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1、数学试卷 一、选择题 1、已知是虚数单位 ,复数的虚部为 ( ) A. B. C. D. 2. 设:1p x或1x,:2q x或1x, 则p是q的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3、设、是两个不同的平面, 、是两条不同的直线, 给出下列4 个命题 , 其中正确命题 是( ) A.若, 则 B.若, 则 C.若, 则 D.若、在平面内的射影互相垂直 , 则 4. 如图所示 , 用 4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用), 要求每个区域涂一种颜 色, 相邻的区域不能涂相同的颜色, 则不同的涂色方法有( ) A.72 种B.9
2、6 种C.108 种D.120 种 5、设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点, 那么此椭圆的离心率为( ) A、 B、 C、 D、或 6、某几何体的三视图( 单位 : ) 如图所示 ,则此几体体的体积是( ) A.36 B.48 C.60 D.72 7、下边方框中是一个求20 个数的平均数的程序，则在横线上可填的语句为（） ABCD 8、若直线被圆所截得的弦长为， 则的最小值为（） AB CD 9、设 a,b,m 为正整数 , 若 a 和 b 除以 m的余数相同 , 则称 a 和 b 对 m同余 . 记作, 已知,则 b 的值可以是 ( ) A.1012 B.2009 C.3003
3、D.6001 10、从双曲线的左焦点引圆的切线 ,切点为 T, 延长 FT交双曲线右支于点P, O 为坐标原点 ,M 为 PF 的中点 , 则与的大小关系 为 A. B. C. D.不能确定 二、填空题 11、已知角 的终边在直线上,则_. 12、由曲线, 直线, 直线围成的封闭图形的面积为_. 13、已知样本方差由求得 , 则. 14、已知函数的最大值为3, 的图像与轴的 交点坐标为, 其相邻两条对称轴间的距离为, 则 _. 15、下图展示了一个由区间(0,1) 到实数集R 的映射过程 : 区间中的实数m对应数轴上的点M, 如图 1; 将线段围成一个圆 , 使两端点A、B恰好重合 , 如图
4、2; 再将这个圆放在平面直角坐标系 中, 使其圆心在y 轴上 , 点 A的坐标为, 如图 3. 图 3 中直线与 x 轴交于点, 则 m的象就是n, 记作. 下列说法中正确命题的序号是.( 填出所有正确命题的序号) ; 是奇函数 ; 在定义域上单调函数; 的图象关于点对称 . 三、解答题 16、已知函数，将函数的所有极值点从 小到大排成一数列，记为 （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前 n 项和 17、如图，在三棱柱中，已知 侧面 ( ) 求直线 C 1B与底面 ABC所成角正切值； ( ) 在棱（不包含端点上确定一点的位置，使得( 要求说明理由 ). ( ) 在（ 2）的条件下 ,
5、若，求二面角的大小 . 18、对某校高一年级的学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了下图所示的频数与频率的统计表和频率分布直方 图： （I ）求出表中M 、p 及图中 a 的值 （II ）学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在25，30区间的每个学生 发放价值80 元的学习用品，对参加活动次数在20,25 ）区间的每个学生发放价值60 元的学习用 品，对参加活动次数在15,20 ）区间的每个学生发放价值40 元的学习用品，对参加活动次数在 10,15 ）区间的每个学生发放价值20 元的学习用品，在所抽取的这
6、M名学生中，任意取出2 人，设 X为此二人所获得学习用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（ X）。 19、已知两点, , 曲线上的动点满足, 直线 与曲线交于另一点. ( ) 求曲线的方程 ; ( ) 设, 若, 求直线的方程 . 20、 已知函数同时满足如下三个条件 : 定义域为; 是偶函数 ; 时, ,其中. ( ) 求在上的解析式 , 并求出函数的最大值 ; ( ) 当, 时, 函数, 若的图象恒在直线 上方 , 求实数的取值范围 ( 其中为自然对数的底数, ). 21、（选修42 矩阵与变换） 变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。 （）求变换的矩阵； （）圆
7、在变换的作用下变成了什么图形？ 22. 在极坐标系下，已知圆:cossinO和直线 2 :sin() 42 l. 1. 求圆O和直线l的直角坐标方程； 2. 当(0, )时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标 23、 ( 选修 45 不等式证明选讲)( 本题满分7 分) 对于任意实数和, 不等式恒成立 , 试求实数 的取值范围 . 参考答案 答案：1、 解析：解 :因为是虚数单位 , 复数, 因此虚部为, 选 C. 2. 答案： A 解析：因为:1p x或1x,:2q x或1x,p是q的等价于q是p的. 那么可知道应该 是充分不必要条件,选 A. 答案：3、 解析：解 :因为命题A中, 平行与同
8、一平面的两直线有三种位置关系, 因此错误 选项 B中,只有 a,b 相交时成立。选项D中 , 射影垂直 , 但是原来的直线未必垂直, 错误 , 选 C. 4. 答案： B 解析：若1,3 不同色 , 则 1,2,3,4必不同色 , 有 4 4 372A种涂色法 ; 若 1,3 同色 , 有 13 43 24C A种涂 色法 . 根据分类加法计数原理可知, 共有722496种涂色法 . 答案：5、 解析：解 :因为椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点, 那么根据椭圆的定义, 可知此 椭圆的离心率为或 答案：6、 答案：7、 解析：解：由程序的功能是求20 个数的平均数， 则循环体共需要执
