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1、美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，B=N，则集合 AB 的 真子集个数为（） A3 B4 C7 D8 2 已知 z=2+i ，（i 是虚数单位）， z 的共轭复数是， 则= （） A5 B25 C4 D3 3已知向量，与垂直，则实数的 值为（） A1 BCD 1 4已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回 归直线的斜率估计值为2，且，则回归直线方 程为（） ABCD 5“ k=1”是“函数（k 为常数）在定义域上是奇函数”的 （） A充
2、分不必要条件B必要不充分条件 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 C充要条件D既不充分也不必要条件 6设 x0，3，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随 机取一个数 a，“ 2a100”的概率为（） ABCD 7 如图是某几何体的三视图， 则该几何体外接球的体积为 （） ABCD 8已知 a 2，若圆 O1：x 2+y2+2x2ay8a15=0 ，圆 O 2： x 2+y2+2ax2ay+a24a4=0 恒有公共点，则 a 的取值范围为 （） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 A （2， 13，+）B CD （2，1）（ 3，+） 9设 f（x）=x 2+ax+b （a，bR
3、） ，当 x1，1时，|f（x）| 的最大值为 m，则 m 的最小值为（） AB1 CD2 10已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2， 过 F2的直线交双曲线于P，Q 两点且 PQPF1，若|PQ|= |PF1|， ，则双曲线离心率e 的取值范围为（） A B C D 二、填空题（每题5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11=_ 12已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a3+a4=18a6a5，则 S8=_ 13设，则 a3=_ 14若 x，y 满足约束条件则的取值范围为 _ 15已知 a 为正整数， f（x）=ax 2+4ax2x+4a7，若 y=f（x） 至少有一个零
4、点x0且 x0为整数，则 a 的取值为 _ 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 三、解答题（本大题共6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ） 16已知在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 （）求角 A 的大小； （）若 a=2，ABC的面积为，求 b，c 17自 2014 年 1 月 26 日悄悄上线后，微信红包迅速流行开来， 其火爆程度不亚于此前的“打飞机”小游戏，数据显示，从除夕开 始至初一 16 时，参与抢微信红包的用户超过500 万，总计抢红 包 7500 万次以上小张除夕夜向在线的小王、小李、小明随机 发放微信红包，每次发1 个
5、（）若小张发放10 元红包 3 个，求小王恰得到2 个的概率； （）若小张发放4 个红包，其中5 元的一个， 10 元的两个， 15 元的一个， 记小明所得红包的总钱数为X，求 X 的分布列和期 望 18 如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD， PA=AD， 底面 ABCD为正方形， E为 DP 的中点， AFPC 于 F （）求证： PC平面 AEF； （）求二面角BACE的余弦值 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 19已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a3=6，S7=56，数列bn 前 n 项和为 Tn，且 2Tn3bn+2=0 （）求数列 an，b
6、n的通项公式； （）设，求数列 cn的前 n 项和 Qn 20 已知椭圆 C的中心在原点， 离心率为， 且与抛物线 有共同的焦点 （）求椭圆C 的标准方程； （）设椭圆 C 的左、右顶点分别为A1、A2，P为椭圆 C 上异于 A1、A2的动点，直线 A1P、A2P分别交直线 l：x=4 于 M、N 两点， 设 d 为 M、N 两点之间的距离，求d 的最小值 21已知函数 f（x）=e xax1 （）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为y=2x+b ， 求实数 a，b 的值； （）求 f（x）在0，+）上的最小值； （）证明： 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 参考答
7、案与试题解析 一、选择题：本大题共10 个小题，每小题5 分，共 50 分在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合，B=N，则集合 AB 的 真子集个数为（） A3 B4 C7 D8 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】解不等式求出集合A，进而得到集合AB 的元素个数， 最后由 n 元集合有 2 n1 个真子集得到答案 【解答】解：集合=，3，B=N， 集合 AB=1，2，3， 故集合 AB 的真子集个数为2 31=7 个， 故选： C 2 已知 z=2+i ，（i 是虚数单位）， z 的共轭复数是， 则= （） A5 B25 C4 D3 【考点】复数求模 【分析
8、】求出z 的共轭复数，代入求出的值即可 【解答】解： z=2+i ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 =2i， 则 =|（32（2+i） ） ? （2i）| =|（12i） ? （2i）| =|3i| =3， 故选： D 3已知向量，与垂直，则实数的 值为（） A1 BCD 1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】根据向量的坐标可以求出向量和的坐标， 根据与垂直便可得到，进行数量积的 坐标运算即可得出关于的方程，从而可解出的值 【解答】解：； ； ； 故选 C 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 4已知回归直线方程为，样本点的中心为，若回 归直线的斜率估计值为2，且，则回归直
