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1、数学试卷 一、选择题 1. 设全集1,2,3,4,5U,()1 U CABU,()3 U AC BI, 则集合B ( ) A.1,2,4,5 B.2,4,5 C.2,3,4 D.3,4,5 2. 若复数 1 ai i ( i是虚数单位 ) 在复平面内对应的点在第一象限 , 则实数a的取值范围是 ( ) A., 1 B.1, C.1,1 D., 11, 3. 对任意非零实数,?a b, 若ab的运算原理如图所示, 则 2 2 11 ()log 24 的值为 ( ) A. 2 B.2 C.3? D.3? 4. 设,x y满足约束条件 0 327 42 x xy xy , 则2zxy的最大值为 (
2、) A.2 B. 7 2 C.4 D.5 5. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) A.18 B.24 C.32 D.36 6. 九章算术中“竹九节”问题: 现有一根9节的竹子 , 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4 节的容积共3升, 下面3节的容积共 4升, 则第6节的容积为 ( ) A. 37 33 B. 67 66 C. 10 11 D. 23 33 7. 曲线 2 1 1 :sin () 62 Cyx如何变换得到曲线 2 1 :sin2 2 Cyx ( ) A.向右平移 5 6 个单位 B.向右平移 5 12 个单位 C.向左平移 5 6 个单位 D.向左平移 5
3、 12 个单位 8. 已知双曲线 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,FF, 以 2 F为圆心 , 12 F F为半径的圆 交C的右支于,?P Q两点 ,若 1 F PQ的一个内角为60 o , 则C的离心率为 ( ) A.3 B.31 C. 31 2 D. 6 2 9. 已知正三棱柱 111 ABCA B C, 侧面 11 BCC B的面积为4 3, 则该正三棱柱外接球表面积的最小值 为( ) A.4 B.8 C.8 3 D.16 10. 已知函数 31 ( )cossin 3 f xxxxx, 则不等式(23)(1)0fxf的解集为 ( ) A.2, B.
4、, 2 C.1, D., 1 11. 设, ,a b c均为小于1的正数 , 且 235 logloglogabc, 则( ) A. 111 532 acb B. 111 532 cab C. 111 352 bac D. 111 532 cba 12. 在数列 n a中,21 n n a, 一个5行6列的数表中 , 第i行第j列的元素为 (1,2,5,1,2,6) ijijij caaaaijLL, 则该数表中所有元素之和为( ) A. 13 2410 B. 13 2380 C. 12 214 D. 12 24 二、填空题 13. 三位同学要从,?A B两门课程中任选一门作为选修课, 则,?
5、A B两门课程都有同学选择的概率为 _. 14. 在平行四边形ABCD中,E F分别为边,BC CD的中点 , 若,ABxAEyAFx yR uuu ru uu ruuu r , 则 xy_. 15. 二项 5 () a x x 的展开式中各项系数的和为1 ?, 则该展开式中系数最大的项为_. 16. 抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F,?PQ是抛物线上的两个动点, 线段PQ、的中点为M, 过M作抛物线准线的垂线, 垂足为N, 若MNPQ, 则PFQ的最大值为 _. 三、解答题 17. 在ABC中, 边BC上一点D满足ABAD,3ADDC. 1. 若22BDDC, 求边AC的长 ; 2.
6、 若ABAC, 求sin B. 18. 某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况, 从该市使用其平台且每周平均消费额超过100 元的人员中随机抽取了100名, 并绘制右图所示频率分布直方图, 已知之间三组的人数可构成等差数 列. 1. 求 ,m n的值 ; 2. 分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现, 消费金额不低于300元的男性有20人 ,低于 300元的男性有25人, 根据统计数据完成下列22列联表 , 并判断是否有99%的把握认为消费金 额与性别有关 ? 男性女性合计 消费金额 2 0 P KK 消费金额300 合计 3. 分析人员对抽取对象每周的消费金额 y与年龄 x进一步分
7、析 , 发现他们线性相关, 得到回归方程 ?5yxb. 已知100?名使用者的平均年龄为38岁, 试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均 消费金额为多少.( 同一组数据用该区间的中点值代替) 临界值表 : 2 0 P KK 0.050?0.010?0.001 0 K3.841?6.63510.828 2 2() ()()()() n adbc K ab cdac bd , 其中nabcd 19. 多面体ABCDEF中,/ /BCEF,6BF,ABC是边长为 2的等边三角形 , 四边形ACDF 是菱形 , 0 60FAC. 1. 求证 : 平面ABC平面ACDF; 2. 求二面角CEFD的余弦
8、值 . 20. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,FF, 且离心率为 1 2 , 点M为椭圆上一 动点 , 12 F MF面积的最大值为3. 1. 求椭圆C的标准方程 ; 2. 设,?A B分别为椭圆的左右顶点, 过点B作x轴的垂线 1 l,D为 1 l上异于点B的一点 , 以BD为直 径作圆E. 若过点 2 F的直线 2 l ( 异于x轴) 与圆E相切于点H, 且 2 l与直线AD相交于点P, 试判断 1 |PFPH是否为定值 , 并说明理由 . 21. 已知函数 2 1 ( ) 2 x f xxaxae,( )g x为f ( )x的导函数 .
