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1、整式的除法（提高） 【学习目标】 1. 会进行单项式除以单项式的计算 2. 会进行多项式除以单项式的计算 【要点梳理】 要点一、单项式除以单项式法则 单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母， 则连同它的指数作为商的一个因式. 要点诠释：（1）法则包括三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出 现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分） 和同底数幂的除法的组 合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 要点二、多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即
2、ambmcmmammbm mcmmabc 要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实 质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变 化. 【典型例题】 类型一、单项式除以单项式 1、先化简，再求值 455232334745 52577 4 183682 x y zxy zx y zx y zxyy zgg，其中 1x，2y，3z 【答案与解析】 解：原式 4 15 25 13233 14 1745 53577 4 182682 xyzx y zxyzy z 334323457455577 1262
3、2 x y zx y zx y zy z 3 33 24 345 47 5 56 125 xyzx yz 04242 11 22 x yzx yzyzx yz 当1x，2y，3z时， 4242 11 ( 2)3( 1)( 2) 33 1821 22 yzx yz 【总结升华】 这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂 相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错 2、观察下列单项式：x， 2 2 x，4 3 x， 8 4 x，16 5 x， （1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第n个 单项式； （2）根据你发现的规律
4、写出第10 个单项式 【思路点拨】（1）利用单项式除单项式的法则计算：（2 2 x）x 2x；4 3 x（ 2 2 x） 2x；其他几个式子也按相同方式进行都得同一个结果，由此可得出第n个单项 式为 1 2 n n x；（ 2）并用此公式可写出第10 个单项式的结果 【答案与解析】 解：（ 1） 2x， 1 2 n n x； （2）第n个单项式为 1 2 n n x，则第 10 个为 512 10 x 【总结升华】 本题考查学生的观察分析能力，根据系数、x的指数的变化得出规律是解题的 关键 类型二、多项式除以单项式 3、计算： （1） 23233421 ( 3)2(3)9 2 xyxxxyyx
5、 yggg； （2） 2 (2 )(2 )4() 6xyxyxyx； （3） 5433 2()3()() 2() abababab 【思路点拨】 （1） （2）将被除式先化简后再进行除法计算（3）中()ab看作一个整体， 然后再按多项式除以单项式的法则计算 【答案与解析】 解： （1）原式 223239421 92279 2 x yxxx yyx yggg 52510428 (927)93x yx yx yxxy （2）原式 2222 44(2)6xyxxyyx 2222 (4484)6xyxxyyx 2 (58)6xxyx 54 63 xy （3）原式 5433 2()3()() 2() a
6、bababab 534333 2()2()3()2()()2()abababababab 231 ()() 22 abab 【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用（2）在解题时应 注意整体思想的应用，如第（3）题 举一反三： 【变式 1】先化简，再求值 （1） 22224 (2)()()52xyxyxyyy，其中2x， 1 4 y； （2）已知210 xy，求 222 ()()2 ()4xyxyy xyy的值 【答案】 解： （1）原式 224244 44()52xxyyxyyy 224244 (445)2xxyyxyyy 2 422xyyxy 当2x， 1 4 y
7、时，原式 1 2( 2)1 4 （2）原式 22222 (222)4xyxxyyxyyy 2 (42)4xyyy 1 2 xy 由已知210 xy，得 1 5 2 xy，即 1 5 2 xy 【变式 2】 （2014 秋?梁平县校级期中）计算：（ 2a2b3） 2（ 3ab2）3 （a 2b3） 【答案】 解：原式 =（4a 4b627a3b6） （ a2b3）=6a2b3+ ab3 4、已知一个多项式除以多项式 2 43aa所得的商式是21a，余式是28a，求 这个多项式 【答案与解析】 解：所求的多项式为 2322 (43)(21)282864328aaaaaaaaaa 32 295aa
