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1、3.4 信号的频域处理 3.4.1 系统的频率响应 3.4.2 信号的无失真传输条件 3.4.3 理想低通滤波器 3.4.4 实际模拟滤波器,信号处理方法：时域、复频域、频域。 线性时不变系统的响应零输入响应零状态响应 线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某个基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。,输入为零，仅由初始状态 产生的响应,初始状态为零，仅由输入信号 产生的响应,例如，若已知系统对基本信号 输入时的零状态 响应为 ，又已知输入 可以表示为,则输入为 时的零状态响
2、应为,时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。卷积积分 频域：信号分解为 的线性组合。 频率响应 复频域：信号分解为 的线性组合。 系统函数,3.1 线性时不变连续系统的时域数学模型微分方程,3.1.1 微分方程的建立,基尔霍夫定律（KCL、KVL） 元件的电压电流约束关系（VCR）,依据：,例：图示RLC串联电路中，e(t)为激励信号，输出响应为回路中的电流i(t) 。试求该电路中响应与激励的数学关系。,解：根据KVL，得,由元件VCR，有,二阶线性常系数微分方程，对应于一个二阶系统,对于一个n阶系统，设激励信号为x(t)，响应为
3、y(t)，可用一个n阶常系数线性微分方程来描述。,LTI系统的时域数学模型：,式中，an-1, ,a0和bm, ,b0均为常数，nm。,3.1.2 微分方程的求解,1、时域经典解法,齐次解为齐次微分方程 的解，其函数形式由微分方程的特征根决定。 齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应； 特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应。,全解：,齐次解,特解,例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为,试求系统的响应。,解：特征方程为,其特征根11，22。该方程的齐次解为,激励,，且a1与特征根1相同，故该方程的特解为,将特解代入微分
4、方程，比较方程两边系数可得C0=0 ，C1=1。 所以特解,因此方程的完全解为,代入初始条件,解得 C1=1 ，C2=1。从而系统的响应为,2、应用拉普拉斯变换法解微分方程,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。,思路：用拉普拉斯变换微分特性,s域的代数方程,t域的微分方程,零输入响应,零状态响应,y(t),若 在t = 0时接入系统，则,例.,某LTI系统由微分方程描述,求响应,解：对方程进行单边拉氏变换：,其中，第一项为强迫响应，其它为自然响应。,3.2 计算零状态响应的卷积方法,3.2.1 零输入响应和零状态响应,零
5、输入响应,完全响应：,零状态响应,零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态,所引起的响应。由于激励为零，故有,零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应 。在t=0-时刻激励尚未接入，故应有,零输入响应中，初始状态是指系统没加外部激励时系统的固有状态，反映的是系统以往的历史信息。,区别：,零状态响应的求解有经典法和卷积法。,例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为,，,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,由特征方程,有1= -2，2= -3。则齐次解,代入初始条件,解得C1=10 ，C2=10。于是零输入响应为,解：（1）求零输入响应yzi(t),当激励为零时，满足齐次方程,（
6、2）求零状态响应yzs(t),则方程的特解,由于齐次解为,则,由于激励为阶跃函数，在t=0时不会使系统发生突变，因此,，,解得C1=3 ，C2=2。于是零状态响应为,（3）全响应,由于激励,1. 定义：系统在单位冲激信号激励下的零状态响应，简称冲激响应，以h(t)表示.,2. 求解：用常系数微分方程描述的系统，其冲激响应满足,3.2.2 冲激响应,3. 特点：,4. 冲激响应在系统分析中的作用：,1).冲激响应由系统的特征根组成；,2).冲激响应的形式与齐次解的形式相同；,3).冲激响应中的待定系数由冲激函数平衡法决定；,4).冲激响应中可能含有冲激函数。,1).用冲激响应求解系统的零状态响应
7、；,2).h(t)可以表征系统本身的特性。,例1：已知某线性时不变系统的动态方程为：,试求系统的冲激响应h(t)。,解：由冲激响应定义，当,时，y(t)即为h(t),原动态方程为：,特征根s1 =-3，且nm,则冲激响应h(t)为：,其中，A为待定系数，将h(t)代入原方程式有：,筛选特性,解得A2，则系统的冲激响应为：,例2：已知某线性时不变系统的动态方程为：,试求系统的冲激响应h(t)。,解：由冲激响应定义，当,时，y(t)即为h(t),原动态方程为：,特征根s1 =-6，且n=m,为保持动态方程左右平衡，冲激响应h(t)必含 则冲激响应h(t)为：,其中，A、B为待定系数，将h(t)代入
8、原方程式有：,筛选特性,解得A16，B3。系统的冲激响应为：,总结：冲激响应h(t)中是否含冲激信号 及其高阶导数，是过观察动态方程右边的 的导数最高次与方程左边h(t)的导数次来决定。对于h(t)中的 项，其形式由特征方程的特征根来定。,方法二：拉普拉斯变换法,由于,对上式作拉氏逆变换，得系统的冲激响应为,方程两边取拉氏变换，得,3.2.3 用卷积积分计算零状态响应,1、连续时间信号的冲激表示,任一信号x(t)可用无限多个不同加权的冲激函数的“和”表示：,2、求解LTI系统零状态响应的卷积方法,原理：将信号分解为冲激信号的加权和，借助冲激响应，求解系统对任一信号的零状态响应。,卷积定义：,对
9、于任意两个信号f1(t)和f2(t),两者的卷积运算定义为,任意信号x(t)分解为单位冲激信号的线性组合,系统的冲激响应h(t),系统的时不变特性,线性特性的均匀性,卷积与零状态响应,即：yzs(t)等于x(t)与h(t)的卷积积分,线性特性的叠加性,在输入信号x(t)作用下，系统的零状态响应为输入信号与冲激响应的卷积积分。,3、卷积运算的性质,卷积的代数性质,交换律,交换律表示两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。在系统分析中，这意味着一个冲激响应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应与一个冲激响应为x(t)的LTI系统对输入h(t)的响应是一样的。,分配律用于系统分析，相当于