9、1. 求函数( )g x的单调区间 ; 2. 若函数( )g x在R上存在最大值0, 求函数f ( )x在0,上的最大值 ; 3. 求证 : 当0?x时, 22 23(32sin) x xxex. 22. 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 1cos sin xt yt (t为参数 ), 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为 2 2cos4sin40. 1. 若直线l与C相切 , 求l的直角坐标方程; 2. 若tan2, 设l与C的交点为,?A B, 求OAB的面积 . 23. 已知函数( )211f xxx. 1. 解不等式( )3f x; 2.
10、记函数f ( )x的最小值为m, 若, ,a b c均为正实数 , 且 1 2 2 abcm, 求 222 bc的最小值 . 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： C 解析： 3. 答案： D 解析： 4. 答案： C 解析： 5. 答案： B 解析： 6. 答案： A 解析： 7. 答案： D 解析： 8. 答案： C 解析： 9. 答案： D 解析： 10. 答案： A 解析： 11. 答案： B 解析： 12. 答案： A 解析： 13. 答案： 3 4 解析： 14. 答案：2 解析： 15. 答案： 3 80 x 解析： 16. 答案： 3 解析： 17. 答案： 1.
11、ABAD, 在Rt ABD中, 3 sin 2 AD ABD BD , 0 30ABD, ABC中,1,3ABBC, 由 余弦定理可得 , 2221 2cos19237 2 ACABBCAB BCABC 所以7AC 2. 在ACD中 , 由正弦定理可得 sinsin ADDC CDAC , 3ADDC, 31 sinsinCDAC , ABAC, BC, 0 1802DACB, 0 90BAD 000 180290902DACBACBADBB 0 31 sinsin(902 )BB 31 sincos2BB , 化简得 2 2 3sinsin30BB,( 3 sin1)(2sin3)0BB,
12、sin0B, 3 sin 3 B. 解析： 18. 答案： 1. 由频率分布直方图可知,0.010.0015 20.0010.006mn, 由中间三组的人数成等差数列可知0.00152mn, 可解得0.0035,0.0025mn 2. 周平均消费不低于300元的频率为(0.00350.00150.001) 1000.6, 因此100?人中 , 周平均 消费不低于300元的人数100 0.660人 . 所以2 2列联表为 男性女性合计 消费金额 2 0 P KK 20?40?60 。 消费金额300251540? 合计4555100? 2 2100(20152540) 8.256.635 455
13、56040 K 所以有99%的把握认为消费金额与性别有关. 3. 调查对象的周平均消费为0.15 1500.25 2500.35 3500.15 4500.10 550330, 由题意330538b, 520b 525520395y. 解析： 19. 答案： 1. 证明 : 取AC的中点O, 连结,OF OB, ABC是边长为2的等边三角形 , 所以BOAC,3BO, 四边形ACDF是菱形 , 2AF, 0 60FAC , ,3OFAC OF, 6BF, 222 BOOFBF, BOOF 又FOACOI, 所以BO平面ACDF BO平面ABC, 所以平面ABC平面ACDF. 2. 由上题可知
14、,OB OC OF两两垂直 , 分别以,OB OC OF uuu r u uu r uuu r 为x,y,z轴正方向 , 建立空间直角坐标 系, 因为/ /BCEF, 所以,B C E F四点共面 ,( 3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)BCF 得(3,0,3),(3,1,0)BFBC uuu ru uu r 设平面CEF的一个法向量为( , , )nx y z r , 由 0 0 n BF n BC ru uu r ru uu r得 330 30 xz xy , 令1?x得(1, 3,1)n r 由题意知/ /,/ /BCEF FDAC,FEFDFI, 所以平面/ /ABC平面DE
15、F, 所以平面DEF的一个法向量为(0,0,1)m r 设二面角CEFD的大小为, 则 5 cos 5| m n mn u r r u rr, 所以二面角CEFD的余弦值为 5 5 . 解析： 20. 答案： 1. 由题意可知 222 1 2 3 abc c a bc , 解得2,3ab 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 2. 由 1 可知( 2,0),(2,0),(1,0)ABF, 因为过 2 F与圆E相切的直线分别切于,B H两点 , 所以 22 | | 1F HF B, 所以 112212 | | |1PFPHPFPFF HPFPF, 设点(2, )(0)Ett, 则(2,2 )
16、Dt, 圆E的半径为t 则直线AD的方程为(2) 2 t yx 2 l的方程设为1xky, 则 2 | 21| | | 1 kt t k 化简得 2 1 2 t k t 由 2 (2) 2 1 1 2 t yx t xy t , 得 2 2 2 6 3 62 3 t y t t x t 所以点 2 22 626 (,) 33 tt P tt 2 22 42 22 22 626 ()() 69 33 1 43(3) tt tt tt t 所以点P在椭圆C上, 12 4PFPF, 即 1 | 413PFPH. 解析： 21. 答案： 1. 由题意可知 ,( ) x g xfxxaae, 则( )1 x gxae, 当0a时,( )0g x, ( )g x在,上单调递增 ; 当0
