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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试上海卷 数学(文史类)一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空填对得4分,否则一律得零分。1、已知,集合,若,则实数。2、已知两条直线若,则_.3、若函数的反函数的图像过点,则。4、计算:。5、若复数满足(为虚数单位),其中则。6、函数的最小正周期是_。7、已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为,则双曲线的标准方程是_.8、方程的解是_.9、已知实数满足,则的最大值是_.10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是_(结果用
2、分数表示)。11、若曲线与直线没有公共点,则的取值范围是_.12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是_.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。13、如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是 ( )(A) (B)(C) (D)14、如果,那么,下列不等式中正确的是(
3、)(A) (B)(C) (D)15、若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(A)48 (B) 18 (C) 24 (D)36三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤。17、(本题满分12分)已知是第一象限的角,且,求的值。18、(本题满分12分)如图,当甲船位于A处时获
4、悉,在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西,相距10海里处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到)?19、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。在直三棱柱中,. (1)求异面直线与所成的角的大小;(2)若与平面S所成角为,求三棱锥的体积。20、(本题满分14)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。设数列的前项和为,且对任意正整数,。(1)求数列的通项公式(2)设数列的前项和为,对数列,从第几项起?21、本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第
5、3小题满分6分。已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,右顶点为,设点.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上的动点,求线段中点的轨迹方程;(3)过原点的直线交椭圆于点,求面积的最大值。22(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分。已知函数有如下性质:如果常数,那么该函数在上是减函数,在上是增函数。(1)如果函数在上是减函数,在上是增函数,求的值。(2)设常数,求函数的最大值和最小值;(3)当是正整数时,研究函数的单调性,并说明理由。上海数学(文史类)参考答案一、(第1题至笫12题)1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3
6、 6. 7. 8. 5 9. 0 10. 11.1b1, y1或y1,曲线与直线没有公共点,则的取值范围是1,1.12、如图,平面中两条直线和相交于点,对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离,则称有序非负实数对是点的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个,所以满足条件的点的个数是4个.二、选择题:13. C 14. A 15. A 16. DABCD13如图,在平行四边形ABCD中,根据向量的减法法则知,所以下列结论中错误的是C14、如果,那么, ,选A. 15、若空间中有两条直线,若“这两条直线为异面直线”,则“这两条直线没有
7、公共点”;若 “这两条直线没有公共点”,则 “这两条直线可能平行,可能为异面直线”; “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件,选A.16、如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”,分情况讨论: 对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有212=24个; 对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个;所以正方体中“正交线面对”共有36个选D.三、(第17题至笫22题)17.解:= 由已知可得s
8、in, 原式=.18.解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+10222010COS120=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.19.解:(1) BCB1C1, ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 异面直线B1C1与AC所成角为45. (2) AA1平面ABC,ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ACA =45.ABC=90, AB=BC=1, AC=,AA1=.三棱锥A1-ABC的体积V=SABCAA1=.20.解(1) an+ Sn=40
9、96, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, 椭圆的标准方程为(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),由x=得x0=2x1y=y0=2y由,点P在椭圆上,得, 线段PA中点M的轨迹方程是.(3)当直线BC垂直于
10、x轴时,BC=2,因此ABC的面积SABC=1.当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,解得B(,),C(,),则,又点A到直线BC的距离d=,ABC的面积SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,当k=时,等号成立.SABC的最大值是. 22.解(1) 由已知得=4, b=4. (2) c1,4, 1,2, 于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.f(1)f(2)=,当1c2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+;当2c4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0x1x2,g(x2)g(x1)=. 当x1g(x1), 函数g(x)在,+)上是增函数; 当0x1x2g(x1), 函数g(x)在(0, 上是减函数. 当n是奇数时,g(x)是奇函数,函数g(x) 在(,上是增函数, 在,0)上是减函数. 当n是偶数时, g(x)是偶函数, 函数g(x)在(,)上是减函数, 在,0上是增函数.