2010高考数学一轮—26平面向量数量积及应用

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1、一【课标要求】1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二【命题走向】本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值 59 分。平面向量的综合问

2、题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主预测 2010 年高考：（1 ）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目（2 ）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三【要点精讲】1向量的数量积（1 ）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a，作 OA ， B b，则A A（）叫 a与 b的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时， a与 b反向；（3）当时，与垂直，记 ab；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围 0180。（2 ）数

3、量积的概念已知两个非零向量 a与 b，它们的夹角为，则 ab= cos 叫做 a与b的数量积（或内积）。规定 0；C向量的投影： bcos = |abR，称为向量 b在 a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3 ）数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积（4 ）向量数量积的性质向量的模与平方的关系： 2|a。乘法公式成立22abb；2a2ab；平面向量数量积的运算律交换律成立： b；对实数的结合律成立： abaR；分配律成立： cc。向量的夹角：cos = os,ab= 221yxyx。当且仅当两个非零向量与同方向时，=0 0，当且仅当 a与 b反方向时 =180 0

4、，同时 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题（5 ）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 12(,)(,)axyb，则 ab= 12xy。（6 ）垂直：如果与的夹角为 900 则称与垂直，记作 a b。两个非零向量垂直的充要条件： O 021yx，平面向量数量积的性质。（7 ）平面内两点间的距离公式设 ),(yxa，则 22|yxa或 2|yxa。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ),(1x、 ),(2y，那么2121)()(| yxa(平面内两点间的距离公式 ) 2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2 ）向量在物理中的应用。四【典例解析】题型 1：数量积的

5、概念例 1判断下列各命题正确与否：（1 ） 0a；（2 ）；（3 ）若 ,bc，则；（4 ）若 a，则当且仅当 0a时成立；（5 ） ()()c对任意 ,bc向量都成立；（6 ）对任意向量，有 2a。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4 ）错；（5）错；（6 ）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚 a0为零向量，而 a0为零例 2 已知 ABC中，过重心 G的直线交边 AB于 P，交边 C于 Q，设 AP的面积为 1S，的面积为 2S， Pp， Qq，则（） pq（） 12的取值范围是 .【解析】设 ABa， Cb， 1APa， 2b，因为 G

6、是 ABC的重心，故()3Gb，又 ()3G， 21PQba，因为 P与 Q共线，所以，即 1()03a，又与不共线，所以 1()及 2，消去，得 1212.（） 123pq，故 pq；（） 2()3，那么 12|sinSAPQBAC11139()4，当与重合时， 1，当 P位于中点时，12，故 1,，故 12S4,.9但因为 P与 B不能重合，故 12S4,).9（2 ）设 a、 b、 c是任意的非零平面向量 ,且相互不共线 ,则（）（ a） b= 0 | a| b| | （ bc）（ c ）不与 c垂直（3 a+2b）（3 2 ）=9| |24| |2 中，是真命题的有（

8、D、 E若 AxB，AEyC， 0x，则 1xy的值为（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1解析：取ABC 为正三角形易得 xy3选 B评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力（2）已知向量 a=(cos,sin ),b=(cos,sin ),且 ab，那么 a与 b的夹角的大小是。（3）已知两单位向量与的夹角为 012，若 ,3cd，试求 c与 d的夹角。（4 ） | a|=1，| b |=2， c= a+ b，且 a，则向量与 b的夹角为（）A30 B60 C120 D150解析：（2）；（3

9、）由题意， 1ab，且 a与 b的夹角为 012，所以， 0cos2，2c()()2247b，7，同理可得 13d。而 c 217(2)()73abab，设为与 d的夹角，则 1829372cos。（4）C ；设所求两向量的夹角为 cabc 2.().0cabab2|os即： |1os所以 10.点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式 |cosba，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于 .|cos这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握例 4 （1）设平面向量 1a、 2、 3的和 0321a。如果向量 1b、 2、 3，满

10、足 |2|iib，且 i顺时针旋转 0o后与 ib同向，其中 ,i，则（）A 1+ + 3=0 B 1- 2+ 3b=C + 2- = D + + =0（2）（ 2009广东卷理）已知向量 ),(sina与 )cos,(互相垂直，其中(0,)2（1 ）求 sin和 co的值；（2 ）若 10i(),2，求 cos的值解（1） a与 b互相垂直，则 0inba，即 cos2sin，代入cossin22得 5cos,5in，又 (,)， ,5i .（2 ） 20，， 2，则 103)(sin1)cos(，2、（山东临沂 2009 年模拟）如图，已知 ABC 中，|AC|=1,

12、DB 0C CDAB，在 RtBCD 中 BC2=BD2+CD2,又 CD2=AC2AD 2, 所以 BC2=BD2+AC2AD 2=49， 4 分所以 7| C6 分（2）在ABC 中， cos 3 8 分54)3(csxx）（ 5sin）（ x而 122, 如果 120x，则 6sin1i)3sin( 3)si(10 分034)(x点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题题型 3：向量的模例 5 （1）已知向量 a与 b的夹角为 120o， 3,1,ab则等于（）A5B4C3D1（2）（2009 辽宁卷文）平面向量 a 与 b 的夹角为 06，a(2,0), | b

13、|1，则 | a2b |等于（）A. 3 B.2 3 C.4 D.12解析由已知|a|2,|a2b| 2a 24ab4b 24421cos60412 2ab解析：（1）B ；（ 2）B点评：掌握向量数量积的逆运算 Qbacos|，以及 2|a。例 6已知 a（3，4 ），（4 ，3），求 x,y 的值使(x +yb) ，且x +yb=1 。解析：由（3，4）， b（4，3），有 xa+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x a+y） (xa+y ) 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即 25x+24y ；又x +yb =1 x +yb ；（x+4y）（x +3y）；整理得 25x 48xy+25y 即 x(25x+24y)+24xy+25y ；由有 24xy+25y ；将变形代入可得：y= 75；再代回得： 75324yx和。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型 4：向量垂直、平行的判定例 7已知向量 )3,2(

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