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1、数学试卷 一、选择题 1. 若集合| 31 Axx, 集合 2 |4Bx x, 全集为R, 则AB等于 ( ) A.3,2 B. 2,1) C.3, 2 D.1,2 2. 已知z是z的共轭复数 , 若()2zz i ( 其中i为虚数单位 ), 则z的虚部为 ( ) A.1 B.1 ? C. i D. i 3. 若双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长, 则该双曲线的离心 率为 ( ) A.2 B.5 C.2 D.5 4. 在等差数列 n a中, 若 357 6aaa, 则 67 1 2 aa ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5. 四棱锥PA
2、BCD的三视图如图所示, 其中主视图是腰长为2的等腰直角三角形, 则侧面中直 角三角形的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6. 学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中, 小明必须再胜2盘才最后获胜 , 小杰必须再胜3盘才最 后获胜 , 若两人每盘取胜的概率都是 1 2 , 则小明连胜 2盘并最后获胜的概率是 ( ) A. 1 4 B. 3 8 C. 7 16 D. 15 32 7. 函数f ( )x的定义域是R, 且满足( )()0f xfx, 当0?x时, 2 ( ) 1 x f x x , 则f( )x图象大 致是 ( ) A. B. C. D. 8. 某同学想求斐波那契数列0,
3、1,1,2,.(从第三项起每一项都等于前两项的和) 的前 10 项和 , 他 设计了一个程序框图, 那么在空白的处理框和判断框内应分别填入( ) A.,9?ca i B. ,9?bc i C.,10?ca i D. ,10?bc i 9. 已知曲线 1 C:( )sin 2cos2f xxx, 曲线 2 C:( )2sing xx, 则下面结论正确的是( ) A.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 ,再向右平移 4 得到 2 C B.把 1 C上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 , 纵坐标不变 , 再向左平移 4 得到 2 C C.把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2倍,
4、 纵坐标不变 ,再向右平移 3 4 得到 2 C D.把 1 C上各点的横坐标缩短为原来的 1 2 , 纵坐标不变 , 再向左平移 3 4 得到 2 C 10. 225 (3) (21)xx展开式中 3 x项的系数为 ( ) A.780 B.660 C.780 D.660 11. 已知抛物线 2 yx,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧 ,2OA OB uuu r uuu r ( 其中O为坐标 原点 ), 若AOB的面积记为 1 S, AFB的面积记为 2 S, 则 12 2SS的最小值是 ( ) A.3? B.4 2 C. 92 4 D. 172 8 12. 已知 1 2 x fxe,ln
5、1 2 x g x , 若f mg n, 则nm的最小值为 ( ) A.2ln 2B.22ln3C.32ln 2D.4ln 2 二、填空题 13. 已知向量a r 与b r 的夹角为120 o, 1a r ,1b r , 则2ab r r _. 14. 某商场在今年情人节的促销活动中, 对 2 月 14 日 9 时至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直 方图如图所示 , 后面三组成等差数列, 已知 9 时至 10 时的销售额为2 万元 , 则 12 时至 13 时的销售 额为 _万元 15. 实数,x y满足 0 110 220 x xyxy xy , 则 2 1 y x 的取值范围是 _
6、. 16. 四边形ABCD中, ADC是边长为 6 的正三角形 , ABC为等腰直角三角形,90ABC o , 沿AC将ADC翻折成三棱锥DABC,3DB, 此时点,A B C D在同一个球面上, 则该球的 表面积是为 _ 三、解答题 17. 已知数列 n a的前n项和 2 * , 2 n nn SnN. 1. 求数列 n a的通项公式 ; 2. 设21 n n a nn ba, 求数列 n b的前2n项和 . 18. 在ABC中 , 内角,A B C对边的边长分别是, ,a b c, 已知 sinsinsin2 sinCABA bca 1. 求C 2. 若2c,过A作在AHBC,H在线段BC
7、上 , 且:CHHB,13. 求ABC的面积 的最大值 19. 如图 , 在四棱锥PABCD中, 底面ABCD为直角梯形 ,/ /ABCD,ABAD,90CDP 1. 证明 : 平面ABCD面PAD 2. 若 2 2 PAPDDCAD, 若二面角PBCA余弦值为 2 2 , 求直线PB与面PAD所成角 的正切值 20. 某工厂改造一废弃的流水线M, 为评估流水线M的性能 , 连续两天从流水线M生产零件上随 机各抽取100件零件作为样本, 测量其直径后,整理得到下表: 记抽取的零件直径为X第一天 , 直 径 /mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 7
8、3 合 计 件 数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 第二天 直 径 /mm 58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合 计 件 数 1 1 2 5 21 34 21 3 3 4 2 1 1 1 100 经计算 , 第一天样本的平均值 1 65, 标准差 1 2.2; 第二天样本的平均值 2 65, 标准差 2 2 1. 现以两天抽取的零件来评判流水线M的性能 . (i) 计算这两天抽取200件样本的平均值和标准差 ( 精确到0.01); (ii)现以频率值作为概率的估计值, 根据以下不等式进行评判(P表示相应事件
