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1、11. 一元二次方程式的定義：(1) 一元二次方程式：當一個方程式只有一個未知數，而此未知數的最高次數為 2 時，我們把它叫做一元二次方程式。例如：f( ) 3 2 為一元二次式， (一元二次多項式)xxf( ) 3 20 為一元二次式方程式。【範例】： 2 10，3 11 6，2 5 ，這些都是一元二次方程式。x2x【補充】： 2 30一元三次方程式，x 2 90二元二次方程式。y(2) 一元二次方程式的標準式：a b c0，其中 a0。2x(3) 解(根)：若 代入一元二次方程式 a b c 0，滿足 0，0 2x20axbc則稱 為此一元二次方程式的根。x【範例】：對於一元二次方程式 x
2、 2 80，將 4 代入原方程式 得 4 2480，故 4 為此方程式的根。x將 2 代入原方程式(2) 2(2)80，故 4 為此方程式的根。x在此 4 或 2 都為此方程式 2 80 之解或根。(4) 一元二次方程式的次數與根的個數之關係：一元一次多項式有一個根；一元二次多項式有兩個根；一元三次多項式有三個根；一般而言，一元 次多項式會有 個根。也就是說，多項式的根的個數會與多項式nn的次數相同。【範例】： 20 為一元一次方程式，有一個解或稱有一個根。x【範例】：x 3 2 0 為一元二次方程式，將其分解成兩個一次式的乘積，( 2)( 1)0，則其解為 1 或 2，x x 3 20 有兩
3、個解或稱有兩個根。 【範例】： 6 x 11 60 為一元三次方程式，將其分解成三個一次式的乘積，( 1)( 2)( 3)0，則其解為 1，2，3。xx 6 x 11 60 有三個解或稱有三個根。32(5) 解一元二次方程式的法則：設法將一元二次式改寫為兩個一元一次式的乘積。【範例】：如果將 x 60 改寫為( 2)( 3)0，2x則( 2)0 或( 3)0 ， 2 或 3。x22. 一元二次方程式的解題步驟：a. 移項：先把式中各項移到等號左邊，使等號右邊為 0，並且合併同類項化成標準式： 0 ( 0)。2axbcab. 將多項式分解：等號左邊的二次式分解成兩個一次因式的乘積。例如： ( )
4、( )0。 xc. 再令兩個一次因式分別等於 0，即可解得 及 。x【範例】：求出方程式 x x 6 的解。 2解 ： x x 602 （x 2） （x 3）0 ，則 x20 或 x30 x 2 或 3。【範例】：求出方程式 2x 5x 3 2 的解。 解 ： 5 4x3 25 4x3 2022 5 20（x 2） （ 2 1）0，則 x 2 0 或 2x10。 x2 或 。21【範例】：求出方程式 15x x 20 的解。 解 ： （5x 2） （3x 1）0 ，則 5x20 或 3x10 x 或 。3.在上面的步驟中，可能發生的情況：(1) 若 0，標準式 0 改寫為 ( )0：c2abx
5、cxab 0 ( )0 解為 0 或 。2axbxab【範例】：解方程式：2 5 0。2解 ：2 5 0 （2 5） 02x 解為 0 或 。【範例】：解方程式： 4x 6 0。2解 ：4 6 0 2 （2 3） 02xx 解為 0 或 。【範例】：解方程式：3x 6 0。2解 ：3 6 0 3 （ 2）02xx 解為 0 或 2。【範例】：解方程式：5x 20 0。 解 ：5 20 0 5 （ 4）02xx 解為 0 或 4。3(2) 若 0，標準式 0 改寫為 0：b2axbc2axc 0 ，2axc2如果 0，則解為 。xa如果 0，則 為無實數解。ac【範例】：解方程式：4 90。 2
6、x解 ：4 90 4 9 2x2x49 3(3) 若 0、 0，則 0：bc2axbc可以用以前學過的十字交乘法，先將方程式因式分解之後求解。【範例】： 5 6 0 ( 2) ( 3) 0 ， 2，3。2xxx 6 0 ( 2) ( 3) 0 ， 2，3。 6 0 ( 2) ( 3) 0 ， 2，3。5 6 0 ( 2) ( 3) 0 ， 2，3。2【範例】：解方程式： 6 80。 2x解 ： 6 80 （ 2） （ 4）0 2 或4。2xx x【範例】：解方程式： x120。 解 ：x120 （x3） （x 4） 0 x3 或 4。2【範例】：解方程式： 3x100。 2解 ：3x100 （
7、x2） （x 5） 0 x2 或5。2+=+ = + =4【範例】：解方程式：x 9x 200。 2解 ：x 9x 200 （x4） （x5）0 x 4 或 5。2【範例】：解方程式：2x 7x 60。 2解 ：2x 7x 6 0 （2x3） （x2） 0 x 或-2。 23【範例】：(1) 解x x 60 (2) (x2) 3x21002解： (1) 令 y = x ，x x60 y + y - 6 = 02 (y2)(y3)0 y 2 或 y -3 x2 或x3(不合) x 2 或2(2) (x2) 3x2100x2 3x2100 (x25)(x 22)0x25 或x2-2( 不合) x
8、25 或5 x 7 或3由根找方程式：設 x2bxc0 之二根為 p，q 則 b = p + q ， c p q。【範例】：(1) 求以3，5 為二根之一元二次方程式。(2) 設 x2bxc0 之二根為3，5，求以 b、 c 為二根為之一元二次方程式。解：(1) (3)(5)8， (3)(5) 15 一元二次方程式為 x28x 150(2) b(3)52，c(3)5 15 b2 ， c15【範例】：設 2 為 x24xp0 之一根，且 p 為 q x2(p2) x2p0 之一根，求(1) p、q 之值。 (2) 以 p、q 為二根為之一元二次方程式。解：(1) 將 x2 代入 x24xp0則
9、48p0 p4 = +45又將 x4，p4 代入 q x2(p 2) x 2p 0 16q880， q1 b2，3(2)c 6 3a2bc 9467(2) 4 (1)3， 4(1)4 一元二次方程式為 x23x 40【範例】：甲、乙兩生同解一個 x2 項係數是 1 的二次方程式，甲將一次項 x 的係數看錯，解得兩根為 3 與-6，乙將常數項看錯，解得兩根為 3、4，若此外無其他的錯誤，求正確的方程式及兩根。解： 3(6)3， 3(6)18 一元二次方程式為 x23x 180又347，3412 一元二次方程式為 x27x 120 甲將一次項 x 的係數看錯，乙將常數項看錯 正確的方程式為 x27
10、x 180 x 2 或 9，即兩根為 2、9。【範例】：設 x、y 均不為零，且 4x28xy5y 20，求 x：y 的比值。解： 4x 28xy5y 20 (2xy)( 2x 5y)0 x 或 x1 x： y 的比值 或2【範例】：利用配方法解 0，其中 均為常數，且 0。axbcabca解 ：1.將 x 的係數化為 1，並將常數項移到等號右邊：2ax bxc0 x x 02 x x2bac2.等號的兩邊各加上 項係數一半的平方： x x 2ba2ca2b3.等號左邊寫成完全平方，等號右邊合併化簡：6 2bxac24ba 2x2c4.等號兩邊開平方，移項化簡求出解： 2bxa24ac 2 x2ba24c 所以一元二次方程式 0 的解為：2axbc ，其中 均為常數，且 0。4aba
