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1、数学试卷 一、选择题 1. “0 xy”是“0 x且0y”成立的 ( ) A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 2. 如图 , 点,A B C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,(0,0, 2)OC uu u r , 平面ABC的 法向量为(2,1,2)n r , 设二面角CABO的大小为, 则cos ( ) A. 4 3 B. 5 3 C. 2 3 D. 2 3 3. 已知等比数列 n a的前n项和为 n S, 则下列判断一定正确的是( ) A.若 3 0S, 则 2018 0a B.若 3 0S, 则 2018 0a C.若 21 aa, 则
2、20192018 aa D.若 21 11 aa , 则 20192018 aa 4. 给出下列三个命题: 命题 1: 存在奇函数( )f x ( 1 xD) 和偶函数( )g x ( 2 xD), 使得函数( ) ( )f x g x ( 12 xDD) 是偶函数 ; 命题 2: 存在函数( )f x,( )g x及区间D, 使得( )f x、( )g x在D上均是增函数 , 但( ) ( )f x g x在D 上是减函数 ; 命题 3: 存在函数( )f x、( )g x ( 定义域均为D), 使得( )f x、( )g x在 0 xx ( 0 xD)处均取到 最大值 , 但( ) ( )
3、f x g x在 0 xx处取到最小值; 那么真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 5. 双曲线 22 2 1 9 xy a (0a) 的渐近线方程为320 xy, 则a_ 6. 若二元一次方程组的增广矩阵是 1 2 12 34 c c , 其解为 10 0 x y , 则 12 cc_ 7. 设mR, 若复数(1)(1)zmii在复平面内对应的点位于实轴上, 则 m_ 8. 定义在 R上的函数 ( )21 x f x的反函数为 1( ) yfx, 则 1(3) f_ 9. 直线l的参数方程为 1 12 xt yt ( t为参数 ), 则l的一个法向量为 _ 10.
4、 已知数列 n a, 其通项公式为31nan, * nN, n a的前n项和为nS, 则 lim n n n S n a _ 11. 已知向量a r ,b r 的夹角为60o,1a r ,2b r , 若(2 )()abxab rr rr , 则实数x的值为 _ 12. 若球的表面积为100, 平面与球心的距离为3, 则平面截球所得的圆面面积为_ 13. 若平面区域的点( ,)x y满足不等式1 4 xy k (0k), 且zxy的最小值为5, 则常数 k_ 14. 若函数 2 ( )log (1) a f xxax (0a且1a) 没有最小值 , 则a的取值范围是_ 15. 设 1234 ,
5、1,0,2x xx x, 那么满足 1234 2|4xxxx的所有有序数对 1234,x x xx 的组数为 _ 16. 设 * nN, n a为(4)(1) nn xx的展开式的各项系数之和, 3 2 4 ct,tR, 12 2 2 555 n n n naaa b (x表示不超过实数x的最大整数 ), 则 22 ()() n ntbc的最小值为 _ 三、解答题 17. 如图所示 , 在棱长为2的正方体中 ,分别是的中点 1. 求三棱锥的体积 2. 求异面直线与所成的角的大小 18. 已知函数( )3sincosf xxx, 1. 当0 3 f , 且1时 , 求的值 2. 在ABC中, ,
6、a b c分别是角,A B C的对边 ,3a,3bc, 当2,()1fA时, 求bc 的值 19. 某公司利用APP线上、实体店线下销售产品A,产品A在上市20?天内全部售完. 据统计 , 线上 日销售量( )f t、线下日销售量( )g t ( 单位 : 件) 与上市时间t * ()tN天的关系满足: 10 ,110 ( )= 10200,1020 tt f t tt ， ， , 2 ( )20g ttt (120)t, 产品A每件的销售利润为 40, 115 ( ) 20,1520 t h t t ， ( 单位 : 元)( 日销售量 =线上日销售量 =线下日销售量 ) 1. 设该公司产品
7、A的日销售利润为( )F t , 写出( )F t的函数解析式 2. 产品A上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元 20. 已知椭圆: 22 22 1(0) xy ab ab , 其左、右焦点分别为 12 ,FF, 上顶点为B,O为坐标原点 , 过 2 F的直线l交椭圆于,?PQ两点 , 1 3 sin 3 BF O 1. 若直线l垂直于x轴 ,求 1 2 PF PF 的值 2. 若2b, 直线l的斜率为 1 2 , 则椭圆上是否存在一点E, 使得 1, F E关于直线l成轴对称 ?如果 存在 , 求出点 E的坐标 ; 如果不存在 , 请说明理由 ; 3. 设直线 1 l:6y上
8、总存在点M满足2OPOQOM uuu ruu u ruuuu r , 当b的取值最小时 , 求直线l的倾斜角 21. 无穷数列 n a * ()nN, 若存在正整数t, 使得该数列由t个互不相同的实数组成, 且对于任意的 正整数n, 12 , nnn t aaaL中至少有一个等于 n a, 则称数列 n a具有性质T集合 * |, n Pp pa nN 1. 若( 1) n n a, * nN, 判断数列 n a是否具有性质T 2. 数列 n a具有性质T, 且 148 1,3,2,1,2,3aaaP,求 20 a的值 3. 数列 n a具有性质T, 对于P中的任意元素 i p, k i a为
