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1、1数学实验上机指导书实验题目实验一 解方程和方程组与极限运算一、实验目的（1）掌握 Mathematica 软件的计算器功能；（2）学会使用 Mathematica 软件求各种类型方程（或方程组）的数值解和符号解；（3）通过本实验深刻理解极限概念；（4）学习并掌握利用 Mathematica 求极限的基本方法。二、预备知识（1）方程（或方程组）代数解法的基本理论，函数的零点，方程（或方程组）的解及数值解；（2）本实验所用命令： 用“= =”连接两个代数表达式构成一个方程 求方程（组）的代数解：Solve方程或方程组，变量或变量组 求方程（组）的数值解：NSolve方程或方程组，变量或变量组 从
2、初始值开始搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组初值 在界定范围内搜索方程或方程组的解：FindRoot方程或方程组，变量或变量组范围 绘图命令：Plot表达式，变量，上限，下限 ，可选项 微分方程求解命令：DSolve微分方程, y x, x（3）极限、左极限、右极限的概念；2（4）本实验所用 Mathematica 有关命令： Limitexpr, x-x 0 求表达式在 时的极限0x Limitexpr,x-x 0,Direction - 1 求左极限 Limitexpr,x-x 0,Direction -1 求右极限三、实验内容与要求（1）计算 ； 。5464
3、567（2）对于方程 ，试用 Solve 和 NsolveNSolve 分别对它进行求解，032x并比较得到的结果，体会代数解即精确解与数值解的差别。（3）先观察函数 的图形，然后选择一个初始点求解，并且根据图形fcosin)(确定在某个区间中搜索它的零点。（4）求方程组 的解，然后代入系数和常数项的一组初值，并求解。2211cybxa（5）求微分方程 的通解。xe)(3)(（6）用 Mathematica 软件计算下列极限：（1） ； （2） ； （3） ；123limnn xxtanli2xxtanlim2（4） ； （5） ； （6） ；xx3linnzli 210)si(lxx（7）
4、；（8） ；（9）ax1)(li0 2liyxy；yxy 32523lim（10） ；（11） ；（12）yxyx5232li 2limyxyx。)1sin(l0x四、实验操作（1）学会 N和 expr/N 的使用方法。3In1:=546*54564 In2:=N%In3:=4654545676 / N（2）学会 Solve和 NSolve的使用方法。In5:= p=x4-2x3-4x2+3;Solvep=0,xIn6:=NSolvep= =0,x（3）学会 Clear和 FindRoot的使用方法In7:=ClearxIn8:=f=Sinx-CosxIn9:=Plotf,x,-4,4In10
5、:=FindRootf,x,1In11:=FindRootf,x,0,1（4）学会用 Solve求解方程组。In12:=Solvea1*x+b1*y=c1,a2*x+b2*y=c2,x,y（5）学会 DSolve的使用方法In13:=DSolveyx+3yx+2yx= =Expx,yx,x（6）用 Mathematica 软件计算下列极限：（1）In1:= Limit(n3)/(-n3+n2+1),n -Infinity;（2）In2:= LimitTanx,x-Pi/2,Direction-1（3）In3:= LimitTanx,x-Pi/2,Direction-1（4）In4:= Limi
6、t3x 3 x3x 3 x, x （5）In5:= Limit2n z2n zn, n （6）In6:= LimitSinxx 1x2, x 0（7）In7:= Limit(1+x)a-1)/x,x-0 (*Mathematica也能处理符号极限*)（8）In8:= LimitLimitx2y2 2xy5 3y, y 3, x 2（9）In9:= LimitLimitx2y2 2xy5 3y, x 2, y 3（10）In10:= LimitLimitx2yx2 y2, x , y （11）In11:= LimitLimitx2yx2 y2, y , x 4（12）In12:= LimitSi
7、n1/x, x-0 (*无极限的例子*)实验二 积分运算与微分基本运算及函数的幂级数展开一、实验目的（1）通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；（2）学习并掌握二重积分及线性积分的计算方法；（3）学习常用积分命令；（4）掌握求函数的导函数和偏导数方法；（5）学会使用 Mathematica 软件进行函数的幂级数展开。二、预备知识（1）定积分的概念、几何意义，二重积分的概念、二重积分化为定积分的过程及其计算方法；（2）本实验所用 Mathematica 有关命令： 无限积分：Integratef,x 定积分：Integratef,x ，上限，下限 （3）函数的导函数、偏
