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1、带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题的研究 对于带电粒子在匀强电场和匀强磁场中运动问题，如果按初速度可分为两大 类：一是带电粒子由静止释放； 二是带电粒子以某一初速度进入复合场。对于第 二类又可分为三小类：（1）速度恰好为某一值时做匀速直线运动， （2）速度比临 界速度大， （3）速度比临界速度小。如果按轨迹可分为两类：一是直线，二是摆 线。 一、 带电粒子由静止释放 1、建立模型 如图所示，一带电粒子质量为m， 电量为 q，匀强电场 E 和匀强 磁场 B 正交，粒子由静止释放。 2、运动分析 设开始时粒子向左和向右各个一个初速度 0 v，且 0 BqvEq，则带电粒子 的运动可分解为两个运
2、动的合成。水平方向为速度为 0 v的匀速直线运动，竖 直 方 向 为 线 速 度 为 0 v的 匀 速 圆 周 运 动 。 其 中 轨 迹 的 最 大 高 度 为 2 2 2 m mE HR B q ，最大速度为 0 2 2 m E vv B 周期为 2 m T qB 3、运动轨迹 050100150200250300350400 20 15 10 5 0 Y X 二、定量研究 1运动的微分方程 由带电粒子的受力分析图可知粒子在水平与竖直方向上的微分方程如下： Bq xy m Bq ygx m & & & & ，初始值为 (0)(0)0 (0)(0)0 xy xy& 根据拉普拉斯变换可知 x
3、y o B 2 2 11/ (0) (0)(0) (0) (0)(0) Ls L xsXx L xs Xsxx L ysYy L ys Ysyy & & & & & & ，代入初始值得 2 2 / L gg s L xsX L xs X L ysY L ys Y & & & & & & 将上式代入得 2 2 Bq s XsY m gBq s YsX sm 上式的解为 2 2 22 2 22 1/ () 1 () mgm gBq mg X Bq Bq sBq s m m gs Y Bq Bqs s m 将上式查拉普拉斯反演表得 2 22 2 22 sin() 1 cos() mgm gBq xt
4、t BqB qm m gBq yt B qm 将上式对时间求一阶导数得 1cos() sin() x y mgBq vt mqm mgBq vt mqm 当带电粒子运动到最低点时竖直速度0 y v，水平速度 2 x mg v Bq ，竖直高度 2 22 2m g h B q 2 运动图象 利用 MathCAD 结合带电粒子的运动参数方程可作出其运动轨迹图象与速度变化 图象 0100200300400 20 10Y X 05101520253035 10 10 20 V1i V2i ti 上图中对应的参数 2 1 ,1 ,10/,1BT qC gm smkg，, 1 , 2 ii X Y vv分
5、别表示带电 粒子的水平与竖直位移， 水平与竖直速度，由其轨迹特点可知其轨迹为一条摆线。 三、带电粒子以某一初速度进入复合场（仅讨论水平初速度） 1、当 0 EqBqv时，带电粒子做匀速直线运动 2、当 0 EqBqv时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。其中水平 速度为 0 vvV，且有 0 ()Bq vvEqV，水平方向上做匀速直线运动速度为 E B ，竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为 0 E v B ，其中轨迹的最大高 度为 0 2 22() m mvmE HR B qBq ，最大速度为 0 2 m E vv B ，周期为 2 m T qB ， 轨迹如下图 05010015020
6、0250300350400 4 3 2 1 0 Y X 3、当 0 EqBqv时，带电粒子的运动也可分解为两个运动的合成。其中水平 速度为 0 vvV，且有 0 ()Bq vvEqV，水平方向上做匀速直线运动速度为 E B ， 竖直平面内做匀速圆周运动，其线速度为 0 E v B ，其中轨迹的最大高度为 0 2 22() m mvmE HR BqB q ，最小速度为 0 2 m E vv B ，周期为 2 m T qB ，轨迹 如下图 050100150200250300350400450 0 5 10 15 20 Y X 四、归纳总结 1、带电粒子在复合场中的运动轨迹可能为直线，可能为摆线。 2、当轨迹为摆线时，其运动周期为定值，带电粒子和磁场有关。 3、如果是重力场和匀强磁场，则可以用, mg mgE q E q 效效 来替换文章 中的匀强电场 E 即可。
