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1、4.4 三角函数的图象与性质 要点梳理 1.“五点法”作图原理:在确定正弦函数y=sin x 在0，2 上的图象形状时,起关键作用的五 个点是 、 、 、 、 .余弦函数呢？,(0,0),基础知识 自主学习,2.三角函数的图象和性质:,函,数,性,质,-1,1,-1,1,R,R,(kZ),(kZ),R,R,；,；,；,；,奇,奇,偶,奇,3.一般地对于函数f（x）,如果存在一个非零的常 数T，使得当x取定义域内的每一个值时,都有 f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期 函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有 周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数 的周期一般指最小正周期).
2、函数y=Asin( x+ ） 或y=Acos（ x+ ）（ 0且为常数）的周 期 函数y=Atan( x+ )( 0)的周期,基础自测 1.函数y=1-2sin xcos x的最小正周期为（ ） 解析,B,2.设点P是函数f(x)=sin x ( 0)的图象C的 一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的 最小值是 则f(x)的最小正周期是（ ） 解析 由正弦函数的图象知对称中心与对称轴 的距离的最小值为最小正周期的 故f（x）的 最小正周期为T=,B,3.函数y=sin 的图象（ ） A.关于点 对称 B.关于直线 对称 C.关于点 对称 D.关于直线 对称 解析 验证法：,A,4.在下列
3、函数中,同时满足以下三个条件的是( ) 在 上递减； 以 为周期； 是奇函数. A.y=tan x B.y=cos x C.y=-sin x D.y=sin xcos x 解析 y=tan x的周期为 ，故A错. y=cos x为偶函数，故B错. y=sin xcos x= sin 2x的周期为 ，故D错. y=-sin x的周期为2 ,是奇函数，由图象知 在 上是递减函数，故C正确.,C,5.（2009四川）已知函数f(x)=sin (xR)，下面结论错误的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期为2 B.函数f(x)在区间 上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x
4、)是奇函数 解析 A正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称，C正确. y=-cos x是偶函数，D错误.,D,题型一 与三角函数有关的函数定义域 求下列函数的定义域： （1）y=lgsin(cos x);(2)y= 本题求函数的定义域:(1)需注意对数 的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解； (2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零， 然后利用函数的图象或三角函数线求解. 解 (1)要使函数有意义,必须使sin(cos x)0. -1cos x1,0cos x1.,题型分类 深度剖析,方法一 利用余弦函数的简图得知定 义域为 方法二 利用单位圆中的余弦线OM,依题意 知0OM1
5、, OM只能在x轴的正半轴上， 其定义域为 （2）要使函数有意义，必须使sin x-cos x0.,方法一 利用图象.在同一坐标系中画出 0,2 上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示. 在0，2 内，满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、余弦函数的周期是2 , 所以定义域为,方法二 利用三角函数线，如图MN为正弦线， OM为余弦线， 要使sin xcos x,即MNOM，,方法三,(1)对于含有三角函数式的(复合)函数 的定义域，仍然是使解析式有意义即可. (2)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等 式(或等式). (3)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单 位圆中的
6、三角函数线和三角函数的图象，有时也 利用数轴.,知能迁移1 求下列函数的定义域：,解 (1)要使函数有意义,必须有,可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集，如图所示：,题型二 三角函数的单调性与周期性,（1）化为 再求单调区间;,(2)先化为 ,再求单调区间.,解,(1)求形如y=Asin( x+ )或y=Acos( x + ) (其中A0, 0)的函数的单调区间,可以通 过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是: 把“ x+ ( 0)”视为一个“整体”；A0(A0)时，所列不等式的方向与y=sin x(xR), y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相 同（反）. （
7、2）对于y=Atan( x+ ) (A、 、 为常数),其 周期 单调区间利用 解出x的取值范围,即为其单调区间.对于复合函 数y=f(v),v= (x)，其单调性判定方法是:若y=f(v) 和v= (x)同为增（减）函数时，y=f( (x)为增 函数；若y=f(v)和v= (x)一增一减时，y=f( (x) 为减函数.,知能迁移2 求函数 的单调区间. 解 方法一,、,方法二,题型三 三角函数的对称性与奇偶性 已知f(x)=sin x+ cos x（xR），函数 y=f(x+ )的图象关于直线x=0对称，则 的值可以 是 （ ） 先求出f(x+ )的函数表达式. f(x+ )关于x=0对称，
8、即f(x+ )为偶函数.,解析,答案 D,f(x)=Asin( x+ )若为偶函数,则当x= 0时，f(x)取得最大值或最小值. 若f(x)=Asin( x+ )为奇函数，则当x=0时，f(x)=0. 如果求f(x)的对称轴,只需令 x+ = 求x. 如果求f(x)的对称中心的横坐标， 只需令 x+ =k 即可.,知能迁移3 使奇函数f(x)=sin(2x+ )+ cos(2x+ ) 在 上为减函数的 的值为 ( ) 解析,D,题型四 三角函数的值域及最值 (12分)已知函数f(x)=2asin 的定义域为 函数的最大值为1,最小值为 -5,求a和b的值.,求出2x- 的范围,a0时，利用最值
9、求a、b,a0时，利用最值求a、b,解,3分,7分,11分,12分,解题示范,解决此类问题,首先利用正弦函数、余 弦函数的有界性或单调性求出y=Asin（ x+ ）或y=Acos（ x+ ）的最值,再由方程的思想解决问 题. 知能迁移4 （2009江西理，4）若函数f(x) =(1+ tan x)cos x,0 x ,则f(x)的最大 值为（ ） A.1 B.2 C. D. 解析,B,方法与技巧 1.利用函数的有界性(-1sin x1,-1cos x1), 求三角函数的值域（最值）. 2.利用函数的单调性求函数的值域或最值. 3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数 的正负号). 4.
