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1、第九章 应力与应变分析,第一节 应力状态的概念第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆第三节 三向应力状态下的最大应力第四节 广义虎克定律第五节 三向应力状态下的变形比能,一、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,第一节 应力状态的概念,二、研究应力状态的方法单元体法,1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,应力与应变分析,应力与应变分析,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用
2、一个角标表示。,（2）面的方位用其法线方向表示,3.截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.单元体上的应力分量,应力与应变分析,c) 同b)，但从 上表面截取,b) 横截面，周向面，直径面各一对,a) 一对横截面，两对纵截面,三、应力状态分类(按主应力),1. 主平面：单元体上剪应力为零的面；,主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对主平面；,主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3表示， 有s1s2s3。,应力与应变分析,
3、2.应力状态按主应力分类：,只有一个主应力不为零称单向应力状态；,只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)；,三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；,单向应力状态又称简单应力状态，平面和空间应力状态又称复杂应力状态。,应力与应变分析,一、平面应力分析的解析法,1.平面应力状态图示：,第二节 平面应力状态下的应力研究、应力圆,应力与应变分析,2.任意a角斜截面上的应力,得,应力与应变分析,符号规定： a角以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 s拉为正，压为负 t使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负,3.主应力及其方位：,由主平面定义，令t =0，得：,可求出两个相差
4、90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。,即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。,应力与应变分析,主应力大小：,由s、s、0按代数值大小排序得出：s1s2s3,判断s、s作用方位(与两个a0如何对应),txy箭头指向第几象限(一、四)，则s(较大主应力)在第几象限，即先判断s大致方位，再判断其与算得的a0相对应，还是与a0+90o相对应。,应力与应变分析,4.极值切应力：,令： ，可求出两个相差90o 的 a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。,极值切应力：,应力与应变分析,例一 图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力； 主应力并画出主单元体；极值切应力。,例9-2 分析圆轴扭转时的应
5、力状态。,二、平面应力分析的图解法应力圆,1.理论依据：,以s、t为坐标轴，则任意a斜截面上的应力sx、txy为： 以) 为半径的圆。,2.应力圆的绘制：,定坐标及比例尺；,取x面，定出D( )点；取y面，定出D( )点；,连DD交s轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；,3.应力圆的应用,点面对应关系：应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；,角度对应关系：应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a;,旋向对应关系：应力圆上半径的旋向与单元体坐标轴旋向相同；,求外法线与x轴夹角为a斜截面上的应力，只要以D为起点，按a转动方向同向转过2a到E点，E点坐标即为所求应力值。,用应力圆确定主平面
6、、主应力：由主平面上剪应力t=0，确定D转过的角度；D转至s轴正向A1点代表s所在主平面，其转过角度为2 ，转至s轴负向B1点代表s所在主平面；,确定极值剪应力及其作用面：应力圆上纵轴坐标最大的G1点为t，纵轴坐标最小的G2点为t”，作用面确定方法同主应力。,求：1)a=30o斜截面上的应力； 2)主应力及其方位； 3)极值剪应力。,例9-3 用应力圆法重解例9-1题。,1.三向应力状态应力圆： 平行s3斜截面上应力由s1、s2作出应力圆上的点确定； 平行s2斜截面上应力由s1、s3作出应力圆上的点确定； 平行s1斜截面上应力由s2、s3作出应力圆上的点确定； 由弹性力学知，任意斜截面上的应力
7、点落在阴影区内。,一、三向应力状态下的应力圆,2.三向应力状态下的最大剪应力,tmax所在平面与s1和s3两个主平面夹角为45o。,二、例题,第三节 三向应力状态下的最大应力,例9-4 试确定左图所示应力状态的主应力和最大剪应力，并确定主平面和最大剪应力作用面位置。,解： 给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,主应力方位：,最大剪应力
8、所在平面法线与主平面夹角45o即与x轴夹角76o或-14o。,单元体内的最大剪应力：,一、广义虎克定律 1.有关概念： 主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示； 正应力只引起线应变，剪应力只引起剪应变；,2.广义虎克定律： 推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,第四节 广义虎克定律,用应变表示应力：,上式中：,二、例题 例9-5 在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎
9、克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,一、总应变比能 1.有关概念：,应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的 能量。用U表示；,比能：单位体积的应变能，用u表示；,2.总应变比能：,取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：,比能：,代入虎克定律：,第五节 三向应力状态下的变形比能,二、体积改变比能uv与形状改变比能ud 1.有关概念： 单元体的变形：体积改变和形状改变。 体积改变比能：与体积改变相对应的那一部分比能，用uv表示； 形状改变比能：与形状改变相对应的那一部分比能，用ud表示；,2.uv、ud公式,体积改变比能：,体积应变只与平均 正应力有关，则体 积改变比能只与平 均正应力有关。,体积改变,形状改变,形状改变比能：,一般情况：,
