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1、2013高考数学思想方法（一）函数与方程思想1函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题（2)方程思想(：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(
2、或方程组)求出它们，这就是方程思想2函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想一、函数方程思想在求解最值或参数的取值范围的应用例1 已知函数f(x)x32x2x，g(x)x2xa，若函数yf(x)与yg(x)的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围【解答】 函数f(x)与yg(x)的图象有三个不同的交点等价于方程x32x2xx2xa有三个不同的实数根，即关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数根，令h(x)x33x2a，则h(x)3x26x.令h(x
3、)0，解得0x0，解得x2.所以h(x)在(，0)和(2，)上为增函数，在(0,2)上为减函数所以h(0)为极大值，h(2)为极小值从而h(2)0h(0)，解得4a0.【点评】 本题在求解参数取值范围时，利用函数的极值处理，迅速准确地使问题得到解决变试题如果关于实数x的方程ax23x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为()Aa|2a2 Ba|a0或a2Ca|a2或a0；t(，1)，(1，)时，f(t)0，证明：f(x)；(3)若不等式x2f(x2)m22bm3时，x1,1及b1,1都恒成立，求实数m的取值范围【解答】 用三点共线的充要条件构建目标函数，借助导数研究单调性，利用值域
4、构建不等式求解参数范围问题(1)y2f(1)ln(x1)0，y2f(1)ln(x1)，由于A、B、C三点共线，即y2f(1)ln(x1)1，yf(x)ln(x1)12f(1)，f(x)，故f(1)，f(x)ln(x1)(2)令g(x)f(x)，由g(x)，x0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，故g(x)g(0)0，即f(x).(3)原不等式等价于x2f(x2)m22bm3，令h(x)x2f(x2)x2ln(x21)，由h(x)x，当x1,1时，h(x)max0，m22bm30.令Q(b)m22bm3，则解得m3或m3.变试题 对于满足0p4的所有实数p，不等式x2px4xp3都成立，
5、则实数x的取值范围是_x3或x1，若仅有一个常数c使得对于任意的x，都有y满足方程logaxlogayc，这时a的取值的集合为_ (1)2【解析】 由logaxlogayc，得y(xa,2a)，则当xa,2a时，y.又对于任意的xa,2a，都有ya，a2，因此又仅有一个常数c，所以2loga23a2. (2)函数f(x)(0x2)的值域是()A. B. C. D.(2)C【解析】 由y，得y21cos2x5y24y2cosx.令tcosx(t1,1)，则等价于方程t24y2t5y210在1,1上有实数根令g(t)t24y2t5y21，g(1)y20，g(1)9y20，故y2，因此值域为，选C.
6、四、运用函数、方程、不等式的相互转化，解决有关问题例4 若关于x的方程x22kx10的两根x1、x2满足1x10x22，则k的取值范围是()A. B. C. D.A【解析】设函数f(x)x22kx1，关于x的方程x22kx10的两根x1、x2满足1x10x22，即k0，故选择A.变试题 已知aR，若关于x的方程x2x|a|0有实根，则a的取值范围是_【解析】方程即|a|x2x2，利用绝对值的几何意义，得|a|，可得实数a的取值范围为.五、函数方程思想在数列问题中的应用例5 2010全国卷 记等差数列an的前n项和为Sn，设S312，且2a1，a2，a31成等比数列，求Sn.【解答】 设数列an
7、的公差为d，依题设有即解得或因此Snn(3n1)，或Sn2n(5n)变试题 已知函数f(x)若数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A. B. C2,3) D(1,3)【解析】A依题意，数列an满足anf(n)(nN*)，且an是递增数列，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以解得aln21且x0时，exx22ax1.【解答】(1)f(x)ex2，所以当xln2，)时，f(x)是增函数；当x(，ln2)时，f(x)是减函数所以f(x)的单调递增区间是ln2，)，单调递减区间是(，ln2)所以f(x)极小值f(ln2)22ln22a.(2)证明：设g(x)
8、exx22ax1，则g(x)ex2x2a，由(1)知当aln21时，g(x)最小值22ln22a，所以有g(x)最小值0，即g(x)在R上是增函数，于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)，所以g(x)exx22ax10，所以exx22ax1.22010抚州卷 已知数列an，bn中，a10，b11，且当nN*时，an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)求最小自然数k，使得当nk时，对任意实数0,1，不等式(23)bn(24)an(3)恒成立【解答】 (1)依题意2bnanan1，abnbn1.又a10，b11， bn0，an0，且2bn，2(n2)， 数列是等差数列，又b24，b39，n，n1也适合bnn2，an(n1)n.(2)将an，bn代入不等式(23)bn(24)an(3)，整理得(2n1)n24n30.令f()(2n1)n24n3，则f()是关于的一次函数，由题意可得解得n1或n3.存在最小自然数k3，使得当nk时，不等式恒成立
