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1、规律题应用知识汇总 “有比较才有鉴别”。通过比较,可以发现事物的相同点和不同点,更容易找到事物的变化规律。找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律,常常包含着事物的序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。 初中数学考试中,经常出现数列的找规律题,本文就此类题的解题方法进行探索: 一、基本方法看增幅 (一)如增幅相等(实为等差数列):对每个数和它的前一个数进行比较,如增幅相等,则第n个数可以表示为:a1+(n-1)b,其中a为数列的第一位数,b为增幅,(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。然后再简化代数式a+
2、(n-1)b。例:4、10、16、22、28,求第n位数。分析:第二位数起,每位数都比前一位数增加6,增幅都是6,所以,第n位数是:4+(n-1) 66n2 (二)如增幅不相等,但是增幅以同等幅度增加(即增幅的增幅相等,也即增幅为等差数列)。如增幅分别为3、5、7、9,说明增幅以同等幅度增加。此种数列第n位的数也有一种通用求法。 基本思路是:1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅; 2、求出第1位到第第n位的总增幅; 3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。此解法虽然较烦,但是此类题的通用解法,当然此题也可用其它技巧,或用分析观察的方法求出,方法就简单的多了。 (三)增幅不相等,但是增幅同比
3、增加,即增幅为等比数列,如:2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8. (四)增幅不相等,且增幅也不以同等幅度增加(即增幅的增幅也不相等)。此类题大概没有通用解法,只用分析观察的方法,但是,此类题包括第二类的题,如用分析观察法,也有一些技巧。 二、基本技巧 (一)标出序列号:找规律的题目,通常按照一定的顺序给出一系列量,要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律,通常包序列号。所以,把变量和序列号放在一起加以比较,就比较容易发现其中的奥秘。 例如,观察下列各式数:0,3,8,15,24,。试按此规律写出的第100个数是 100 ,第n个数是 n。解答这一题,可以先找一般规律,然后使用这个
4、规律,计算出第100个数。我们把有关的量放在一起加以比较: 给出的数:0,3,8,15,24,。 序列号: 1,2,3, 4, 5,。 容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。因此,第n项是-1,第100项是1(二)公因式法:每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。例如:1,9,25,49,(81),(121),的第n项为( ),1,2,3,4,5。,从中可以看出n=2时,正好是22-1的平方,n=3时,正好是23-1的平方,以此类推。 (三)看例题:A: 2、9、28、65.增幅是7、19、37.,增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n的3次幂
5、,即:n+1B:2、4、8、16.增幅是2、4、8. .答案与2的乘方有关即: (四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用(一)、(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。例:2、5、10、17、26,同时减去2后得到新数列: 0、3、8、15、24,序列号:1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n个数为。再看原数列是同时减2得到的新数列,则在的基础上加2,得到原数列第n项 (五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列
6、,然后,在再找出规律,并恢复到原来。例 : 4,16,36,64,?,144,196, ?(第一百个数)同除以4后可得新数列:1、4、9、16,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4 n,则求出第一百个数为4*100=40000 (六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。 (七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。 三、基本步骤 1、 先看增幅是否相等,如相等,用基本方法
7、(一)解题。 2、 如不相等,综合运用技巧(一)、(二)、(三)找规律 3、 如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧(一)、(二)、(三)找出新数列的规律 4、 最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法(二)解题 四、练习题例1:一道初中数学找规律题0,3,8,15,24, 2,5,10,17,26, 0,6,16,30,48(1)第一组有什么规律?答:从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?答:第一组是位置数平方减一,那么第二组每项对应减去第一组每项,从中可以看出都等于2,说明第二组的每项都比第一组的每项多2,则第二组第
8、n项是:位置数平方减1加2,得位置数平方加1即。第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍,则第三组第n项是:(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?答:用上述三组数的第n项公式可以求出,第一组第七个数是7的平方减一得48,第二组第七个数是7的平方加一得50,第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96,48+50+96=1942、观察下面两行数2,4,8,16,32,64, (1)5,7,11,19,35,67(2)根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。)解:第一组可以看出是2,第二组可以看出是第一组的每项都加3,即2+3,则第一组第十个数是2=
9、1024,第二组第十个数是2+3得1027,两项相加得2051。 3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?解:从数列中可以看出规律即:1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,.,每二项中后项减前项为0,1,2,3,4,5,正好是等差数列,并且数列中偶项位置全部为黑色珠子,因此得出2002除以2得1001,即前2002个中有1001个是黑色的。 4、=8 =16 =24 用含有N的代数式表示规律解:被减数是不包含1的奇数的平方,减数是包括1的奇数的平方,差是8的倍数,奇数项第n个项为2n-1,而被减数正是比减数多2,则被减数为2n-1+2,得2n+1
10、,则用含有n的代数式表示为:=8n。 写出两个连续自然数的平方差为888的等式解:通过上述代数式得出,平方差为888即8n=8X111,得出n=111,代入公式:(222+1)-(222-1)=888五、对于数表1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1)等差关系。12,20,30,42,( 56 )127,112,97,82,( 67 )3,4,7,12,( 19 ),28 (2)移动求和或差。从第三项起,每一项都
11、是前两项之和或差。1,2,3,5,( 8 ),13A.9 B.11 C.8 D.7选C。1 +2=3,2+ 3=5,3+ 5=8,5+ 8=130,1,1,2,4,7,13,( 24) A.22 B.23 C.24 D.25选C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。5,3,2,1,1,(0 )A.-3 B.-2 C.0 D.2选C。前两项相减得到第三项。 2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比,从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。8,12,18,27,(40.5)后项与前项之比为1.
12、5。6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2,2.5,3(2)移动求积或商关系。从第三项起,每一项都是前两项之积或商。2,5,10,50,(500)100,50,2,25,(2/25)3,4,6,12,36,(216) 从第三项起,第三项为前两项之积除以21,7,8,57,(457)第三项为前两项之积加 13.平方关系1,4,9,16,25,(36),49 为位置数的平方。66,83,102,123,(146) ,看数很大,其实是不难的,66可以看作64+2,83可以看作81+2,102可以看作100+2,123可以看作121+2,以此类推,可以看出是8
13、,9,10,11,12的平方加24.立方关系1,8,27,(81),125 位置数的立方。3,10,29,(83),127位置数的立方加 20,1,2,9,(730)后项为前项的立方加15.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案 ()分子为等比即位置数的平方,分母为等差数列,则第n项代数式为:2/3 1/2 2/5 1/3(1/4)将1/2化为2/4,1/3化为2/6,可得到如下数列:2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 .可知下一个为2/9,如果求第n项代数式即:,分解后得:6.、质数数列2,3,5,(7),11 质数数列4,
14、6,10,14,22,(26) 每项除以2得到质数数列20,22,25,30,37,(48) 后项与前项相减得质数数列。7.、双重数列。 又分为三种:(1)每两项为一组,如1,3,3,9,5,15,7,(21)第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为32,5,7,10,9,12,10,(13)每两项中后项减前项之差为31/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,(104 )两项为一组,每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。22,39,25,38,31,37,40,36,(52) 由两个数列,22,25,31,40,( )和39,38,37,36组成,相互隔开,均为等差。34,36,35,35,(36),34,37,(33) 由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减(3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。2.01,4.03, 8.04, 16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列,题目一般已经解出。特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。8.、组合数列。最常见的是和差关系与乘除关系组