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1、圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2，则点M在圆C上重点二、点与圆的位置关系圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d|PC|.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(x0a
2、)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)20时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其中圆心为C(，)，半径为r(2)说明：方程x2y2DxEyF0不一定表示圆当且仅当D2E24F0时，表示圆：当D2E24F0时，表示一个点(，)；当D2E24F0重点五、求轨迹方程的五个步骤：建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；设点：写出适合条件P的点M的集合PM|p(M)；列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)0；化简：化方程F(x，y)0为最简形式；查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点【典题精练】考点1、求圆的标准
3、方程例1已知三角形ABC的顶点坐标分别为A，B，C；（1）求直线AB方程的一般式；（2）证明ABC为直角三角形；（3）求ABC外接圆方程 【解析】（1）直线AB方程为：，化简得：； （2）；，则ABC为直角三角形 （3）ABC为直角三角形，ABC外接圆圆心为AC中点M， 半径为r=， ABC外接圆方程为考点点睛：(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程考点2、判断点与圆的位置关系例2已知圆过两点、，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）
4、判断点与圆的关系.【解析】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为，则，即，即，解得，即圆心为，半径则圆的标准方程为（2） 点在圆的外面.考点点睛：点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内考点3、圆的标准方程的综合应用例3已知一圆的圆心在直线上，且该圆经过和两点.（1）求圆的标准方程；（2）若斜率为的直线与圆相交于，两点，试求面积的最大值和此时直线的方程.【解析】（1）方法一：和两点的中垂线方程为：，圆心
5、必在弦的中垂线上，联立得，半径，所以圆的标准方程为：.方法二：设圆的标准方程为：，由题得：，解得：所以圆的标准方程为：.（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离为，且，面积，当，时，取得最大值2此时，解得：或所以，直线的方程为：或.考点点睛：确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法(1)几何法它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程，常用的几何性质有：圆的弦的垂直平分线过圆心；两条弦的垂直平分线的交点为圆心；圆心与切点的连线垂直于切线；圆心到切点的距离等于圆的半径；圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；直径所对圆周角为
6、直角等(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：设：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2；列：由已知条件，建立关于a、b、r的方程组；解：解方程组，求出a、b、r；代：将a、b、r代入所设方程，得所求圆的方程考点4、二元二次方程与圆的关系例4已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)表示的图形是圆(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围【解析】（1）已知方程可化为（xt3）2+（y+14t2）2=（t+
7、3）2+（14t2）216t49r2=7t2+6t+10，即7t26t10，解得t1，t的取值范围是（，1）（2）r=，当t=（，1）时，rmax=，此时圆的面积最大，对应的圆的方程是：（x）2+（y+）2=（3）圆心的坐标为（t+3，4t21）半径 r2=（t+3）2+（14t2）2（16t4+9）=7t2+6t+1点P恒在所给圆内，（t+33）2+（4t214t2）27t2+6t+1，即4t23t0，解得0t考点点睛：形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：由圆的一般方程的定义，若D2E24F0，则表示圆，否则不表示圆；将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解
8、应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式若不是，则要化为这种形式再求解考点5、用待定系数法求圆的方程例5分别根据下列条件，求圆的方程.（1）过点，和原点；（2）与两坐标轴均相切，且圆心在直线上.【解析】（1）设圆的方程为，由题意，解得，故所求圆的方程为.（2）由圆心在直线上，设圆心的坐标为，因为圆与两坐标轴均相切，所以，解得或.当时，圆心为，半径为5，则圆的方程为；当时，圆心为，半径为1，则圆的方程为；故所求圆的方程为或.考点6、求轨迹方程的常用方法：例6已知，动点满足.设动点的轨迹为.（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）求动点与定点连线的斜率的最
9、小值；（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.【解析】（1），化简可得：，所以动点M的轨迹方程为.轨迹是以为圆心，2为半径的圆.（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为.，即.（3）假设存在，联立方程得，得，即.设，则，由题意知，.，得，且满足，存在以线段PQ为直径的圆经过A，此时.考点点睛：求轨迹方程的常用方法包括：(1)直接法：能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下：(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x，y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0，y0)的运动而运动，则找到所求动点与已知动点的关系，代入已知动点所在的方程具体步骤如下：设所求轨迹上任意一点P(x，y)，与点P相关的动点Q(x0，y0)；根据条件列出x，y与x0、y0的关系式，求得x0、y0(即用x，y表示出来)；将x0、y0代入已知曲线的方程，从而得到点D(x，y)满足的关系式即为所求的轨迹方程(3)定义法：动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程
