《第2章热点探究课1导数应用中的高考热点问题含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章热点探究课1导数应用中的高考热点问题含答案（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 章热点探究课 1 导数应用中的高考热点问题 命题解读 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的 重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、 求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、 数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有 热点 1利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板 ) 函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因 此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数
2、的单调性或求单调区间；(2) 求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围 (本小题满分12 分)已知函数 f(x)ln xa(1x) (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于2a2 时，求 a 的取值范围 对点训练1已知函数f(x) x3ax2xc，且 af 2 3 . (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)设函数 g(x)(f(x)x3) e x，若函数 g(x)在 x 3,2上单调递增，求实数c 的取值范围 热点 2利用导数研究函数的零点或曲线交点问题 研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们
3、可以通过讨论函数的单调性来解决，求 解时应注重等价转化与数形结合思想的应用，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数； (2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围 设函数 f(x)x3ax2bxc. (1)求曲线 yf(x)在点 (0，f(0)处的切线方程； (2)设 ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围 对点训练2设函数 f(x)ln xm x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)f(x) x 3零点的个数 热点 3利用导数研究不等式问题 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解
4、答题的形式考查，难度较大，属中高档 题归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题 ? 角度 1证明不等式 设函数 f(x) e2xaln x. (1)讨论 f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a 0时， f(x) 2aaln 2 a. ? 角度 2不等式恒成立问题 已知函数f(x)(x1)ln x a(x1) (1)当 a4 时，求曲线yf(x)在(1， f(1)处的切线方程； (2)若当 x(1， ) 时， f(x)0，求 a 的取值范围 ? 角度 3存在型不等式成立问题 设函数 f(x) aln x1 a 2 x2bx(a1
5、) ，曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率为 0. (1)求 b；(2)若存在 x01 ，使得 f(x0)0，所以 f(x)在(0， ) 上单调递增 .3 分 若 a0，则当 x 0，1 a 时， f(x)0；当 x 1 a， 时， f( x)0 时， f(x)在 x1 a取得最大值，最大值为 f 1 a ln 1 a a 1 1 a ln aa1.9 分 因此 f 1 a 2a2 等价于 ln aa10.10 分 令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0， ) 上单调递增，g(1)0. 于是，当0a1 时， g(a)1 时， g(a)0. 因此， a 的取值范围是 (0,1)
6、.12 分 答题模板 讨论含参函数f(x)的单调性的一般步骤 第一步：求函数f(x)的定义域 (根据已知函数解析式确定) 第二步：求函数f(x)的导数 f(x) 第三步：根据f(x)0 的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论 第四步：求解(令 f(x)0 或令 f(x)0) 当 a0 时， f(x)0， f(x)没有零点；当a0 时，设 u(x)e2x，v(x) a x， 3 分 因为 u(x)e2x在(0， ) 上单调递增，v(x) a x在(0， ) 上单调递增， 所以 f(x)在(0， ) 上单调递增又f(a)0，当 b 满足 0ba 4且 b 1 4时， f( b)0 时， f(x)
7、存在唯一零点.5 分 (2)证明：由 (1)，可设 f(x)在(0， ) 上的唯一零点为x0，当 x (0， x0)时， f(x)0.故 f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0， ) 上单调递增， 所以当 xx0时， f(x)取得最小值，最小值为 f(x0).9 分 由于 2e2x0 a x0 0，所以 f(x 0) a 2x02ax 0aln 2 a2 aaln 2 a. 故当 a0 时， f(x) 2 aaln 2 a.12 分 ? 角度 2不等式恒成立问题 已知函数f(x)(x1)ln x a(x1) (1)当 a4 时，求曲线yf(x)在(1， f(1)处的切线方程； (2)若当
8、x(1， ) 时， f(x)0，求 a 的取值范围 规范解答 (1)f(x)的定义域为 (0， ).1分当 a4 时， f(x)(x1)ln x 4(x1)，f(1)0， f(x)ln x1 x3，f(1) 2.3 分 故曲线 y f(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy 20. 5 分 (2)当 x(1， ) 时， f(x) 0 等价于 1 )1( ln x xa x0. 设 g(x) 1 )1( ln x xa x， 则 g(x) 2 2 2 )1( 1)1(2 ) 1( 21 xx xax x a x ， g(1)0. 9 分 当 a2, x(1,) 时,x22(1a)x1 x2 2
