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1、数学试卷 _ 一、选择题 1. 已知集合 2 1,2,3,4,|,ABx xnnA，则AB( ) A1,2B1,4C 2,3D9,16 2. 已知复数z满足 2 (1i)(1i)z，则z( ) A 1i B1 i C 1 iD 1i 3. 如图，在一边长为2 的正方形ABCD内有一曲线L围成的不规则图形往正方形内随机撒一把 豆子 ( 共 m 颗) 落在曲线L围成的区域内的豆子有n 颗()nm，则L围成的区域面积( 阴影部分 ) 为( ) A 4n m B 2n m C 2 n m D 4 n m 4. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序. 若输出的S为 25 24 , 则判断框中填写的内
2、容可以是 ( ) A.6nB.6nC.6nD.8n 5. 把曲线 1: 2sin() 6 Cyx上所有点向右平移 6 个单位长度，再把得到的曲线上所有点的横坐 标缩短为原来的 1 2 ，得到曲线 2 C，则 2 C( ) A关于直线 4 x对称B关于直线 5 12 x对称 C关于点(,0) 12 对称D关于点( ,0)对称 6. 设 1 lg5 2 55 2 log 4log 2,lnln 3,10 3 abc，则, ,a b c的大小关系为( ) AabcBbcaC cabDbac 7. 已知实数 ,x y满足约束条件 4 326 1 xy xy y , 且 2y x 的最小值为k，则k的值
3、为 ( ) A 4 3 B 1 3 C 1 2 D 1 5 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( ) A 3 22 2 B 53 2 22 C 3 32 2 D 73 2 22 9. 已知圆 22 :230Cxyx，直线 :2(1)0(R)lxa ya ，则 ( ) Al与C相离Bl与C相切 Cl与C相交D以上三个选项均有可能 10. 函数 ln ( ) 1 x f x x ，的图象大致是( ) A.B. C.D. 11.ABC中，角,A B C分别对应三边, , ,a b c面积为S，且 22 4(),Sabc则sin() 4 C等 于( ) A1 B 2 2 C 2 2
4、D 3 2 12. 已知是双曲线 22 2 1 4 xx b 的左焦点，定点(1,4)A，P是双曲线右支上的动点，若PFPA 的最小值是9，则双曲线的离心率为( ) A 5 4 B2C 3D2 二、填空题 13. 设向量4,1, 2amb且,ab则2ab_. 14. 设曲线lnyxx在点(1,0)处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则点P的横坐标为 _. 15. 已知函数 2 ,(1) ( ) 1 (1),(1) x x f x x f xx x ，则(2018)f_. 16. 体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上 , 球心O在此三棱 锥内部 , 且:2:3R B
5、C, 点E为线段BD的中点 , 过点E作球O的截面 , 则所得截面圆面积的最小 值是 _. 三、解答题 17. 已知数列 1 n a 是等差数列，且 327 1 ,4 8 aaa. 1. 求 n a的通项公式； 2. 若 1( N ) nnn ba an ，求数列 n b的前 n项和 n S. 18. 天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验, 经过分析推断得到的, 在现实的 生产生活中有着重要的意义. 某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现, 企业经营情况与降雨天 数和降雨量的大小有关 1. 天气预报说 , 在今后的三天中, 每一天降雨的概率均为40%, 该营销部门通过设计模拟
6、实验的方 法研究三天中恰有两天降雨的概率, 利用计算机产生0到9之间取整数值的随机数, 并用1,2,3,4,表 示下雨 , 其余6个数字表示不下雨, 产生了20 组随机数 : 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 求由随机模拟的方法得到的概率值 2. 经过数据分析, 一天内降雨量的大小x( 单位 : 毫米 ) 与其出售的快餐份数y成线性相关关系, 该营 销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下: 降雨量 ( 毫米 ) 12 3 4 5 快餐数 ( 份) 5085115140160 试建立y关于x的回归方程
7、 , 为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费, 预测降雨量为6毫米时需要准 备的快餐份数 .( 结果四舍五入保留整数) 附注 : 回归方程 ? ?ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1 2 1 ()() () ? n ii i n i i xxyy b xx , ? ? a ybx 19. 如图，已知四棱锥PABCD中，/ /,2,4,ABCD ABAD ABADCDPCPD， 60PABPAD. 1. 证明：顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点； 2. 点Q在PB上，且DQPB, 求三棱锥QBCD的体积 . 20. 已知椭圆 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的
8、右顶点与抛物线 2 2: 2(0)Cypx p的焦点重合， 椭圆 1 C的离心率为 1 2 ，过椭圆 1 C的右焦点F且垂直于x 轴的直线截抛物线 2 C所得的弦长为 4 2 . 1. 求椭圆 1 C 和抛物线2 C 的方程； 2. 过点( 2,0)A的直线l与 2 C交于,MN，点M关于 x轴的对称点M，证明：直线M N恒过 一定点 . 21. 已知函数( )lnf xxxxa的极小值为0. 1. 求实数 a 的值； 2. 若不等式 2 ( )(1)f xb x对任意(1,)x恒成立，求实数b的取值范围 . 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 已知曲线 1 C的参数方程为 2cos 3
