例用自动选择步长的梯形用自动选择步长的梯形公式计算公

45、式计算I I，要求误差要求误差 例8例8（续）上例说明Tn收敛慢，求T128 要计算64个新增的函数值，而将T8与T4重新组合可构造S8。例8说明由由T T8 8与与T T4 4重新组合可重新组合可构造构造S S8 8，这一结果并这一结果并不是偶然，因为有：不是偶然，因为有：例8说明（续1）我们将此误差估计加到我们将此误差估计加到T T2 2mm上构成新的近似值：上构成新的近似值： 在复化梯形公式逐次分半算法中：而在而在SimpsonSimpson逐次分半算法中：逐次分半算法中： ( (紧接下屏！紧接下屏！) )由于为复化Cotes序列，即由Simpson序列可构造出收敛更快的Cotes序列

46、。例8说明（续2）例8说明（续3） 并且我们的具体做法都是利用并且我们的具体做法都是利用控制结束的误差式，控制结束的误差式，构成新的，收敛更快的序列构成新的，收敛更快的序列，而由前面的推导可知，而由前面的推导可知，下面这些公式具有如下规律性：下面这些公式具有如下规律性： 例8说明（续4）类似地，也可以推导出：类似地，也可以推导出： 5 龙贝格（Romberg）求积公式 5.1 5.1 外推法外推法 从上面例，我们看到复化梯形序列从上面例，我们看到复化梯形序列 T T2 2mm 收敛较慢，而收敛较慢，而利用梯形序列这些较粗略的近似值，重新进行线性组合利用梯形序列这些较粗略的近似值，重新进行线性组

47、合得到的结果收敛更快，更准确。这种利用若干精略近似得到的结果收敛更快，更准确。这种利用若干精略近似值推算更精确的近似值的方法，称为值推算更精确的近似值的方法，称为外推法外推法。 下面再举例说明：下面再举例说明： 李查逊（Richardson）外推法 从一个基本公式出发，利用加速收敛的技巧，可以构造从一个基本公式出发，利用加速收敛的技巧，可以构造出收敛速度更快的近似序列，下面的出收敛速度更快的近似序列，下面的李查逊（李查逊（RichardsonRichardson）外推法外推法就是这样一种方法。就是这样一种方法。 设用某种数值方法求积分设用某种数值方法求积分I I的近似值，一般设近似值是的近似值

48、，一般设近似值是步长的函数，记为步长的函数，记为I I1 1( (h h) )，若有相应的误差关系式：若有相应的误差关系式： 李查逊（Richardson）外推法（续）5.2 龙贝格（Romberg）求积公式 回到这里的积分问题我们可由变步长公式计算复化梯形回到这里的积分问题我们可由变步长公式计算复化梯形T T2 2mm，得到梯形序列得到梯形序列 T T2 2mm ，它收敛较慢，能否由它构造出它收敛较慢，能否由它构造出新的，收敛更快的序列？新的，收敛更快的序列？ 将上述将上述RichardsoRichardson n外推法应用到外推法应用到 T T2 2mm ，就可构造出计就可构造出计算简便，

49、收敛却很快的数值积分公式。算简便，收敛却很快的数值积分公式。T T2 2k k与积分之间有下面的误差关系式与积分之间有下面的误差关系式: : 这个基本关系式中系数这个基本关系式中系数a a1 1, ,a a2 2,a ak k,均与均与h h无关，称为无关，称为Euler-MaclaurinEuler-Maclaurin公式公式，利用它可构造出收敛更快的序列，利用它可构造出收敛更快的序列（同前一样）即首先构成这里的具体的误差关系式：（同前一样）即首先构成这里的具体的误差关系式： 龙贝格(Romberg)求积公式（续1）龙贝格(Romberg)求积公式（续2）复重上述外推过程可得（直接用复重上述

50、外推过程可得（直接用RichardsonRichardson结果）结果） 这就是这就是龙贝格（龙贝格（RombergRomberg）求积公式求积公式，以，以 近似近似I I，误差误差见上：见上： 外推公式实际计算时可列表计算：实际计算时可列表计算： k kT T0 0( (k k) )T T1 1( (k k) )T T2 2( (k k) )T T3 3( (k k) )0 0T T0 0(0)(0) 1 1T T0 0(1) (1) T T1 1(0)(0)2 2T T0 0(2) (2) T T1 1(1) (1) T T2 2(0)(0)3 3T T0 0(3) (3) T T1 1(2) (2) T T2 2(1) (1) T T3 3(0)(0)外推公式（续）Romberg方法举例例9 用用RombergRomberg方方法计算积分：法计算积分：的近似值，要的近似值，要求误差不超过求误差不超过 解解 根据例根据例6 6中的函数表按式（中的函数表按式（7-97-9），（），（7-217-21）与（）与（7-257-25）计算，得：）计算，得：