9、x10,故 g(x)0,g(x)在(1,) 单调递增 ,因此 g(x)0； 当 a2 时，令 g(x)0 得 x1a1 1) 1( 2 a，x2a11)1( 2 a. 由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时， g( x) 0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)0. 综上， a 的取值范围是 ( ，2.12 分 ? 角度 3存在型不等式成立问题 设函数 f(x) aln x1 a 2 x2bx(a1) ，曲线 yf(x)在点 (1，f(1)处的切线斜率为 0. (1)求 b；(2)若存在 x01 ，使得 f(x0)0，f(x)在(1， ) 单调递增 所以，存在x
10、01 ，使得 f(x0) a a1的充要条件为 f(1) a a 1 ，即 1a 2 1 a a1 ，解得21a21.7 分 若 1 2a1，故当 x 1， a 1a 时， f(x)0， f(x)在 1， a 1a 上单调递减，在 a 1a， 上单调递增 .9 分 所以存在x01 ，使得 f(x0) a a1的充要条件为 f a 1a a a1，所以不合题意 若 a1，则 f(1)1a 2 1 a1 2 a a1恒成立，所以 a1. 综上， a 的取值范围是 (21，21)(1， ).12分 热点探究训练 (一) 导数应用中的高考热点问题 1设函数f(x) 3x2ax ex (aR) (1)若
11、 f(x)在 x0 处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y f(x)在点 (1，f(1)处的切线方程； (2)若 f(x)在3， ) 上为减函数，求a 的取值范围 规范解答 (1)对 f(x)求导得 f(x) xx xx e axax e eaxxeax)6(3 )( )3()6( 2 2 2 .2 分 因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以f(0)0，即 a0. 当 a0 时， f(x) 3x2 e x，f(x) 3x26x e x，故 f(1) 3 e，f(1) 3 e， 从而 f(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为y 3 e 3 e(x 1)，化简得 3xey0.5 分 (2)由
12、(1)知 f(x) x e axax)6(3 2 ，令 g(x) 3x2(6a)xa， 由 g(x)0 解得 x1 6aa236 6 ，x2 6aa 236 6 .7 分 当 xx1时， g(x)0，即 f( x)0，故 f(x)为减函数；当x1x0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数； 当 xx2时， g(x)0，即 f( x)0，故 f(x)为减函数 .9 分 由 f(x)在3， ) 上为减函数，知x26a a236 6 3 ，解得 a 9 2. 故 a 的取值范围为9 2， .12 分 2已知函数f(x)e x(x2axa)，其中 a 是常数 (1)当 a1 时，求曲线yf(x)在点
13、(1，f(1)处的切线方程； (2)若存在实数k，使得关于x 的方程 f(x)k 在0， ) 上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围 规范解答 (1)由 f(x)e x(x2axa)可得 f( x)exx2(a2)x.2 分当 a 1时， f(1) e，f(1) 4e. 所以曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为：ye4e(x1)，即 y4ex3e.5分 (2)令 f(x)exx2(a2)x0，解得 x (a2)或 x0.6 分 当 (a2)0 ，即 a 2 时，在区间 0， ) 上， f(x) 0 ，所以 f(x)是0， ) 上的增函数， 所以方程f(x)k 在0， ) 上不可能
14、有两个不相等的实数根.8 分 当 (a2)0，即 a 2 时， f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x 0(0， (a2)(a2)(a 2)， ) f(x)00 f(x)a a4 ea 2 由上表可知函数f(x)在0， ) 上的最小值为f(a2)a4 e a2. 因为函数f(x)是(0， (a 2)上的减函数，是(a 2)， ) 上的增函数， 且当 x a 时，有 f(x) e a(a) a，又 f(0) a. 所以要使方程f(x) k 在0， ) 上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 a4 e a2， a .12 分 3已知函数f(x)(x2)e xa(x 1)2. (1)讨
15、论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求a 的取值范围 规范解答 (1)f(x)(x1)e x2a(x1)(x1)(ex2a).1 分 ()设 a0 ，则当 x( ，1)时， f(x)0；当 x(1， ) 时， f(x)0. 所以 f(x)在( ，1)上单调递减，在(1， ) 上单调递增 .3 分 ()设 a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a) 若 a e 2，则 f( x)(x1)(ex e)，所以 f(x)在( ， ) 上单调递增 若 a e 2，则 ln(2a)1,故当 x(,ln(2a) (1,) 时,f( x) 0；当 x(ln( 2a),1)时,f(x)0
16、. 所以 f(x)在( ，ln(2a)，(1， ) 上单调递增，在(ln( 2a)，1)上单调递减 .5 分 若 a e 2，则 ln(2a)1,故当 x(,1) (ln(2a),) 时,f( x) 0；当 x(1,ln( 2a)时,f(x)0. 所以 f(x)在( ，1)， (ln(2a)， ) 上单调递增，在(1， ln(2a)上单调递减 .7 分 (2)( )设 a0，则由 (1)知， f(x)在( ，1)上单调递减，在(1， ) 上单调递增又f(1) e，f(2)a， 取 b 满足 b0 且 bln a 2，则 f(b) a 2(b2)a(b 1) 2a b23 2b 0，所以 f(x)有两个零点 .9 分 ()设 a0，则 f(x) (x 2)ex，所以 f(x)只有一个零点 ()设 a0，若 a e 2，则由 (1)知， f(x)在(1， ) 上单调递增又当 x1时 f(x)0，故 f(x)不存在两个零 点；若 a e
