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1、圆的标准方程与一般方程【重难点精讲】重点一、圆基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后,圆就唯一确定了,因此,确定一个圆的基本要素是圆心和半径标准方程圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2图示说明若点M(x,y)在圆C上,则点M的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2,则点M在圆C上重点二、点与圆的位置关系圆C:(xa)2(yb)2r2(r0),其圆心为(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设d|PC|.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外dr(x0a)2(y0b)2r2点在圆上dr(x0a
2、)2(y0b)2r2点在圆内dr(x0a)2(y0b)20时,方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程,其中圆心为C(,),半径为r(2)说明:方程x2y2DxEyF0不一定表示圆当且仅当D2E24F0时,表示圆:当D2E24F0时,表示一个点(,);当D2E24F0重点五、求轨迹方程的五个步骤:建系:建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;设点:写出适合条件P的点M的集合PM|p(M);列式:用坐标(x,y)表示条件p(M),列出方程F(x,y)0;化简:化方程F(x,y)0为最简形式;查漏、剔假:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点【典题精练】考点1、求圆的标准
3、方程例1已知三角形ABC的顶点坐标分别为A,B,C;(1)求直线AB方程的一般式;(2)证明ABC为直角三角形;(3)求ABC外接圆方程 【解析】(1)直线AB方程为:,化简得:; (2);,则ABC为直角三角形 (3)ABC为直角三角形,ABC外接圆圆心为AC中点M, 半径为r=, ABC外接圆方程为考点点睛:(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量):圆的圆心坐标和圆的半径长;反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径;(2)求解圆的标准方程时,一般先求出圆心和半径,再写方程考点2、判断点与圆的位置关系例2已知圆过两点、,且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程;(2)
4、判断点与圆的关系.【解析】(1)圆心在直线上,设圆心坐标为,则,即,即,解得,即圆心为,半径则圆的标准方程为(2) 点在圆的外面.考点点睛:点与圆的位置关系的判断方法:(1)几何法:利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较;(2)代数法:直接利用下面的不等式判定:(x0a)2(y0b)2r2,点在圆外;(x0a)2(y0b)2r2,点在圆上;(x0a)2(y0b)2r2,点在圆内考点3、圆的标准方程的综合应用例3已知一圆的圆心在直线上,且该圆经过和两点.(1)求圆的标准方程;(2)若斜率为的直线与圆相交于,两点,试求面积的最大值和此时直线的方程.【解析】(1)方法一:和两点的中垂线方程为:,圆心
5、必在弦的中垂线上,联立得,半径,所以圆的标准方程为:.方法二:设圆的标准方程为:,由题得:,解得:所以圆的标准方程为:.(2)设直线的方程为,圆心到直线的距离为,且,面积,当,时,取得最大值2此时,解得:或所以,直线的方程为:或.考点点睛:确定圆的标准方程,从思路上可分为两种:几何法和待定系数法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程,常用的几何性质有:圆的弦的垂直平分线过圆心;两条弦的垂直平分线的交点为圆心;圆心与切点的连线垂直于切线;圆心到切点的距离等于圆的半径;圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形;直径所对圆周角为
6、直角等(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:设:设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2;列:由已知条件,建立关于a、b、r的方程组;解:解方程组,求出a、b、r;代:将a、b、r代入所设方程,得所求圆的方程考点4、二元二次方程与圆的关系例4已知方程x2y22(t3)x2(14t2)y16t490(tR)表示的图形是圆(1)求t的取值范围;(2)求其中面积最大的圆的方程;(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内,求t的取值范围【解析】(1)已知方程可化为(xt3)2+(y+14t2)2=(t+
7、3)2+(14t2)216t49r2=7t2+6t+10,即7t26t10,解得t1,t的取值范围是(,1)(2)r=,当t=(,1)时,rmax=,此时圆的面积最大,对应的圆的方程是:(x)2+(y+)2=(3)圆心的坐标为(t+3,4t21)半径 r2=(t+3)2+(14t2)2(16t4+9)=7t2+6t+1点P恒在所给圆内,(t+33)2+(4t214t2)27t2+6t+1,即4t23t0,解得0t考点点睛:形如x2y2DxEyF0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有两种方法:由圆的一般方程的定义,若D2E24F0,则表示圆,否则不表示圆;将方程配方,根据圆的标准方程的特征求解
8、应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2y2DxEyF0这种标准形式若不是,则要化为这种形式再求解考点5、用待定系数法求圆的方程例5分别根据下列条件,求圆的方程.(1)过点,和原点;(2)与两坐标轴均相切,且圆心在直线上.【解析】(1)设圆的方程为,由题意,解得,故所求圆的方程为.(2)由圆心在直线上,设圆心的坐标为,因为圆与两坐标轴均相切,所以,解得或.当时,圆心为,半径为5,则圆的方程为;当时,圆心为,半径为1,则圆的方程为;故所求圆的方程为或.考点6、求轨迹方程的常用方法:例6已知,动点满足.设动点的轨迹为.(1)求动点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;(2)求动点与定点连线的斜率的最
9、小值;(3)设直线交轨迹于两点,是否存在以线段为直径的圆经过?若存在,求出实数的值;若不存在,说明理由.【解析】(1),化简可得:,所以动点M的轨迹方程为.轨迹是以为圆心,2为半径的圆.(2)设过点的直线为,圆心到直线的距离为.,即.(3)假设存在,联立方程得,得,即.设,则,由题意知,.,得,且满足,存在以线段PQ为直径的圆经过A,此时.考点点睛:求轨迹方程的常用方法包括:(1)直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程步骤如下:(2)代入法(也称相关点法)若动点P(x,y)跟随某条曲线(直线)C上的一个动点Q(x0,y0)的运动而运动,则找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程具体步骤如下:设所求轨迹上任意一点P(x,y),与点P相关的动点Q(x0,y0);根据条件列出x,y与x0、y0的关系式,求得x0、y0(即用x,y表示出来);将x0、y0代入已知曲线的方程,从而得到点D(x,y)满足的关系式即为所求的轨迹方程(3)定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程