9、线方 程为（） ABCD 【考点】线性回归方程 【分析】根据题意，求出、 ，代人回归直线方程求出，写出 回归直线方程即可 【解答】解：回归直线方程为的斜率估计值为2，且 ， =3，=5； 代人回归直线方程得=52 3=1， 回归直线方程为=2x1 故选： C 5“ k=1”是“函数（k 为常数）在定义域上是奇函数”的 （） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 【分析】函数（k 为常数）在定义域上是奇函数，则f （ x）+f（x）=0，化为： k 2=1，解出即可判断出结论 【解
10、答】解：函数（k 为常数）在定义域上是奇函数， 则 f（x）+f（x）=0， +=0， 化为： k 2（ex +e x ）=e x+ex， k 2=1， 解得 k= 1，经过验证，此时函数f（x）是奇函数 “ k=1”是“函数（k 为常数）在定义域上是奇函数”的充 分不必要条件 故选： A 6设 x0，3，执行如图所示的程序框图，从输出的结果中随 机取一个数 a，“ 2a100”的概率为（） 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 ABCD 【考点】程序框图 【分析】先分析程序的功能为计算并输出分段函数y= 的值，进而求出函数的值域，再由几何概型概率计算公式，得到 答案 【解答】解：由已知可
11、得该程序的功能是计算并输出分段函数 y=的值， 当 x0，2）时， y3，5） ， 当 x2，3时，y5，10， 故输出的结果的范围为3，10， 若从输出的结果中随机取一个数a，“ 2a100” ? a5，10， 则 P=， 故选： C 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 7 如图是某几何体的三视图， 则该几何体外接球的体积为 （） ABCD 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】由正四面体的棱长为a，所以此四面体一定可以放在棱 长为a 的正方体中， 所以此四面体的外接球即为此正方体的外 接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入体积公式计 算 【解答】解：由题意，由三视图
12、得该几何体是正四面体，棱长为 a，此四面体一定可以放在正方体中， 我们可以在正方体中寻找此四面体 如图所示，四面体ABCD满足题意， BC=a， 正方体的棱长为a， 此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 外接球的直径 =正方体的对角线长， 外接球的半径为R=a， 该几何体外接球的体积为V= R 3= a 3 故选： B 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 8已知 a 2，若圆 O1：x 2+y2+2x2ay8a15=0 ，圆 O 2： x 2+y2+2ax2ay+a24a4=0 恒有公共点，则 a 的取值范围为 （） A （2， 13，+）B CD （2，1）（ 3，+） 【考点】圆与
13、圆的位置关系及其判定 【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据两圆相交的 条件进行求解即可 【解答】解： 圆 O1： x 2+y2+2x2ay8a15=0 的标准方程为（x+1） 2+（ya）2=a2+8a+16 ， 圆心 O1（1，a） ，半径 R=|a+4|=a+4 ， 圆 O2：x 2+y2+2ax2ay+a24a4=0 的标准方程为（ x+a）2+（y a） 2=a2+4a+4 ， 圆心 O2（a，a） ，半径 R=|a+2|=a+2 ， 则圆心距离 |O1O2|=|a+1|=|a1|， 若两圆恒有公共点，则两圆相交或相切， 即 a+4（a+2）|O1O2|a+2+a+4 ， 美
14、好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 即 2|a1|2a+6， 若 a1，则不等式等价为2a12a+6， 即，即得 a3， 若 2a1， 则不等式等价为21a2a+6， 即，即，得a1， 综上a1 或 a3， 故选： C 9设 f（x）=x 2+ax+b （a，bR） ，当 x1，1时，|f（x）| 的最大值为 m，则 m 的最小值为（） AB1 CD2 【考点】二次函数的性质 【分析】 若 x1，1时，|f（x）|的最大值为 m，则 4m|f（ 1）|+|f（1）|+2|f（0）|2，解得 m 的最小值 【解答】解： f（x）=x 2+ax+b （a，bR） ， 当 x1，1时， |f（x
15、）|的最大值为m， 4m|f（1）|+|f（1）|+2|f（0）|=|1+A+B|+|1 A+B|+2|B| （1+A+B ）+（1A+B）2B|=2 m ， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 即 m 的最小值为， 故选： A 10已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2， 过 F2的直线交双曲线于P，Q 两点且 PQPF1，若|PQ|= |PF1|， ，则双曲线离心率e 的取值范围为（） A B C D 【考点】双曲线的简单性质 【分析】由 PQPF1，|PQ|= |PF1|，可得 |QF1|=|PF1|，由双 曲线的定义可得2a=|PF1|PF2|=|QF1|QF2|，解得 |PF1
16、|=，|PF2|=|PF1|2a，由勾股定理可得： 2c=|F1F2|=，代入化简 令 t=1 +，则上式 化为 8（ ） 2+ ，由 t 关于单调递减，可得t，即 ，由二次函数的单调性解出即可 【解答】解：可设P，Q 为双曲线右支上一点， 由 PQPF1，|PQ|= |PF1|， 在直角三角形PF1Q 中， |QF1|=|PF1|， 由双曲线的定义可得：2a=|PF1|PF2|=|QF1|QF2|， 由|PQ|= |PF1|，即有 |PF2|+|QF2|= |PF1|， 即为 |PF1|2a+|PF1|2a= |PF1|， （ 1 +）|PF1|=4a， 美好的未来不是等待，而是孜孜不倦的攀登。 解得 |PF1|= |PF2|=|PF1|2a=， 由勾股定理可得： 2c=|F1F2|=， 即有（） 2+ 2=4c2， 即为+=e 2 令 t=1 +，则上式化为e 2= =8（ ） 2+ ， 由 t=1 +=1+， 且 ， 由