9、sin x y （为参数），以坐标原点O为极点， x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为2. 1. 请分别写出 1 C的普通方程、 2 C的直角坐标方程； 2. 已知,M N分别为曲线 1 C的上、下顶点，点P为曲线 2 C上任意一点，求PMPN的最大 值 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知函数( )112f xxx. 1. 求不等式( )1fx的解集； 2. 若关于 x 的不等式 2 ( )2f xaa在 R 上恒成立，求实数a的取值范围 . 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： D 解析： 3. 答案： A 解析： 4. 答案： D 解析：由题可知
10、, 111125 246824 S, 结合选项知选D. 5. 答案： B 解析： 6. 答案： A 解析： 7. 答案： D 解析： 8. 答案： D 解析： 9. 答案： C 解析： 10. 答案： C 解析： 11. 答案： D 解析： 12. 答案： D 解析： 13. 答案：2 10 解析： 14. 答案： 2 e 解析： 15. 答案： 2019 解析： 16. 答案：9 解析：设3BCk, 则2Rk(0)k, 因为体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半 径为R的球O的球面上 , 所以 213 918 3 34 kh, 得 2 24 h k . 由 2 2 2 3RhRk,
11、 得 2k或 3 24k ( 舍 ), 所以4R. 由题意知点E为线段BD的中点 , 从而在ODB中, 4ODOB,6DB, 解得1697OE. 所以当截面垂直于OE时, 截面圆的半径为 1673, 故截面圆面积最小值为9. 17. 答案： 1. 由于 1 n a 为等差数列，若设其公差为d，则 327 1111 8, 4aaa ， 即 111 1111 28,6 4 ddd aaa ，解得 1 1 2,3d a . 于是 1 23(1) n n a , 整理，得 1 31 n a n . 2. 由 1 得 1 1111 () (31)(32)3 3132 nnn baa nnnn ， 1 1
12、11111 (.) 3 255831322(32) n n S nnn . 解析： 18. 答案： 1. 上述20组随机数中恰好含有1,2,3, 4中的两个数的有191,271,932,812,393, 共5个 , 所以三天中恰有两天下雨的概率的近似值为 51 204 P 2. 由题意可知 12345 3 5 x 50+85+115+140+160 =110 5 y 5 1 5 2 1 ? ()() 275 =27.5 10 () ii i i i xxyy b xx ， ? =27 5?.a ybx 所以y关于x的回归方程为:27.525 ?7.yx 将降雨量6x代入回归方程得:27.562
13、7.5192.?5193y. 所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份 解析： 19. 答案： 1. 取CD的中点为O，连接,OP OB. 4CD，则2ODBA， 又/ /,2ABCD ABAD ABAD， 四边形ABOD是正方形，OBCD. ,PCPD O为CD的中点，POCD. 又0OPOB，CD平面POB， PB平面POB，CDPB. / /ABCD，AB PB. 则在RtABP中，60 ,2,4,2 3PABABAPPB， 在ADP中，60 ,2PADAD， 由余弦定理，得164242cos602 3PD. 在RtDOP中， 22 (2 3)22 2PO， 222 481
14、2OBOPPB，OBOP. 又0CDOB， PO平面ABCD, 即顶点P在底面ABCD的射影为边CD的中点 . 2. 由题设与1 可得2 2,2 3,2 3,BDPDPBDQPB， 2222 (23)BDBQPDBQ， 2 3 3 BQ， 1 3 BQ PB . 又2 2PO，设三棱锥QBCD的高为h，则 12 2 2 2 33 h. 1 424 2 BCD S， 所求三棱锥QBCD的体积 1228 2 4 339 V. 解析： 20. 答案： 1. 设椭圆 1 C的半焦距为c，依题意 2 p a，则 2 2 :4Cyax. 代入xc，得 2 4yac，即2yac， 44 2ac . 则有 2
15、22 2 1 2 ac c a abc , 解得 2,3ab . 所以，椭圆 1 C的方程为 22 1 43 xx ，抛物线2C的方程 2 8yx. 2. 依题意，可得直线l的斜率不为0，可设l的方程为2xmy. 联立 2 2 8 xmy yx ，消元 x，得 2 8160ymy. 设 1122 (,),(,)M xyN xy ，则11 (,)Mxy ，1212 8,16yym y y . 又由 2 ( 8)4 160m，得1m或1m. 直线MN的斜率 21 212121 88 () M N yym k xxm yyyy 直线MN的方程为 22 21 8 ()yyxx yy ， 即 22212
16、12 2 21212121 8(2)()()1688myyyyyyy yxyx yyyyyyyy 212121 8168 (2)xx yyyyyy ， 2,0 xy . 当1m或1m时，直线M N恒过一定点(2,0). 解析： 21. 答案： 1. 由题设，得( )lnfxx，令( )0fx，解得1x. ( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增， 故( )f x的极小值为(1)1fa. 则由题意得10a，解得1a. 2. 由 1 知，不等式 2 ln1(1)xxxb x对任意(1,)x恒成立， 0 x， 2 (1)1 ln0 b xx x x 在(1,)上恒成立 . 不妨设 2 (1)1 ( )ln b xx h xx x ，(1,)x，则 2
