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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知集合 2 230Axx, 集合 1 |21 x Bx, 则( ) A.3, B.3, C., 13, D.(, 1)(3,) 2. 已知i是虚数单位 , 则复数 2 1 1 i i 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题: “三百七十八里关, 初行健步不为难, 次日脚 痛减一半 ,六朝才得到其关, 要见次日行里数, 请公仔细算相还 . ”其大意为 : “有一个人走了378 里 路, 第一天健步行走, 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地 . ”
2、 问此人第4 天和第 5 天共走了 ( ) A.60 里B.48 里C.36 里D.24 里 4. 设实数,x y满足约束条件 210 210 50 xy xy xy , 则当0,0zaxby ab取得最小值2时, 则 11 ab 的最小值是 ( ) A. 52 6 2 B.52 6 C. 1 2 D. 2 5. 已知非零常数是函数tanyxx的一个零点 ,则 2 1 1cos2的值为 ( ) A.2 B.22 C.23 D.22 6. 已知函数fx是定义在 R上的偶函数 ,1fx 为奇函数 ,00f, 当0,1x时, 2 logfxx, 则在区间8,9内满足方程 1 2 2 fxf 实数x为
3、( ) A. 17 2 B. 67 8 C. 33 4 D. 65 8 7. 已知 A、B、C是圆O上的三个点 ,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点 . 若 OCmOAnOB u uu ru uu ruuu r , 其中,m nR. 则mn的取值范围是 ( ) A.0,1 B.1,0 C.1, D., 1 8. 已知函数 3 log,03 sin,315 6 xx fx xx , 若存在实数 1234 ,xxxx满足 1234 fxfxfxfx其中 1234 xxxx, 则 1234 x x x x取值范围是 ( ) A.(60,96) B.(45,72) C.(30,48) D.(1
4、5,24) 9. 用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点, 则打印的点在圆 22 25xy内的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10. 祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家, 他在实践的基础上提出了体积计算的原 理: “幂势既同 , 则积不容异” . 意思是, 如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等, 那么 这两个几何体的体积相等. 此即祖暅原理 . 利用这个原理求球的体积时, 需要构造一个满足条件的几 何体 , 已知该几何体三视图如图所示, 用一个与该几何体的下底面平行, 相距为02hh的平面 截该几何体 , 则截面面积为( ) A.4 B. 2 h C. 2
5、2h D. 2 4h 11. 已知fx是定义域为0,的单调函数 , 若对任意的0,?x, 都有 1 3 log4ffxx, 且方程 32 3694fxxxxa在区间(0,3上有两解 , 则实数a 的取值范围是 ( ) A.05a B.5a C.05a D.5a 12. 已知 1 F, 2 F分别是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点, 过点 2 F与双曲线的一条渐近 线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M , 若点M在以线段 12 F F为直径的圆外 , 则双曲线离心 率的取值范围是( ) A.(1, 2) B.( 3,) C.( 3, 2) D.(2,) 二、填
6、空题 13. 已知数列 n a是无穷等比数列, 它的前n项的和为 n S, 该数列的首项是二项式 7 1 x x 展开式 中的x的系数 , 公比是复数 1 13 z i 的模 , 其中i是虚数单位 , 则lim n n S_. 14. 已知三棱锥ABCD中,AB面BCD,BCD为边长为2的正三角形 ,2AB, 则三棱锥 的外接球体积为 . 15.ABC的三个内角,A B C的对边分别是, ,a b c则: 若coscossinsinBCBC, 则ABC一定是钝角三角形; 若coscosaAbB, 则ABC为等腰三角形; tantan,tan,1,1aABCb r r , 若0a b r r ,
7、 则ABC为锐角三角形; 若O为ABC的外心 , 22 1 2 AO BCbc uu u r u uu r ; 若 222 sinsinsinABC, 且0OAOBOC u uu ru uu ru uu rr , 则 22 2 5 OAOB OC uuu ru uu r u uu r 以上叙述正确的序号是_. 16. 我国古代数学家祖暅提出原理: “幂势既同, 则积不容异” . 其中“幂”是截面积 , “势”是几何 体的高 . 原理的意思是 : 夹在两个平行平面间的两个几何体, 被任一平行于这两个平行平面的平面所 截, 若所截的两个截面的面积恒相等, 则这两个几何体的体积相等. 如图所示 ,在
8、空间直角坐标系 xOy平面内 , 若函数 2 1,1,0 cos ,0, 2 xx fx x x 的图象与x轴围成一个封闭的区域A, 将区域A 沿z轴的正方向平移 4个单位 , 得到几何体如图一 , 现有一个与之等高的圆柱如图二, 其底面积与区 域A的面积相等 , 则此圆柱的体积为 . 三、解答题 17. 已知数列 n a满足 1 1a, 1 2 nn Sa, 其中 n S为 n a的前n项和 , * ()nN. 1. 求 12 ,S S及数列 n S的通项公式 ; 2. 若数列 n b满足 1 n n n b S , 且 n b的前n项和为 n T, 求证 :当2n时, 17 39 n T.