9、行20 次， 由循环变量的初值为1，步长为 1， 故当循环20 次时， 此时循环变量的值为21 应退出循环， 又因直到型循环是满足条件退出循环， i 20 时退出循环 故选 A 答案：8、 解析：解：圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的圆心坐标（ -1 ，2），半径是2，弦长是4，所以直线2ax- by+2=0（a 0，b0）过圆心， 即： -2a-2b+2=0 ，a+b=1，将它代入得，（因为 a0，b0 当且仅当a=b 时等号成立） 故选 D 答案：9、 解析：解 :由二项式定理得:a 可知看作是 (1+3 2) 2009-1=10 2009-1, 因此 可知除以10 的余数为9, 那么
10、 2009=9(mod10) 则 b 的值可以是2009. 故选 B. 答案：10、 解析：试题分析 : 将点 P置于第一象限.设 F 1是双曲线的右焦点, 连接 PF 1. M 、 O分别为 FP、FF 1的中点 , |MO|= |PF 1|. 又由双曲线定义得, |PF|-|PF 1|=2a, |FT|=b.故 |MO|-|MT|= |PF 1|-|MF|+|FT|= (|PF 1|-|PF|)+|FT| =b-a. 故选 B. 点评 : 解决该试题的关键是将点P置于第一象限 . 设 F 1是双曲线的右焦点, 连接 PF 1. 由 M 、 O分别 为 FP、FF 1的中点 , 知 |MO|
11、= |PF 1|. 由双曲线定义,知 |PF|-|PF 1|=2a,|FT|=b.由此知 |MO|- |MT|= (|PF 1|-|PF|)+|FT|=b-a. 答案：11、 解析：解 :因为角 的终边在直线上, 则可知, 且角的终边在第二或者 四象限 , 因此或 答案：12、 解析：解 :因为根据定积分的几何意义可知, 曲线, 直线, 直线围成的 封闭图形的面积S= 答案：13、 解析：解 :由 s 2= (x 1- ) 2+(x n- ) 2= x 1 2+x 2 2+x n 2-n 知, 5. 50. 答案：14、 解析：解 :将原函数f(x)=Acos 2( x+?)+1 转化为 :f
12、(x)= cos(2 x+2 ?)+ +1 相邻两对称轴间的距离为2 可知周期为 :4, 则 2= = , = 最大值为3, 可知 A=2 又图象经过点(0,2), cos2 ?=0 2?=k+ f(x)=cos( x+k+ )+2=2sin( x) f(1)=2+1,f(2)=0+2,f(3)=- 1+2,f(4)=0+2 f(1)+f(2)+f(3)+f(2010)=502 8+5=4021 或 f(1)=2-1,f(2)=0+2,f(3)=1+2,f(4)=0+2 f(1)+f(2)+f(3)+f(2010)=502 8+3=4019 故答案为 :4021 或 4019 答案：15、 解
13、析：解 :因为借助于图形来看四个选项, 先利用, 判断出错 ; 在有实数m所在区间 (0,1)不关于原点对称, 知错 ; 从图形上可得f(x)在定义域上单调递增 , 对; 先找到 f( )=0, 再利用图形判断对. 答案：16、 解析：本试题主要是考查了三角哈市南湖的化简和数列的求和的运用，以及三角函数的性质等等 的综合运用。 （1）因为，再由由 得，从而得到函数的极值。得到通项公式。 （2）由（ 1）得，利用裂项求和的 思想求解和式的值。 解：（ 1） 2分 由得 4分 所以函数的所有极值为： 6 分 7分 （2）由（ 1）得 10 分 13 分 答案：17、 解析：本试题主要是考查了线面角
14、和线线垂直的证明，以及二面角的平面角的求解的综合运用。 （1）先建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量以及直线的斜向量，利用向量的夹角公式得 到线面角的求解。 （2）假设存在点使得满足题意，然后利用垂直关系解得点的坐标，进而分析得到结论。 （3）在前面的基础上，进一步得到两个半平面的法向量的求解，结合法向量的夹角公式得到二面 角的平面角的大小的运算。 解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系， 则， 1分 ( ) 直三棱柱中，平面的法向量，又， 设， 则 3分 即直线与底面所成角正切值为2. 4分 （）设，则， ， ，即 8分 ） ，则， 设平面的法向量， 则，取 10分 ， ， 又 11分
15、平面的法向量， 二面角的大小为45 13 分 答案：18、 解析：本试题主要是考查了直方图的性质的运用，以及分布列的求解和数学期望值的运算的综合 运用。 （1）利用直方图中面积代表频率可知，又 ， 解得， 故可知得到结论 （2）先分析随机变量的取值情况，然后得到各个取值的概率值，进而结合古典概型得到概率值， 得到分布列和期望值。 解（）由题可知，又， 解得， 故组的频率与组距之比a 为 0.08 5分 （）可知X的值可能为0 元、 20 元、 40 元、 60 元， 6分 则， ，. 10分 所以的分布列为： 0 20 40 60 P 11分 13 分 答案：19、 解析：本试题主要是考查了圆
16、锥曲线方程的求解, 以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。 (1) 根据已知中动点与定点的关系式可知该动点的轨迹符合椭圆的定义, 则可以利用定义法求解轨 迹方程。 (2) 设出直线MN方程 , 与椭圆方程联立, 得到韦达定理, 结合题目中的三角形的面积比, 可知线段的 比, 然后得到向量的关系式, 从而结合坐标得到结论 解:( ) 因为, , 所以曲线是以, 为焦点 , 长轴长为的椭圆 . 曲线的方程为. 4 分 ( ) 显然直线不垂直于轴, 也不与轴重合或平行. 5 分 设, 直线方程为, 其中. 由得. 解得或. 依题意, . 7 分 因为, 所以, 则. 于是所以9 分 因为点在椭圆上 , 所以. 整理得, 解得或( 舍去 ), 从而. 所以直线的方程为. 答案