10、正余弦函数的线性关系式都可以转化为f(x)= asin x+bcos x= 特别注意把,思想方法 感悟提高,5.注意sin x+cos x与cos xsin x的联系,令t= sin x+cos x (- t )时, 失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基 础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论 参数对最值的影响. 2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成 形如y=Asin（ x+ ）（ 0）的形式，再根 据基本三角函数的单调区间,求出x所在的区间. 应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考 虑.注意区分下列两题的单调增区间不同：,3.利用换元法求三角函数最值时注意三角
11、函数有 界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|1), 则y=(t-2)2+11,解法错误.,一、选择题 1.（2009福建）函数f(x)=sin xcos x的最 小值是（ ） 解析 f(x)=sin xcos x=,B,定时检测,2.(2009全国)如果函数y=3cos(2x+ )的 图象关于点 中心对称,那么|的最小值 为（ ） 解析 由y=3cos(2x+)的图象关于点,A,3.已知函数 在区间0，t上至少取得2次最 大值，则正整数t的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9 解析,C,4.已知在函数f(x)= 图象上,相邻的一个最大 值点与一个最小
12、值点恰好在x2+y2=R2上,则f（x）的 最小正周期为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 x2+y2=R2，x-R，R. 函数f（x）的最小正周期为2R，,D,5.（2009浙江）已知a是实数,则函数 f(x)=1+asin ax的图象不可能是（ ）,解析 图A中函数的最大值小于2，故0a1,而其 周期大于2 .故A中图象可以是函数f(x)的图象.图 B中，函数的最大值大于2,故a应大于1，其周期小 于2 ,故B中图象可以是函数f(x)的图象.当a=0时，f(x)=1,此时对应C中图象，对于D可以看出其最大值大于2，其周期应小于2 ,而图象中的周期大于 2 ，故D中图象不可能为函
13、数f(x)的图象. 答案 D,6.给出下列命题： 函数 是奇函数； 存在实数 ,使得 其中正确的序号为（ ） A. B. C. D.,解析 是奇函数； , 答案 C,二、填空题 7.,.,解析,答案,8.（2008辽宁）已知f(x)= 且f(x)在区间 上有最小值， 无最大值，则 . 解析 如图所示,答案,9.关于函数f（x）=4sin （xR）,有下列命 题： 由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是 的整数倍； y=f（x）的表达式可改写为 y=f（x）的图象关于点 对称； y=f（x）的图象关于直线 对称. 其中正确的命题的序号是 .（把你认为正 确的命题序号都填上） 解析 函数f
14、（x）= 的最小正周 期T= ，由相邻两个零点的横坐标间的距离 是 知错.,答案 ,三、解答题 10.设函数f(x)=sin(2x+)(- 0)，y=f(x)图象 的一条对称轴是直线 (1)求； （2）求函数y=f(x)的单调增区间. 解,11.（2008天津）已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x+1 (xR,0)的最小正周期是 . （1）求的值； （2）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取 得最大值的x的集合. 解,12.设函数f(x)=cos x ( sin x+cos x),其 中02. （1）若f(x)的周期为 ,求当 f(x)的值域； （2）若函数f(x)的图象的一条对称轴为 求的值. 解,返回,