9、 18. 根据国家环保部新修订的环境空气质量标准规定: 居民区2.5PM的年平均浓度不得超过 35微克 / 立方米 ,2.5PM的24小时平均浓度不得超过75微克 /立方米 .我市环保局随机抽取了一 居民区2016 年20天2.5PM的24小时平均浓度( 单位 : 微克 / 立方米 ) 的监测数据 , 数据统计如下表: 组别2.5PM浓度 ( 微克/ 立方米 ) 频数 ( 天) 频率 第一组 0,2530.15 第二组 25,5012 0.6 第三组 50,7530.15 第四组 75,1002 0.1 1. 将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. 求图中a的值
10、; 求样本平均数, 并根据样本估计总体的思想, 从2.5PM的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境 质量是否需要改善?并说明理由 . 2. 将频率视为概率,对于 2016 年的某3天, 记这3天中该居民区2.5PM的24小时平均浓度符合环 境空气质量标准的天数为 X, 求X的分布列和数学期望 . 19. 如图 , 四棱锥SABCD中, 底面ABCD为直角梯形 ,/ /ABCD,BCCD, 平面SCD平面 ABCD,2SCSDCDADAB,MN分别为,SA SB的中点 ,E为CD中点 , 过,M N作 平面MNPQ分别与,BC AD交于点,?PQ, 若DQtDA uu uruuu r . 1.
11、当 1 2 t时, 求证 : 平面SAE平面MNPQ; 2. 是否存在实数t, 使得二面角MPQA的平面角的余弦值为 5 5 ?若存在 , 求出实数t 的值 ; 若 不存在 , 说明理由 . 20. 已知,A B分别为椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 在x轴正半轴 ,y轴正半轴上的顶点, 原点O 到直线AB的距离为 2 21 7 , 且 7AB . 1. 求椭圆C的离心率 ; 2. 直线:12lykxmk与圆 22 2xy相切 , 并与椭圆C交于,M N两点 , 求MN的取 值范围 . 21. 已知函数lnfxx, 3 2 a g x x (x为实常数 ). 1. 当1a时 , 求
12、函数xfxg x在4,x上的最小值 ; 2. 若方程 2fx eg x ( 其中e2.71828L) 在区间 1 ,1 2 上有解 , 求实数a的取值范围 . 22. 以直角坐标系的原点O为极点 ,x轴正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 已知 直线l的参数方程为 1 cos 2 sin xt yt ,(t为参数 ,0), 曲线C的极坐标方程为 2 sin2cos0. 1. 求曲线C的直角坐标方程; 2. 设直线l与曲线C相交于 A,B两点 , 当 变化时 , 求AB的最小值 . 23. 设函数3fxxax, 其中0a. 1. 当2a时, 求不等式32fxx的解集 ; 2. 若不
13、等式0fx的解集为|1x x, 求a的值 . 参考答案 1. 答案： A 解析： 2. 答案： C 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： A 解析： 6. 答案： D 解析： 7. 答案： B 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： C 解析： 10. 答案： D 解析： 11. 答案： A 解析： 12. 答案： D 解析：由题意得双曲线的渐近线方程为 b yx a , 则由对称性不妨设直线 2 MF的方程为 () b yxc a , 与方程 b yx a 联立 , 解得 , 2 , 2 c x bc y a 即点M的坐标为, 2 2 cbc a
14、, 又因为点M在以 线段 12 F F为直径的圆外, 所以 12 0MFMF uu uu r u uuu r , 即 22 2 0 224 ccb c cc a , 化简得 422 40ca c, 即 42 40(1)eee, 解得2e, 即双曲线的离心率的取值范围为(2,), 故选 D. 13. 答案： 70 解析： 14. 答案： 28 21 27 解析： 15. 答案： 解析： 16. 答案：4 解析： 17. 答案： 1. 数列 n a满足12nnSa, 则 1 212 nnnn SaSS, 即321 nn SS, 1 3 2 n n S S , 即数列 n S为以1为首项 , 以 3
15、 2 为公比的等比数列, 1 * 3 2 n n SnN . 12 927 , 48 SS; 2. 在数列 n b中 , 1 1 11 1 3 2 nn n n n b S , n T为 n b的前n项和 , 则 1 3 1 1 242 11 393 3 2 n nn TL 13 1 1242 1 393 3 2 n n L. 而当2n时, 13 1 12242 11 3393 3 2 n n L 247 1 399 , 即 17 39 n T. 解析： 18. 答案： 1. 由第四组的频率为10.0060.0240.006250.1, 得250.1a, 解得a的值为0.004. 2016 年
16、该居民区2.5PM年平均浓度为 12.5 0.1537.5 0.662.5 0.1587.5 0.142.5 ( 微克 / 立方米 ). 因为42.535, 所以 2016 年该居民区2.5PM年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的 环境需要改进 . 2. 由题意 ,2.5PM的24小时平均浓度符合空气质量标准的概率为0.9, X的可能取值为0,1,2,3. 3 0 3 00.10.001P XC 2 1 3 10.90.10.027P XC, 2 2 3 20.90.10.243P XC, 3 3 3 30.90.729P XC. X的分布列为 X 0 12 3 P0.0010.0270.2430.729 00.001 1 0.02720.243 3 0.7292.7E X 或3 0.90.27E X. 解析： 19. 答案： 1. E为CD中点, 四边形ABC