9、第 k 个满足 k ii ap的项 , 记 1kkk bii * ()kN, 证明 : “数列 k b具有性质T”的充要条件为“数列 n a是周期为t的周期 数列 , 且每个周期均包含t个不同实数” 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： C 解析： 42 cos 2 33 OC n OCn uu u r r uuu r r , 选 C 3. 答案： D 解析： A反例 , 1 1a, 2 2a, 3 4a, 则 2018 0a;B 反例 , 1 4a, 2 2a, 3 1a, 则 2018 0a;C 反例同 B反例 , 20192018 0aa; 故选 D 4. 答案： D 解析：
10、命题1:( )( )0f xg x,xR; 命题 2:( )( )fxg xx,(,0)x; 命题 3: 2 ( )( )f xg xx,xR; 均为真命题 , 选 D 5. 答案： 2 解析：2a 6. 答案： 40 解析： 12 103040cc 7. 答案： -1 解析：虚部为零,101mm 8. 答案： 2 解析： 1 213(3)2 x f 9. 答案：(2, 1) 解析：12(1)230yxxy, 法向量可以是(2, 1) 10. 答案： 1 2 解析： 2 35 2 n nn S, 1 lim 2 n n n S n a 11. 答案： 3 解析：(2 ) ()0(21)803a
11、bxabxxx rr rr 12. 答案：16 解析：5R, 4r ,16S 13. 答案： 5 解析：数形结合, 可知图像1 4 xy k 经过点5,0, 5k 14. 答案：(0,1)2,)a 解析：分类讨论 , 当01a时, 没有最小值 , 当1a时, 即 2 10 xax有解 , 02a, 综上 ,(0,1)2,)a 15. 答案： 45 解析： 1234 |2xxxx, 有 10 组 ; 1234 |3xxxx, 有 16 组; 1234 |4xxxx, 有 19 组; 综上 , 共 45 组 16. 答案： 0.4 解析：52 nn n a, 2 1 55 n n nn nan n
12、n , 2 2 n nn b, 22 ()() n ntbc的几何意义为 点 2 , 2 nn n * ()nN到点 3 ,2 4 tt 的距离 , 由图得 , 最小值即2,1到 3 2 4 yx的距离 , 为 0.4 17. 答案： 1. 因为为正方体, 所以FC平面DEC, 且1FC, 又DEC的底2DC, 高为E到 DC的距离等于2, 所以 1 222 2 DEC S,2 分所以 112 =2 1 333 EDFCFDECDEC VVSFC V 2. 取 1 B B中点G, 连接 1 AG,EG由于 11 / /AGD F, 所以 1 GA E为异面直线 1 A E与 1 D F所成的角
13、 在 1 AGE中 , 1 =5AG, 1 =5A E,2GE, 由余弦定理 , 得 222 1 ( 5)( 5)( 2)4 cos 5255 GAE , 即 1 4 arccos 5 GA E, 所以异面直线1A E与 1 D F所成的角为 4 arccos 5 解析： 18. 答案： 1.( )3 sincos=2sin 6 f xxxx 由已知 , 得2sin0 36 , 所以 36 kkZ, 即 1 3 2 k, 又1, 所以 1 2 2. 因为2, 所以 ( )2sin2 6 fxx , 又因为( )1fA, 所以 1 sin2 62 A 而22 666 A, 故 5 2 66 A,
14、 所以 3 A 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc , 即 22 3bcbc 又3bc, 解得2bc 解析： 19. 答案： 1. 2 2 2 40 (30 ),110, ( )40 (10 +200),1015, 20 (10 +200),1520, ttt F tttt ttt 2. 当110t时, 由 2 40(30 )5000tt解得510t 当1015t时, 由 2 40(10200)5000tt解得1015t 当1520t时, 由 2 20(10200)5000tt, 无解 故第 5 天至第 15 天给该公司带来的日销售利润不低于5000 元 ( 或: 注意到
15、( )F t在1,10单调递增 ,( )F t在10,20单调递减且(5)(15)FF5000 故第 5 天至第 15 天该公司日销售利润不低于5000 元 解析： 20. 答案： 1. 因为 1 3 sin 3 BF O, 则 3 3 b a , 即3ab, 设椭圆的半焦距为c, 则2cb, 在直角 12 PF F中, 222 2121 PFF FPF, 即 2 22 22 4(2)cPFaPF 解得 2 2 3 3 b PFb a , 1 5 3 3 PFb, 所以 1 2 5 PF PF 2. 由3ab,2b, 得6a, 因此椭圆方程为 22 36xy, 且2c, 12 ,FF的坐标分别
16、为( 2,0),(2,0), 直线l的方程为 1 1 2 yx, 设点E坐标为 11 (,)x y, 则 由已知可得 : 11 11 (2) 210 21 1 222 xy yx , 解得 1 1 2 5 16 5 x y 而 22 216772 36 5525 , 即点 11 (,)E x y不在椭圆上, 所以 , 椭圆上不存在这样的点E, 使得 1, F E关于直线l成轴对称 3. 由3ab, 得椭圆方程为 222 330 xyb, 且2cb, 2 F的坐标为(2 ,0)b, 所以可设直线l的方程为2 (cot)xmyb m, 代入 222 330 xyb得: 222 32 20mybmyb因为点M满足 2OPOQOM uuu r