9、的概率), ()0.6826PX; (22)0.9544PX; (33 )0.9974PX; 评判规则为 : 若同时满足上述三个不等式, 则设备等级为优; 仅满足其中两个,则等级为良 ; 若仅满足 其中一个 ,则等级为合格; 若全部不满足,则等级为不合格, 试判断流水线M的性能等级 2. 将直径 X在2 ,2 范围内的零件认定为一等品, 在3 ,3范围以外的零件 认定为次品 , 其余认定为合格品. 现从200件样本除一等品外的零件中抽取2个, 设为抽到次品的 件数 , 求的分布列及其期望 附注 : 参考数据 :4.422.102,44.26.648,44221.024; 参考公式 :标准差 2
10、 1 1 () n i i xx n 21. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴长为4, 离心率为 1 2 , 点P是椭圆上异于顶点的任意 一点 , 过点P作椭圆的切线l, 交y轴于点A, 直线l过点P且垂直于l, 交y轴于点B 1. 求椭圆的方程; 2. 试判断以AB为直径的圆能否经过定点?若能 , 求出定点坐标 ; 若不能 , 请说明理由 22. 已知函数 2 ( )(2)() xx f xaebex aR, 其中e为自然对数的底数,e2.71828L 1. 若ab, 判断函数( )f x的单调性 , 并说明理由 2. 当0a,2b时, 若函数( )yf x有两个
11、零点 1 x, 2 x 12 ()xx, (i) 求实数b的取值范围 ; (ii) 求证 : 12 0 2 xx f 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： A 解析： 3. 答案： B 解析： 4. 答案： A 解析： 5. 答案： C 解析： 6. 答案： C 解析： 7. 答案： A 解析： 8. 答案： B 解析：由斐波那契数列从第三项起每一项都等于前两项的和, 知程序框图中的空白处理框内应填 “bc”; 模拟执行程序框图知, 当10i时应退出循环 , 输出S的值 , 所以判断框内应填 “9?i” 9. 答案： C 解析： 10. 答案： D 解析： 11. 答案： C 解析
12、： 12. 答案： D 解析： 13. 答案： 2 解析： 14. 答案： 5 解析： 15. 答案：3k或3k 解析： 16. 答案：84 解析： 17. 答案： 1. 当1n时, 11 1aS; 当2n时, 22 1 (1)(1) 22 nnn nnnn aSSn. 故数列 na 的通项公式为 n an. 2. 由 1 知,21 n n n bn, 记数列 n b的前2n项和为 2n T, 则 122 2 2221232 n n TnLL, 记 122 222 n AL,12342BnL, 则 2 21 2 12 22 12 n n A , 1234212BnnnL, 故数列 nb 的前2
13、n项和为 21 22 n n TABn. 解析： 18. 答案： 1. sinsinsin2 sinCABA bca 由正弦定理可得 2caba bca 化简得 222 2 cos 22 abc C ab ,0,C 4 C 2. 设HBx,则HCAHx 222 HBAHAB 22 14x 又 2 2 2 2 11 12 121 2 21 12 1 ABC Sx 当且仅当21时取等号 解析： 19. 答案： 1. / /ABCD,ABCD为直角梯形 ,ABAD,CDAD 90CDP即CDDP又AD和DP为面ADP的两条交线 CD面ADP又CD面ABCD 面ABCD面ADP 2. 设2DC, 易得
14、ADP为等腰直角三角形, 取AD中点O,BC中点M, 连接PO,MO, 以OA,OM,OP分别为x,y,z轴 则 2,0,0A,2,0,0D,2,2,0C,0,0,2P 设 2,0Ba, 易得面ABCD的法向量 1 0,0,1n u r 设面PBC的法向量 2 ( , , )nx y z u u r , 又2,2,2PC u uu r ,2 2, 2,0BCa uu u r , 由 2 PCn uuu ru u r , 2 BCn uuu ruu r 得 2220 2 220 xyz xa y 令1?x则 2 2 22 1, 22 a n aa uu r 因为二面角PBCA余弦值为 1 3 ,
15、 12 2 cos, 2 n n ur u u r , 解得1a, 则直线 PB与面PAD所成角的正切值为 6 2 解析： 20. 答案： 1. (i)依题意 : 200个零件的直径平均值为65 由标准差公式得: 第一天 : 100 22 1 1 (65)100484 i i X , 第二天 : 100 22 2 1 (65)100400 i i X, 则 200 22 1 11 (65)(484400)4.42 200200 i i X 故4.422.10 (ii)由(1) 可知 : 164 ()(62.967.1)0.820.6826 200 PXPX, 189 (22 )(60.869.
16、2)0.9450.9544 200 PXPX 196 (33 )(58.771.3)0.980.9974 200 PXPX 仅满足一个不等式,判断流水线M的等级为合格 2. 可知 200 件零件中合格品7 个, 次品 4 个, 2 7 2 11 21 (0) 55 C P C 11 74 2 11 28 (1) 55 C C P C 2 4 2 11 6 (2) 55 C P C 的分布列 012 P 21 55 28 55 6 55 则 212868 012 55555511 E 解析： 21. 答案： 1. 1 24, 2 c a a 2,1,3acb椭圆的方程为 22 1 43 xy 2. 设点 0000 ,0,0 ,P xyxy 直线l的方程为 00 ,yyk xx代入 22 1 43 xy , 整理 , 得 2 22 0000 3484120kxk ykxxykx