8、【总结升华】本题的关键是明确“ 除式、被除式、商式和余式” 的关系：被除式除式 商式 余式，应牢记这一关系式 举一反三： 【变式】（2015 春?淮北期末）已知一个三角形的面积为3x26xy+9x ，其中一条边上的高是 6x，则这条边的长是 【答案】 x2y+3 解：因为一个三角形的面积为3x26xy+9x ，其中一条边上的高是6x， 可得： 2（3x26xy+9x ） 6x=x2y+3， 故答案为： x2y+3 【巩固练习】 一. 选择题 1. （ 2015?广元）下列运算正确的是（） A （ ab2） 3 （ ab2）2=ab2 B 3a+2a=5a 2 C （2a+b） （ 2ab）=2
9、a2b2D （2a+b） 2=4a2+b2 2若 213 m n yxx yxygg，则,m n值是 ( ) A.mn 1 B.mn2 C.m1，n2 D.m2，n1 3) 2 1 (4 3224 yzxzyx的结果是 ( ) A.8xyzB.8xyzC.2xyzD.8 22 xy z 4下列计算中错误的是( ) A. 2 5322 42a b ca bcabB. 2322 243216a ba baabg C. 2 1 4) 2 1 (4 222 yxyyxD. 3658410 2 2 1 )()(aaaaaa 5. 已知 53 7x y与一个多项式之积是 736555 289821x yx
10、 yx y，则这个多项式是( ) A. 22 43xy B. 22 43x yxy C. 222 4314xyxyD. 223 437xyxy 6. 计算 2 38xx 除以 3 x 后，得商式和余式分别为（） A商式为3，余式为 2 8x B商式为 3，余式为8 C商式为3x8，余式为 2 8x D 商式为3x8，余式为0 二. 填空题 7. （ 2015?宝应县校级模拟）计算：（21x4y335x 3y2+7x2y2） （ 7x2y） =_. 8. 一个长方形的面积是（ 2 9x）平方米，其长为（3x）米，用含有x的整式表示它的 宽为 _米 . 9. (1)已知10m3，10n2， 2 1
11、0 m n _ (2) 已知 2 3 m 6，9n8， 64 3 mn _ 10. 已知 A是关于x的四次多项式，且AxB，那么 B是关于x的_次多项式 11. 若 M 3 3 22 abab，那么整式M _ 12若2x3，2y6，2z12，x，y，z之间的数量关系是_ 三. 解答题 13先化简，再求值： 32322524ababababa，其中 a2，b 3 14 （2014 春?北京校级月考） （ 4a37a3b2+12a2b） （ 2a） 2 15. 是否存在常数p、q使得 42 xpxq能被52 2 xx整除？如果存在， 求出p、q的 值，否则请说明理由. 【答案与解析】 一. 选择题
12、 1. 【答案】 A； 【解析】解：A、 （ ab2）3 （ab2）2=a （32）b（64）=ab2，故本选项正确； B、 3a+2a=（3+2）a=5a，故本选项错误； C、 （2a+b） （2ab）=4a2b2，故本选项正确； D、 （2a+b） 2=4a2+4ab+b2，故本选项错误； 故选： A 2. 【答案】 A； 【解析】 21213 m nmn yxx yyxxyggg，所以213m，1m，n 1. 3. 【答案】 A； 【解析】 42234 32 12 111 4()48 22 x y zx yzxyzxyz. 4. 【答案】 D； 【解析】 10485631 ()()2 2
13、 aaaaaa. 5. 【答案】 C； 【解析】这个多项式为 73655553222 28982174314x yx yx yx yxyxy. 6. 【答案】 A； 【解析】 3 x 商式余式 2 38xx . 二. 填空题 7. 【答案】 3x2y2+5xyy； 【解析】解：原式=21x 4y3 （ 7x2y） 35x3y2 （ 7x2y）+7x2y2 （ 7x2y） =3x 2y2+5xy y 8. 【答案】（3x）； 【解析】根据长方形的宽面积长，再利用整式的除法求解即可 9. 【答案】 (1) 2 9 ；(2) 8 27 ； 【解析】 2 2 9 101010 2 mnmn ； 3 3
14、2 642 2 627 339 88 mnmn . 10. 【答案】三； 11. 【答案】 3 ab； 【解析】 M 3 33 22 ababab. 12 【答案】2yxz； 【解析】 2 2 22362223 12 yyxzxz ，所以2yxz. 三. 解答题 13. 【解析】 解：原式 2222 94521044abaababba 2 484aaba 2ab 当a2，b 3时，原式2238. 14. 【解析】 解： （ 4a37a3b2+12a2b） （ 2a） 2 =（ 4a37a 3b2+12a2b） 4a2 =aab 2+3b 15. 【解析】 解：设 2242 ()(25)xmxnxxxpxq 43242 (2)(25)(25 )5xmxnmxnm xnxpxq 由等式左右两边对应系数相等可得： 20m, 25nmp, 250nm, 5nq 解得：6p，25q 所以p、q是存在的 .
