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1、中 学数学 研究 下面先证明(1) : 令b+c=x ,c+a=Y,a +b= z 0,x + y + z = 2 ,a = 1 一x ,b 二 一z. 2007 年第 10 期 z， 则x ,Y, 1 一， = 1 1 +b一) ， 口 内 ， 1八 、 ， 夕 6 一 十 一 卜 ( 5 - 2 一 - 2,厅 其十乒 一1一粤 、乒- 创于3 )， 即 汰 一蜡(于3) 易 知 ， 当。 二 。 一 。 一 告时(，)取等 号 当且仅 当 x, a=粤 时， 取等号 J 2 二 3 同理c+a一 。 -9(5+3 ),0 a + b-c9(z+ 3).O 由X x 及引理， 可得 上述方
2、法对(2)的 证明 并不 凑效， 我们希望 看到(2) 的简捷证明. 参考文献 1魏烈斌.不等式中的一对姐妹花.数学通讯【 I l, 2007(5). 一个有趣的不等式链 深3J1 市南头中学(518052)肖赣华 1988 年“ 友谊杯” 国际数学邀请赛十年级 第 1 题为: 同 已 知a, b,c 为正数， 求证: a1 b十 c + b 二+ 证明因 临一 )2(b2+be+e2) o， 故 b 4 +c4 i b 3 c+6 c 3， 从I鬓+釜 午， +a . a3- c2+a2 a3 十hc 一b一 be+b - a+b 三 ， 以上三 c 2a+b c a )告(a+”+ ， 式
3、相加， 可得 2002年加 拿大 数学奥 林匹克第3题为: b2+c2 . c2+a2 . 一a， 十 - b宁 a2 + b2 转 沪 一 a b 十 护 一 Q Z + 护 一 加 已知 a + b + c . 、 ) ，、 二、 ，护 . 护c3- a ,b,c刀止狱， 举U :丽寸ca ，ab ， 1. 1 41.1 、 四 万宁 万 i 下c下， 万笋 一生- c十 a 生+冬 a口 在对上述两个不等式进行比较的探索 过程 中， 我们发现了一 个有 趣的不等式 链. 汽舟 定理若a, b, 。 为正数， 则a3十 b3 beca +c3 a 内 4， 故b 2 + c 2 +c 2
4、+ a 2 + a2 + b 2 = a+ b# abc 一(1 b+告 卜b 2 c+aJ+一(告+告) 4 Ib2+c2 . c2+a2 . a2+b21- 1 十 一飞十卜 二 、以口LI + C s a + b / 又b 2+c2 c2+ a2 十 一 几 厂 一. a2+b2- 2bc . 2ca 十 二卞 c一a口 a 户 了 . .、 、 、 2 一 一 JI -勺 山 妻 a0 b + c + b2 c + a rib c2 a + b ，一 。十。 2 a b 十 丁 be . ca. a b a 卞b 宁 丁 将 a 2a “b + -十 b 十 c4 )a , b2 c+
5、 a + c+ 4 鱼) b, 13， + ? + 订 伙 加 - a 了 | 咬 | | 2007 年第 10 期 中学数学研究 f 0口 + h _，、，_ .二 _ _. 二二 言 又十一 气 不 一声s ， 二式相加 ， 歪埃 月得 住.口叶 a 2 b + c . 。 be a + c+ a+ a +b转(一” 。) 综上， 定理成立 笔者猜想: + ca + ab一2(c十 A ) (子+c,b 1a 若 一 “ ， ” 正 数 则_ a 2b + c十b 2+ _ c 2c+ a a+ b +(b、手)。)妻弄(2a、2b+:)一。 “口 I, 十 b + 1 1be . ca
6、. ab 1 - f 1了个 万， 丁 有 关 双 曲 线 “ 切 准 点 ” 对 焦 点 的 几 个 性 质 甘肃兰州窑街煤电奋司三中(730080)张鹏程庞耀辉 定 义 双 曲 线2 a2茶=1 (a0,b0， 上 点 一 b2(c+zo) M(二 。 .Y o)(除长轴两顶点)处的切线1交右准 线2 2 :二 一_ a2 c于 尸 ， 交 左 准 线l;?一_ a2 c于Q , 我们称点p . Q 为“ 切准点” . 笔者通过研究发现有关 双曲线“ 切准点” 对焦点有如 下几个结论:如图所示. 1. kQ F k吧 一kQ F z kF F; 2.当 X 01 笋 。 时 ， k A z
7、. c + x 0 y o .kQ F- .kQ F - _ _ 一 一 c yo_ 62(c+二 。 ) h ct r , 一2一了 ， ， 、 一a- 一cyol c- * a-) c c 2+ a 2 b2 Y 1 Pi x lF zl zM 同 理kP F = b2(x。 一 。 ) cy o a2+。 一 .b2(xo- c) 一、 nlC2+a2) 62(x0一 : ) C YO kP F e2一1 e2+ 1 , (或 a2 c一 b2(zo一 。 ) 一 ， 0(c2一 a2) 军 = 1 护 k - ,k p F 2一Z e 2 +1 ) k叽 c2 +a2，0 k Q F
8、2 kP F kP F 2 匕 尸 一 尸 只 日 玉 凡 -. 佗 tan艺尸 F,Q tan艺尸 F2Q MFl M F 2 特别地 当 过(a2 c0 )或( 0)时 证明 结论1:如图 ， 设M(so,Y o)处切线 方程为. 20 AI一NY= a-n 1。易 得Pa2 b 2 (韶),c y o ， 一b 2 (X o +c)， Y o kQ F,-kpF ,=kQ F 2kpF ,=0. 综 上 有kQ F ,-kp F,=k帆 kP F,. 证明 结论2:设M 点坐 标是(aa,Y o), 当 Ixo1 7 :c时 ， k A V ,(k m F)存 在 护 一 c 一 Q F,(一 c,0),F2(c,0). 一 bq(c+ao) k叽 Y oo -c kp F a 一 “ 二 + kQ: _ _CYo 2 b2(c+zo) Y2(C 2一 。 2) b 2 (ip -c )Y o (c 2 + a 2 ),“ - , *kPF 由 ( 1 ) 知 b2 = C 2+a2=