10、并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。,分配律,结合律,结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应，等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。,卷积的时移性质,时不变性质,与冲激函数的卷积,卷积的微积分性质,（1）卷积的微分,与冲激偶信号的卷积,（2）卷积的积分,特别地：,特别地：,与阶跃信号的卷积,与冲激信号 的卷积，等于x(t)本身； 与冲激偶信号 的卷积，等于x(t)的导数； 与阶跃信号 的卷积，等于x(t)的积分。,小结：x(t)与奇异信号的卷积,例1： 求,解： 根据时移性质和微积分性质，有,例2: 已知系统的冲激
11、响应,求输入 时的零状态响应yzs(t)。,解：,例3: 已知系统的冲激响应,求输入 时的零状态响应yzs(t)。,解：,3.3 系统函数,3.3.1 系统函数的定义,系统函数H(s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。,系统函数的来源,由描述系统输入输出关系的微分方程(零状态)产生 由时域卷积产生 由系统冲激响应产生 由s域电路模型产生（初始条件为0）,3.3.2 系统的三种描述方式,时域输入输出关系微分方程 经典法 时域的冲激响应h(t) 卷积法 s域的系统函数H(s) 拉氏变换,在这三种描述中，能够根据其中任一种
12、形式推导出另外两种形式。,例: 已知当输入x (t)= e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 y(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t)(t) 求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,解：,h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t),微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t),s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s),取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t),3.3.3 用系统函数计算系统的零状态响应,y(t)= h(t)*x(t),H(s)=
13、L h(t),Y(s)= H(s)X(s),X(s)= L x(t),零状态,根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。,我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响应的原函数。,例:,如图所示电路，激励信号,求电路的零状态响应u2(t)。,解:,令,1、系统函数的零、极点,LTI系统的系统函数是复变量s的有理分式，即,3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性,D(s)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(s)的极点；N(s)=0的根z1，z2，zm称为系统函数H(s)的
14、零点。,例:,将零极点画在复平面上得零、极点分布图。,由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为： 实数、共轭虚数、共轭复数,零点：z = -2,极点：p1 = -1, p2,3 = j,研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义: （1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。 （2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出
15、来。,2、系统函数H(s)与时域响应h(t),冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。,所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。,H(s)按其极点在s平面上的位置可分为: 在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。,（1）在左半开平面：衰减,若系统函数有负实单极点p= (0)，则N(s)中有因子(s+)，其所对应的响应函数为Ke-t(t),(b) 若有一对共轭复极点p1,2=-j0，则N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 K e-tcos(0 t+)(t),以上两种情况：当t时，响应均趋于0。,（2）在虚轴上 ：等幅,(a)单极点p=0，则响应为K(t) (b)共轭虚数极点p1,2=j 0 则
16、响应为 Kcos(0 t+)(t),（3）在右半开平面 ：均为递增函数。,正实单极点p= (0)，则响应为Ket(t),(b) 一对共轭复极点p1,2=j0 则响应为 K etcos(0 t+)(t),综合结论： LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。,H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t时，响应均趋于0。,H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。,H(s)在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t时，响应均趋于。,H(s)的极点的实部决定了冲激响应随时间的衰减或 增长情况。极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值 越大，冲激响应的衰减或增长越快，反之越慢。而极点 的虚部决定了冲激响应随时间的正弦振荡情况。当极点 距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值越大，冲激响应 正弦振荡的角频率越高，反之越低。,H(s)的零点分布影响冲激响应的幅度和相位，但不
