《清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理演示课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《清华微积分高等数学课件第八讲微分中值定理演示课件（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、30.10.2020,1,作业,P88 习题4.1 5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题: 4. 5.,复习：P8088 预习：P8995,30.10.2020,2,应用导数研究函数性态,局部性态 未定型极限 函数的局部近似,整体性态 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形,30.10.2020,3,微分中值定理，包括： 罗尔定理、拉格朗中值定理、 柯西中值定理、泰勒中值定理,微分中值定理是微分学的理论基础。是 利用导数研究函数性质的理论依据。,微分中值定理的共同特点是： 在一定的条件下，可以断定在所给区间 内至少有一点，使所
2、研究的函数在该点具有 某种微分性质。,30.10.2020,4,第八讲 微分中值定理,一、费尔马 ( Fermat )定理,二、罗尔 ( Rolle )定理,三、拉格朗日(Lagrange )定理,四、柯西 (Cauchy )定理,30.10.2020,5,一、费尔马 ( Fermat )定理,（一）极值的定义：,30.10.2020,6,极值的研究是微积分产生的主要动力之一,30.10.2020,7,（二）费尔马定理 (极值必要条件),30.10.2020,8,30.10.2020,9,证,30.10.2020,10,30.10.2020,11,微分中值定理的引入,30.10.2020,12
3、,30.10.2020,13,30.10.2020,14,30.10.2020,15,二、罗尔 ( Rolle )定理,30.10.2020,16,怎样证明罗尔定理 ？,先利用形象思维 去找出一个C点来！,想到利用闭区间上连续函数 的最大最小值定理！,30.10.2020,17,罗尔定理的证明：,30.10.2020,18,30.10.2020,19,三、拉格朗日(Lagrange )定理,30.10.2020,20,怎样证明拉格朗日定理 ？,拉格朗日定理若添加条件:,则收缩为罗尔定理；,罗尔定理若放弃条件:,则推广为拉格朗日定理。,知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探 索的新问题转化为已掌握的
4、老问题。,因此想到利用罗尔定理！,30.10.2020,21,满足罗尔定理条件,弦线与f(x)在端点处相等,设,函数,30.10.2020,22,拉格朗日定理的证明：,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,30.10.2020,23,拉格朗日公式各种形式,有限增量公式,30.10.2020,24,30.10.2020,25,推论1：,证,30.10.2020,26,推论2：,推论3：,推论4：,30.10.2020,27,四、柯西 (Cauchy )定理,30.10.2020,28,柯西中值定理的证明：,构造辅助函数,30.10.2020,29,费尔马定理,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,30.1
5、0.2020,30,零点问题,以下证明恰好有三个根,该方程实根个数 就是两条曲线,30.10.2020,31,首先证明至少有三个根,计算表明,根据介值定理,因此方程至少有三个根,然后证明方程最多有三个根,用反证法,30.10.2020,32,根据洛尔定理,矛盾！,综上所述，方程恰好有三个实根,35,30.10.2020,33,直观观察可以启发思路,所以最小值一定在区间内部达到,30.10.2020,34,证,30.10.2020,35,证明思路直观分析,例3,30.10.2020,36,证,根据连续函数的最大最小值定理,30.10.2020,37,证,30.10.2020,38,44,30.10.2020,39,证,30.10.2020,40,30.10.2020,41,证,30.10.2020,42,30.10.2020,43,30.10.2020,44,证,30.10.2020,45,30.10.2020,46,证,30.10.2020,47,30.10.2020,48,30.10.2020,49,证,30.10.2020,50,30.10.2020,51,
