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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知集合 2 |230Ax xx,1,1B, 则AB ( ) A.1 B.1,1,3 C.3, 1,1 D.3, 1,1,3 2. 若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 则( ) A.命题p与命题q都是真命题 B.命题 p与命题q都是假命题 C.命题p是真命题 , 命题q是假命题 D.命题 p是假命题 , 命题q是真命题 3. 欧拉公式cossin ix exix (i为虚数单位 ) 是由瑞士著名数学家欧拉发现的, 它将指数函数的 定义域扩大到复数集, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占有非常重要的地位. 特别是当 x 时,10 i e被认为
2、是数学上最优美的公式, 数学家们评价它是“上帝创造的公 式”. 根据欧拉公式可知, 4i e表示的复数在复平面中位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4. 下列曲线中离心率为 2 2 3 的是 ( ) A. 22 1 98 xy B. 2 2 1 9 x y C. 22 1 98 xy D. 2 2 1 9 x y 5. 若 7 2 sin 410 A , 4 A , 则sin A的值为 ( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 3 5 或 4 5 D. 3 4 6. 已知变量x, y满足约束条件 40 22 1 xy x y , 若2zxy, 则z的取值范围是 ( )
3、 A. 5,6) B.5,6 C.(2,9) D.5,9 7.将函数 ( )cos 2 4 f xx 的图象向左平移 8 个单位后得到函数( )g x 的图象 ,则( )g x ( ) A.为奇函数 ,在 0, 4 上单调递减 B.为偶函数 ,在 3 , 88 上单调递增 C.周期为,图象关于点 3 ,0 8 对称 D.最大值为1,图象关于直线 2 x对称 8. 如图 , 在正方体 1111 ABCDA B C D中,P为 1 BD的中点 , 则PAC在该正方体各个面上的正投影 可能是 ( ) A.B.C.D. 9. 函数 1 x x y e 的图象大致为( ) A. B. C. D. 10.
4、 执行如图所示的程序框图, 当输入2018i时, 输出的结果为( ) A.1008 B.1009 C.3025 D.3028 11. 已知双曲线C: 22 1 94 xy 的两条渐近线是 1 l, 2 l, 点M是双曲线C上一点 , 若点M到渐近线 1 l 距离是3, 则点M到渐近线 2 l距离是 ( ) A. 12 13 B. 1 C. 36 13 D.3 12. 设 12 ,x x分别是函数 x fxxa和log1 a g xxx的零点 ( 其中1a), 则 12 4xx的取 值范围是 ( ) A.4, B.4, C.5, D.5, 二、填空题 13. 已知向量a r ,b r 满足5b
5、r ,25 3ab r r ,5 2ab r r , 则a r _. 14. 如图 , 茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5 次训练成绩 ( 单位 : 环), 则成绩较为稳定的那位 运动员成绩的方差为_. 15. 在平面四边形ABCD中,90AC,30B,3 3AB,5BC, 则线段BD的长 度为 _. 16. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体, 已知该正方体的棱长为2, 如果任意转动该正方 体, 液面的形状都不可能是三角形, 那么液体体积的取值范围为_. 三、解答题 17. 记 n S为数列 n a的前n项和 , 已知 2 2 n Snn, * nN. 1. 求数列 n a的通项公式
6、 ; 2. 设 1 1 n nn b a a , 求数列 n b的前n项和 n T. 18. 如图 , 在四棱锥PABCD中, 底面ABCD为等腰梯形 ,/ /ADBC, 1 2 ABBCAD,E,F 分别为线段AD,PB的中点 . 1. 证明 : / /PD平面CEF; 2. 若PE平面ABCD, 2PEAB , 求四面体 PDEF的体积 . 19. 2018 年 2 月 22 日上午 , 山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工 程动员大会 , 会议动员各方力量, 迅速全面展开新旧动能转换重大工程. 某企业响应号召, 对现有设 备进行改造 , 为了分析设备改造前后的效果
7、, 现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200 件 产品作为样本 , 检测一项质量指标值, 若该项质量指标值落在20,40内的产品视为合格品,否则为 不合格品 .图 1 是设备改造前的样本的频率分布直方图, 表 1 是设备改造后的样本的频数分布表. 表 1: 设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 15,2020,2525,3030,3535,4040,45 频 数 4369628324 1. 完成下面的22列联表 , 并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与 设备改造有关 ; 设备改造前设备改造后合计 合格品 不合格品 合计 2. 根据图 1 和表 1 提供的数据
8、, 试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较; 3. 根据市场调查, 设备改造后 , 每生产一件合格品企业可获利180元, 一件不合格品亏损100元, 用 频率估计概率 , 则生产1000件产品企业大约能获利多少元? 附: 2 0 ()P Kk0.1500.100?0.050?0.0250.010? 0 k 2.0722.706?3.841?5.0246.635 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd 20. 如图 , 在平面直角坐标系xOy中,点(2,1)M在抛物线C: 2 xay上, 直线l:(0)ykxb b 与抛物线C交于A,B两点 , 且直线O
9、A,OB的斜率之和为 1. 1. 求a和k的值 ; 2. 若1b, 设直线l与y轴交于D点, 延长MD与抛物线C交于点N, 抛物线C在点N处的切线 为n, 记直线n,l与x轴围成的三角形面积为S, 求S的最小值 . 21. 设函数 2 21 ( )lnf xxax xx ,aR. 1. 讨论 ( )fx 的单调性 ; 2. 当0a时, 记()fx的最小值为()g a, 证明 :()1g a. 22. 在直角坐标系xOy中, 过点(1,2)P的直线l的参数方程为 1 1 2 3 2 2 xt yt (t为参数 ). 以原点O 为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为4sin.
