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1、 正弦定理和余弦定理1.(2008陕西理,3)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=,b=,B=120,则 a= .答案 2.(2008福建理,10)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值为 .答案 或3.下列判断中不正确的结论的序号是 .ABC中,a=7,b=14,A=30,有两解ABC中,a=30,b=25,A=150,有一解ABC中,a=6,b=9,A=45,有两解ABC中,b=9,c=10,B=60,无解答案 4.在ABC中,A=60,AB=5,BC=7,则ABC的面积为 .答案 105.(2008浙江理,13)在
2、ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b-c)cosA=acosC,则cosA= .答案 例1 在ABC中,已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解 B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时,C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时,C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中,A=60,C=75,c=或A=120,C=15,c=.例2 在ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ABC的面积.解 (1)由余弦定理知:cosB=,cosC=.
3、将上式代入=-得:=-整理得:a2+c2-b2=-accosB= =-B为三角形的内角,B=.(2)将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosBb2=16-2ac,ac=3.SABC=acsinB=.例3 (14分)ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,求bc的最大值;(3)求的值.解 (1)cosA=-, 2分又A(0,180),A=120. 4分(2)由a=,得b2+c2=3-bc,又b2+c22bc(当且仅当c=b时取等号),3-bc2bc(当且仅当c=b
4、时取等号). 6分即当且仅当c=b=1时,bc取得最大值为1. 8分(3)由正弦定理得:2R, 10分= 11分= 12分= 13分=. 14分例4 在ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(A+B)-sin(A-B)2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为:sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinAsinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0sin2A=sin
5、2B,由02A,2B2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,ABC为等腰或直角三角形.方法二 同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2b= b2a a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0a=b或a2+b2=c2ABC为等腰或直角三角形.1.(1)ABC中,a=8,B=60,C=75,求b;(2)ABC中,B=30,b=4,c=8,求C、A、a.解 (1)由正弦定理得.B=60,C=75,A=45,b=4.(2)由正弦定理得sinC=1.又30C150,C=90.A=180-(B+C)=60,
6、a=4.2.已知ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,求tanC的值.解 依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sincos =4cos2化简得:tan=2.从而tanC=-.3.(2008辽宁理,17)在ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=.(1)若ABC的面积等于,求a、b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积.解 (1)由余弦定理
7、及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为ABC的面积等于,所以absinC=,所以ab=4.联立方程组 解得.(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即sinBcosA=2sinAcosA,当cosA=0时,A=,B=,a=,b=.当cosA0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组 解得所以ABC的面积S=absinC=.4.已知ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断ABC的形状.解 方法一 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8
8、cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=(舍去).cosB=.0B,B=.a,b,c成等差数列,a+c=2b.cosB=,化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又B=,ABC是等边三角形.方法二 2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.4cos2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=(舍去).cosB=,0B,B=,a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=.sinA+
9、sin=,sinA+sin-cos=.化简得sinA+cosA=,sin =1.A+=,A=,C=,ABC为等边三角形.一、填空题1.在ABC中,若2cosBsinA=sinC,则ABC一定是 三角形.答案 等腰2.在ABC中,A=120,AB=5,BC=7,则的值为 .答案 3.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且面积SABC=(b2+c2-a2),则A= .答案 454.在ABC中,BC=2,B=,若ABC的面积为,则tanC为 .答案 5.在ABC中,a2-c2+b2=ab,则C= .答案 606.ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则C= .答案 45或1357.在A
10、BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=,c=,则B= .答案 8.某人向正东方向走了x千米,他右转150,然后朝新方向走了3千米,结果他离出发点恰好千米,那么x的值是 .答案 或2二、解答题9.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,并且a2=b(b+c).(1)求证:A=2B;(2)若a=b,判断ABC的形状.(1)证明 因为a2=b(b+c),即a2=b2+bc,所以在ABC中,由余弦定理可得,cosB=,所以sinA=sin2B,故A=2B.(2)解 因为a=b,所以=,由a2=b(b+c)可得c=2b,cosB=,所以B=30,A=2B=60,C=90.
11、所以ABC为直角三角形.10.(2008全国理,17)在ABC中,cosB=-,cosC=.(1)求sinA的值; (2)ABC的面积SABC=,求BC的长.解 (1)由cosB=-,得sinB=,由cosC=,得sinC=.所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.(2)由SABC=,得ABACsinA=. 由(1)知sinA=,故ABAC=65.又AC=AB,故AB2=65,AB=.所以BC=.11.已知a、b、c是ABC的三边长,关于x的方程ax2-2 x-b=0 (acb)的两根之差的平方等于4,ABC的面积S=10,c=7.(1)求角C;(2)求a,b的值
12、.解 (1)设x1、x2为方程ax2-2x-b=0的两根,则x1+x2=,x1x2=-.(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+=4.a2+b2-c2=ab.又cosC=,又C(0,180),C=60.(2)由S=absinC=10,ab=40. 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,即c2=(a+b)2-2ab(1+cos60).72=(a+b)2-240.a+b=13.又ab 由,得a=8,b=5.12.(2008广东五校联考)在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=,且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小;(2)求ABC的面积.解 (1)A+B+