《2021届高中数学知识过关学案（文理通用）模块二数列（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高中数学知识过关学案（文理通用）模块二数列（原卷版）（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学辅导课程模块二 数列基础知识扫描高中通用版(教师版)目录第一节数列的概念与简单表示法1【知识一】数列及其有关概念1【知识二】通项公式2【知识三】递推公式5【知识四】数列的表示8第二节等差数列10【知识五】等差数列的概念10【知识六】等差数列的通项公式11【知识七】等差中项13【知识八】等差数列的常用性质15【知识九】等差数列前n项和公式17【知识十】数列中an与Sn的关系22【知识十一】等差数列前n项和的最值23【知识十二】求数列|an|的前n项和25【小结】如何判断一个数列是等差数列26第三节 等比数列27【知识十三】等比数列的概念27【知识十四】等比数列的通项公式28【知识十五】等
2、比中项的概念30【知识十六】等比数列的性质32【知识十七】等比数列的前n项和35【知识十八】等比数列前n项和的性质及应用38第四节 数列求和41【知识十九】公式法求和41【知识二十】分组求和法42【知识点二十】奇偶并项求和法43【知识二十一】倒序相加法求和44【知识二十二】错位相减求和46【知识二十三】裂项求和47【数学素养提升思考】50第五节 数列求通项51【知识二十四】归纳法求通项51【知识二十五】公式法求通项52【知识二十六】累加法求通项52【知识二十七】累积法求通项53【知识二十八】Sn法（项和互化求通项）53【知识二十九】构造法求通项54【知识三十】周期性、取对数、倒数法求通项方法5
3、6第六节 数列模块复习59一、数列复习练习巩固提升64二、数列模块检测试卷67第一节数列的概念与简单表示法【知识一】数列及其有关概念1.按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项.2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an.【例如】数列1,2,3,4,5 数列3,2,1,4,5 数列1，1，1，1，1，3.数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集1，2，_n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照
4、从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.4.数列的分类(1)按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.【例1】下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A.1， B.1，2，3，4，C.1， D.1，【练习1】下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2 010,2 012,2 01
5、4,2 016,2 018； (2)0，；(3)1，； (4)，；(5)1,0，1，sin ，； (6)9,9,9,9,9,9.【练习2】下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3，可以表示为nC.数列0,1,0,1，是常数列 D.数列是递增数列【知识二】通项公式通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。【例如】：1 ，2 ，3 ，4，5 ， 数列的通项公式是= （），： 数列的通项公式是= （）。【温馨提醒】往往数列也可以用通项公式来表示数列：例如n,.表示数列，表示数列中的第项，= 表
6、示数列的通项公式注数列是一个特殊的函数，自变量为项数，因变量是数列的项数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值，通常用来代替，其图象是一群孤立点。同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。（例如：数列-1,1，-1,1， 的通项公式 = =） 不是每个数列都有通项公式。（例如，1，1.4，1.41，1.414，）【例2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(
7、1)1，； (2)，2，8； (3)9,99,999,9 999； (4)2,0,2,0.【反思】要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.【练习1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)，； (2)，；(3)7,77,777,7 777. （4）【练习2】数列1,3,6,10，的一个通项公式是()A.ann2n1 B.an C.an D.ann21【练习3】数列，的第10项是()A. B. C. D.【思考3】如图1是第
8、七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为().A.ann，nN* B.an，nN* C.an，nN* D.ann2，nN*【例3】（通项公式的应用）已知数列an的通项公式an，nN*.(1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项;(3)求； (4)求.反思在通项公式anf(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，
9、若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.【练习1】已知数列an的通项公式an.(1)，是不是该数列的项？如果是，是第几项？(2)从第几项开始，该数列的项大于？【练习2】已知数列，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是该数列中某一项值的数应当有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思考【例4】已知数列，nN*.(1)求证：该数列是递增数列；(2)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.【练习1】判断数列的增减性.【练习2】在数列an中，ann(n8)20，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？
10、若有，求出最小值；若无，请说明理由.【方法小结】1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.(2)可重复性：数列中的数可以重复.(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关.2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，它没有通项公式.根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征.并对此进行联想、转化、
11、归纳.3.如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.【知识三】递推公式【递推公式】如果已知数列an的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式（例如：数列1,2,4,8，的第n项an与第n1项an1的递推公式是）【温馨提醒】(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式.(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项.【例1】数列1,3,6,10,15
12、，的递推公式是()A.an1ann，nN* B.anan1n，nN*C.an1an(n1)，nN* D.anan1(n1)，nN*，n2【练习1】两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 （ ）ABCD【例2】（周期数列问题）（1）设数列an满足写出这个数列的前5项.（2）
13、若数列an满足a12，an1，求a2 018.【反思】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否有规律性.【练习1】数列xn中，若x11，xn11，则x2 018_.【练习2】已知数列an中，a11，a22，an2an1an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 018项？【例3】（由递推公式求通项问题）(1)对于任意数列an，等式：a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an(n2，nN*)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，an1an2，求通项an；(2)若数列an中各项均不为零，则有a1an(n2，nN*)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列an满足：a11，(n2，