8、导数以及函数的幂级数展开式；（4）本实验所用的 Mathematica 函数提示：（a）求导数（或偏导数） D表达式 F,x 求 F 对于变量 x 的导数； D表达式 F,x1,x2,. 按顺序求 F 关于 x1，x 2,的偏导数； D表达式 F,x,n 求 F 对 x 的 n 阶导数。（b）幂级数展开 Series 表达式 F,x,x0,n 求 F 关于变量 x 在 x0 的 n 阶泰勒展式。三、实验内容与要求 （1）求函数 的原函数；32)sin(xaf（2）求 ；xnd5（3）求 ；10dxan（4）求 ；2xy（5）求 。0dcosd（6）求出被积函数 F(x)= 的原函数和导函数，并
9、画出被积函数、原函数和5312导函数的图形，试分辨出哪一条曲线属于哪个函数。（7）对函数 sinx 在 0 点展开 10 阶和 20 阶，并以图形方式对比展开的结果和 sinx 的差别，并分析阶数高的展式对于原来函数的逼近程度是否优于阶数低的展式。四、实验操作（1）In1:= Integratea*Sinx2x3,x（2）In2:=Integratea*xn, x（3）In3:=Integratea*xn, x, 0, 1（4）In4:=IntegrateIntegratex*y, y, 2x, x2 + 1, x, 0, 1（5）In5:=Integratex*Cosy,x,0,Pi,y,0
10、,x（6）In1:=f1=(x+1)/(x2+3x+5)In2:=f2=Integratef1,xIn3:=f3=Df1,xIn4:=Plotf1,f2,f3,x,-1,1（7）In5:=s1=SeriesSinx,x,0,10In6:=s2=SeriesSinx,x,0,20In7:=g1=Normals1In8:=g2=Normals2In9:=Plotg1,Sinx,x,-5,5In10:=Plotg2,Sinx,x,-5,5In11:=Plotg1-g2,x,-5,56实验三 放射性废料的处理问题一、实验目的巩固和理解微分方程理论及其应用。二、预备知识常微分方程理论和 Mathemat
11、ica 解方程的命令。三、问题的提出美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深 90 多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过 12.2 m/s，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为 239.46 kg，体积为 0.2058 m3,海水密度为 1035.71 kg/m3。如果圆桶下沉到海底时的速度小于 12.2 m/s，就说明这种方法是可靠的；否
12、则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为 0.6。（1）根据问题建立数学模型。（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？四、问题分析及建立模型圆桶运动规律：fFGF合(1)2dtsmtvaF合（2）7其中 ， mgGgVFdtskvf由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：(3)0)()(2svdt dtskgVtsd(4)kvgVmdtv2、若 ，类似上面，可得到这时圆桶的速度分别22dtskvf满足如下微分方程：2kvgVmdtv五、计算过程1、由（1） （2） （3） （4）以及题设的初始数据，通过如下Mathemat
13、ica 程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。源程序：In1:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;DSolvem*st = m*g - p*g*w - k*st, s0 = 0, s0 = 0, st, tDSolvem*vt = m*g - p*g*w - k*vt, v0 = 0, vt, t8Out1=st2.718280.00250564t171511. 171511.2.718280.00250564t429.7442.718280.00250564tt （5）vt 429.744 429.7442.71828
14、0.00250564t 0.00250564t （6）2、由（5）及 S(t)=90m，由下面程序FindRoot90 2.718281828459045 0.002505637684790779 t171510.99243459993171510.99243459992.7182818284590450.002505637684790779 t429.74440599999982.7182818284590450.002505637684790779 t t,t, 13得到：t=12.994 ，带入（6） ，运行如下命令vt_ 429.7444059999998429.74440599999982.7182818284590450.002505637684790779t 0.002505637684790779t;v12.9994得 V=13.77212.2，此时说明此法处理废料