10、 1. 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; 2. 若直线l与曲线C相交于M,N两点 , 求 11 PMPN 的值 . 23. 已知函数( )222f xxx. 1. 求不等式( )6f x的解集 ; 2. 当xR时,( )fxxa恒成立 , 求实数a的取值范围 . 参考答案 1. 答案： C 解析： 2. 答案： D 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： B 解析： 6. 答案： A 解析： 7.答案： D 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： C 解析： 10. 答案： B 解析： 11. 答案： A 解析： 12. 答案： D 解析：因
11、为 1 x是函数 x fxxa的零点 , 所以 1 1 0 x xa, 化简得 1 1 1 x a x , 则由函数1 x yaa和 1 y x 的图像的交点的横坐标为 1 x, 易得 1 01x. 因为 2 x是函数log1 a g xxx的零点 , 所以 22 log10 a xx, 化简得 2 1 2 x ax , 由函数1 x yaa和 1 y x 的图像易得两函数图像只有一个交点, 所以 1 2 1 x x , 则 121 1 4 4xxx x . 令 4 01h xxx x , 由对勾函数的图像和性质可知, 函数 4 h xx x 在区间0,1内单调递减 , 又因为当1x时,5h
12、x, 所以函数 4 h xx x 在区间0,1内的值域为5, 即 12 4xx的取值范围是5,. 故选 D. 13. 答案： 5 6 3 解析： 14. 答案： 2 解析： 15. 答案：2 7 解析： 16. 答案： 4 20 (,) 33 解析： 17. 答案： 1. 由 2 2 n Snn, 得当1n时, 11 3aS; 当2n时, 1nnn aSS 22 22(1)(1)nnnn41n. 所以41 n an. 2. 1 1 n nn b a a 1 (41)(43)nn 111 () 4 4143nn , 所以 11111 ()() 437710 n T 11 () 4143nn 1
13、11 () 4 343129 n nn . 解析： 18. 答案： 1. 证明 : 连接BE、BD,BD交CE于点O, E为线段 AD的中点 ,/ /ADBC, 1 2 BCADED, BCED, 四边形BCDE为平行四边形 , O为BD的中点 , 又F是BP的中点 , / /OFPD, 又OF平面CEF,PD平面CEF, / /PD平面CEF. 2. 由 1 知,四边形BCDE为平行四边形 , BECD, 四边形ABCD为等腰梯形 , / /ADBC, 1 2 ABBCAD, ABAEBE, 三角形ABE是等边三角形 , 3 DAB, 做BHAD于H, 则3BH FPE平面ABCD,PE平面
14、PAD, 平面 PAD 平面ABCD, 又平面PAD平面ABCDAD,BHAD,BH平面ABCD, BH平面PAD, 点B到平面PAD的距离为3BH, 又F为线段PB的中点 , 点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半, 即 3 2 h, 又 1 2 2 PDE SPEDE, 1 3 PDEFPDE VSh 133 2 323 . 解析： 19. 答案： 1. 设备改造前设备改造后合计 合格品172 192 364 不合格品 28 8 36 合计200 200 400 将2 2列联表中的数据代入公式计算得: 2 2 () ()()()() n adbc K ab cdac bd
15、2 400 (172 828 192) 200 200 364 36 12.21 12.21 6.635 有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. 2. 根据图 1 和表 1 可知 , 设备改造后产品为合格品的概率约为 19296 200100 , 设备改造前产品为合格 品的概率约为 17286 200100 ; 即设备改造后合格率更高, 因此 , 设备改造后性能更好. 3. 用频率估计概率,1000件产品中大约有960件合格品 ,40件不合格品 , 180 960 100 40168800, 所以该企业大约获利168800元. 解析： 20. 答案： 1. 将点(2
16、,1)M代入抛物线C: 2 xay, 得4a, 2 4 xy ykxb , 得 2 440 xkxb, 设 11 ,A x y, 22 ,B xy, 则 12 4xxk, 12 4x xb, 12 12 OAOB yy kk xx 22 12 12 11 44 xx xx 12 1 () 4 xx, 由已知得 12 1 ()1 4 xx, 所以 4 1 4 k ,1k. 2. 在直线l的方程yxb中, 令0 x得(0, )Db, 1 2 DM b k, 直线DM的方程为 : 1 1(2) 2 b yx, 即 (1) 2 b x yb, 由 2 (1) 2 4 b x yb xy , 得 2 2(1)40 xb xb, 解得 :2x, 或2xb, 所以 2 2 ,Nb b, 由 2 4xy,
