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1、2013 西城高三一模数学理科第 1 页 共 9 页 北京市西城区2013 年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4 第卷 （选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知全集UR，集合|02Axx， 2 |10Bx x，那么UABe （A）|01 xx（B ）|01xx（C） |12xx（D ）|12xx 2若复数 i 2i a 的实部与虚部相等，则实数a （A）1（ B）1（C）2（D）2 3执行如图所示的程序框图若输出 3y ，则输入角 （A） 6 （B） 6 （C） 3 （D） 3 4从甲、乙等
2、5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项若甲、乙二 人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有 （A）60种（B）72种（C）84种（ D）96种 5某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视 图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是 （A）63（B）123 （C）12 2 3（D）242 3 6等比数列 n a中， 1 0a，则“ 13 aa”是“ 36 aa”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7已知函数 22 ( )log2log ()f xxxc，其中0c若对于任意的(0,)x，都有( )1f
3、 x，则c的取 值范围是 （A） 1 (0, 4 （B） 1 ,) 4 （C） 1 (0, 8 （ D） 1 ,) 8 8如图，正方体 1111 ABCDABC D中，P为底面ABCD 上的动点， 1 PEAC于E，且PAPE，则点P的轨迹是 2013 西城高三一模数学理科第 2 页 共 9 页 （A）线段（B）圆弧（ C）椭圆的一部分（D）抛物线的一部分 第卷 （非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9已知曲线C的参数方程为 2cos 12sin x y （为参数），则曲线C的直角坐标方程为 10设等差数列 n a的公差不为0，其前n项和是 n
4、S若 23 SS，0 k S，则k_ 11如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AC DB _ 12如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC 切圆O于点C，CDOP于D若6CD，10CP， 则圆O的半径长为 _；BP_ 13在直角坐标系xOy中，点B与点( 1,0)A关于原点O对称 点 00 (,)P xy在抛物线 2 4yx上，且直线AP与BP的斜率之积等于2，则 0 x_ 14记实数 12 , n x xx中的最大数为 12 max , n x xx，最小数为 12 min, n x xx. 设ABC的三边边长 分别为, ,a b c，且abc，定义ABC的倾斜度为max ,
5、 min, a b ca t b c ab , b c c a （）若ABC为等腰三角形，则t_； （）设1a，则t的取值范围是_ 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分13 分） 已知函数( )sincosf xxax的一个零点是 4 （）求实数a的值； （）设( )( )()2 3sincosg xf xfxxx，求( )g x的单调递增区间 16 （本小题满分13 分） 某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下： 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测 （）求从甲组抽取的同学中
6、恰有1名女同学的概率； （）记X为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望 2013 西城高三一模数学理科第 3 页 共 9 页 17 （本小题满分14 分） 在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB/CD，BCAB2， 60ABC，ACFB （）求证：AC平面FBC； （）求BC与平面EAC所成角的正弦值； （）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？ 证明你的结论 18 （本小题满分13 分） 已知函数( )lnf xaxx，( )e3 ax g xx，其中aR （）求)(xf的极值； （）若存在区间M，使)(xf和( )g x在区间
7、M上具有相同的单调性，求a的取值范围 19 （本小题满分14 分） 如图， 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭 圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60 （）求该椭圆的离心率； （）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别 交于,D E两点记GFD的面积为 1S，OED（O为原点） 的面积为 2 S，求 1 2 S S 的取值范围 20 （本小题满分13 分） 已知集合 * 12 |(,),1,2, (2) nni SX Xx xxxinnN 对于 12 ( ,) n Aa aa， 12 ( ,) nn Bb bbS，定
8、义 1122 (,) nn ABba baba； 1212 (,)(,)() nn a aaaaaR；A与B之间的距离为 1 ( ,)| n ii i d A Bab （）当5n时，设 5 (1 ,2,1,2,)Aa，(2,4,2,1,3)B若( ,)7d A B，求 5 a； （） （）证明：若, , nA B CS ，且0，使ABBC，则( ,)( ,)( , )d A Bd B Cd A C ； （）设, , n A B CS，且( , )( , )( ,)d A Bd B Cd A C是否一定0，使ABBC？ 说明理由； （）记(1 ,1,1) n IS若A， n BS，且( , )(
9、 , )d I Ad I Bp，求( , )d A B的最大值 2013 西城高三一模数学理科第 4 页 共 9 页 北京市西城区2013 年高三一模试卷 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1 B； 2A； 3D； 4B； 5C； 6B； 7D； 8A 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9 22 230 xyy； 105； 11 3 2 12 15 2 ，5； 1312； 141， 15 1,) 2 注： 12、14 题第一问2 分，第二问3 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.
