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1、北京邮电大学20082009学年第一学期工科数学分析期末考试试题(A卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 极限 .解答： 2.当时,的最大值是 .解答： 3. 设当时，是比高阶的无穷小，而是比高阶的无穷小，则正整数等于 .解答：24. 已知 则 .解答： 5. 极限 .解答：6. .解答：7.设是连续函数，且，则 .解答：8.方程的通解是 .解答：9. .解答：10._.解答： 二、(6分)设是的原函数, 且 ，当时，有，试求.解:由，知 即 解出 代入初始条件, 即得，故由此得 （）. 三、(8分) 对证明存在使得，并求证明：由Taylor公式，对任意存在使
2、得 . 又因为故当时有由此知. 两边取极限得, 故. 四、(10分)设抛物线过原点, 且当时,. 又知该抛物线与直线及轴所围成的图形面积是. 求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体体积V最小.解: 由于抛物线过原点, 所以c=0. 由围成图形的面积可知 , 整理得, 即 于是旋转体体积 令, 得唯一驻点 , 又知该问题存在最小值, 故当时旋转体体积最小. 五、(7分)设在上连续，在内可导, 且 求证： 使 得.证明：令 则在上连续，在内可导, 且. 故由罗尔定理：使得 ， 而, 因此. 六、(7分)设证明证明：设 当时因此函数严格单调递增， 且从而当时, 七、(12分) (本大题共两个小题，每小题6分)(1)求摆线第一拱的长度.解: (2) 判别积分 的敛散性.解： 为的奇点. 因为，而收敛, 故 收敛； 又因为，且收敛, 所以绝对收敛. 综上所述，可知收敛. 八、(10分)求微分方程的通解, 以及满足条件的特解.解：(1) 特征方程，特征根，故所对应的齐次线性方程的通解为 注意到自由项的形式，由线性方程特解的叠加原理，先设方程特解为其中分别为方程(1) (2) 的特解.(i) 由于不是特征根，故设的特解为则 代入(1)比较系数得 于是的特解为 由于不是特征根，故设的特解为 代入(2)比较系数得 于是得特解为 故原方程的通解为 (2) 将代入方程的通解中易知满足条件的特解为