10、若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分） （）解：依题意，得 ( )0 4 f，,1 分 即 22 sincos0 4422 a a，,3 分 解得 1a ,5 分 （）解：由（）得( )sincosf xxx,6 分 ( )( )()2 3sin cosg xf xfxxx (sincos )( sincos )3sin2xxxxx,7 分 22 (cossin)3sin2xxx,8 分 cos23sin2xx,9 分 2sin(2) 6 x,10 分 由 2 22 262 kxk，得 36 kxk，kZ,12 分 所以( )g x的单调递增区间为
11、, 36 kk，kZ,13 分 16 （本小题满分13 分） （）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为(3 5):(22)2:1，,1 分 所以，从甲组抽取的学生人数为 2 32 3 ；从乙组抽取的学生人数为 1 31 3 ,2 分 设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A，,3 分 则 11 35 2 8 CC15 ( ) C28 P A，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为 15 28 ,5 分 （）解：随机变量X的所有取值为0,1,2,3,6 分 2013 西城高三一模数学理科第 5 页 共 9 页 21 52 21 84 CC5 (0) CC28 P X ， 11121
12、35252 2121 8484 CCCCC25 (1) CCCC56 P X ， 21111 32352 2121 8484 CCCCC9 (2) CCCC28 P X ， 21 32 21 84 CC3 (3) CC56 P X ,10 分 所以，随机变量X的分布列为 : X 0 12 3 P 5 28 25 56 9 28 3 56 ,11 分 525935 0123 285628564 EX,13 分 17 （本小题满分14 分） （）证明：因为BCAB2，60ABC ， 在ABC中，由余弦定理可得BCAC3， 所以BCAC,2 分 又因为ACFB， 所以AC平面FBC,4 分 （）解：
13、因为AC平面FBC，所以FCAC 因为FCCD，所以FC平面ABCD,5 分 所以,CA CF CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyzC ,6 分 在等腰梯形ABCD中，可得CBCD 设1BC，所以 3131 (0,0,0), ( 3,0,0), (0,1 ,0),(,0),(,1) 2222 CABDE 所以)1 , 2 1 , 2 3 (CE，)0 ,0 ,3(CA，)0, 1 ,0(CB 设平面EAC的法向量为= ()x,y,zn，则有 0, 0. CE CA n n 所以 31 0, 22 30. xyz x 取1z，得n(0,2,1),8 分 2013 西城高三一模数学理科
14、第 6 页 共 9 页 设BC与平面EAC所成的角为，则 |2 5 sin|cos,| 5| CB CB CB n n n ， 所以BC与平面EAC所成角的正弦值为 5 52 ,9 分 （）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC证明如下：,10 分 假设线段ED上存在点Q，设), 2 1 , 2 3 (tQ)10(t，所以), 2 1 , 2 3 (tCQ 设平面QBC的法向量为m),(cba，则有 0, 0. CB CQ m m 所以 0, 31 0. 22 b abtc 取1c，得m)1 , 0, 3 2 (t,12 分 要使平面EAC平面QBC，只需0nm，,13 分 即 2
15、00 2 1 10 3 t， 此方程无解 所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC,14 分 18. （本小题满分13 分） （）解：( )f x的定义域为(0,)，,1 分 且 11 ( ) ax fxa xx ,2 分 当0a时，( )0fx，故( )f x在(0,)上单调递减 从而)(xf没有极大值，也没有极小值,3 分 当0a时，令( )0fx，得 1 x a ( )f x和( )fx的情况如下： x 1 (0,) a 1 a 1 (,) a ( )fx 0 ( )f x 故( )f x的单调减区间为 1 (0, ) a ；单调增区间为 1 (,) a 从而)(xf的极小值为 1 ( )1 lnfa a ；没有极大值,5 分 （）解：( )g x的定义域为R，且( )e3 ax g xa,6分 2013 西城高三一模数学理科第 7 页 共 9 页 当0a时，显然( )0g x，从而( )g x在R上单调递增 由（）得，此时( )f x在 1 (,) a 上单调递增，符合题意,8 分 当0a
