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1、东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测 高三数学（理科） 学校_ 班级_姓名_考号_ 本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1 至 2 页，第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 选择题部分（共40 分） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 Ax|1621 x ，Bx|x 22x30，则 A(CRB) A(1，4) B(3，4) C(1，3) D(1，2) 2已知 i 是虚数单位，若),i1(zi
2、3则 z= A12i B2i C2i D12i 3设 aR，则“ a-2”是“直线 l1：ax2y10 与 直线 l2：x(a1)y40 平行”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4将函数sin(2)yx的图象沿 x轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的 图象，则的一个可能取值为 A. 3 4 B. 2 C. 4 D. 4 5设 a，b 是两个非零向量则下列命题为真命题的是 A若| ab| | a| | b| ，则 ab B若 ab，则| ab|a| |b| C若|ab| | a| | b| ，则存在实数 ，使得 a b D若存在实数 ，使得 a b
3、，则| ab| | a| b| 6某几何体的一条棱长为 7 ，在该几何体的正视图中， 这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a和b的 线段，则 ab 的最大值为 A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 7 已知抛物线 1 C： 2 1 2 yx p (0)p的焦点与双曲线 2 C ： 2 2 1 3 x y的右焦点的 连线交1C于第一象限的点M, 若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近 线，则 p A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 8设 a0，b0 A若2223 ab ab，则 ab B若2 223
4、ab ab，则 ab C若2 223 ab ab，则 ab D若2223 ab ab，则 ab 非选择题部分（共110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9记等差数列 n a 的前 n 项和为 n S ，已知 244 6,10aaS . 则_a10 10如图，PA与圆O相切于A，不过圆心O的割线PCB与 直径AE相交于D点. 已知BPA= 0 30，2AD， 1PC, 则圆O的半径等于 11. 若函数( ) x f xkxe有零点，则 k 的取值范围 为_. 12已知圆的方程为086 22 yxyx, 设该圆过点（ 3，5）的最长弦和最短 弦分别为 AC和 BD
5、 ，则四边形 ABCD 的面积为 _. 13已知 2 3 1 (1) n xxx x 的展开式中没有 常数项，n * N，且 2 n 7， 则 n=_ 14设 a R，若 x0 时均有 (a1)x1( x 2ax1)0， 则 a_ 三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15(本小题满分 13 分) 设ABC的内角ABC， ，所对的边长分别为abc， ， 且 3 coscos 5 aBbAc （）求 tanB tanA 的值； （）求tan()AB的最大值 16(本小题满分 13 分) 某绿化队甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5
6、 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组 中共抽取 3 名工人进行技能考核 . （I）求从甲、乙两组各抽取的人数； （II）求从甲组抽取的工人中至少1 名女工人的概率； （III）记表示抽取的 3 名工人中男工人数，求的分布列及数学期望 . 17(本小题满分 14 分) 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD， 2AB. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M， 交PC于点N. （）求证：平面ABM平面PCD； （）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值； （）求点N到平面ACM的距离 . 18.
7、（本小题满分 14 分） 已知函数 1 ( )ln(1),0 1 x fxaxx x ，其中0a 若( )fx在 x=1处取得极值，求 a 的值； 求( )f x的单调区间； （）若( )f x的最小值为 1，求 a 的取值范围. 19(本小题满分 14 分) 椭圆 C： 22 22 +1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ， 其左焦点到点 P(2， 1)的距离为 10 （）求椭圆C的标准方程； （）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点）， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 .求证：直线l过定点，并求出该定 点的坐标 20.（本题满分 12分） 在数列b,a
8、 nn 中，a1=2，b1=4，且 1nnn aba， ，成等差数列， 11nnn bab， 成等比数列（n * N） （ ）求 a2，a3，a4及 b2，b3，b4，由此归纳出b,a nn 的通项公式，并证明你 的结论； （ ）证明：. 12 5 ba 1 ba 1 ba 1 ba 1 22 nn 332211 参考答案 东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测 高三数学答案（理科） 一、选择题： 1B；2D；3A；4C ； 5C；6C；7D；8A （第 8 题的提示：若2223 ab ab，必有2222 ab ab构造函数： 22 x fxx，则2ln220 x fx恒成立，故有
9、函数22 x fxx在 x0 上单 调递增，即 ab 成立其余选项用同样方法排除） 二、填空题： 910； 107； 11. 0.kek或； 12 . 20 6 ；135；14 2 3 a （第 14 题的提示 : 函数 y1(a1)x1，y2x 2ax1 都过定点 P(0，-1) 函数 y1(a1)x1：过 M( 1 1a ，0)，可得： a1； 函数 y2x 2ax1： 显然过点 M( 1 1a ， 0)， 得： 2 3 a0或者a， 舍去0a， ） 三、解答题： 15(本小题满分 13 分) （）在ABC中， 由正弦定理及 3 coscos 5 aBbAc 可得 3333 sincoss
10、incossinsin()sincoscossin 5555 ABBACABABAB 即sincos4cossinABAB，则 tanB tanA =4. -6分 （）由 ()得tan4tan0AB , 4 3 4tanB tanB 1 3 B4tan1 3tanB tanAtanB1 tanBtanA )BA(tan 2 当且仅当,2tanB,4tanB tanB 1 时，等号成立， 故当 1 tan2,tan 2 AB时，tan()AB的最大值为 3 4 . -13分 16(本小题满分 13 分) （I）从甲组抽取 2 人, 从乙组抽取 1 人. -2分 （II）.从甲组抽取的工人中至少1
11、 名女工人的概率 . 3 2 3 1 1 C C 1P 2 10 2 6 -5分 （III）的可能取值为 0，1，2，3 12 34 21 105 6 (0) 75 CC P CC , 11121 46342 2121 105105 28 (1) 75 C CCCC P CCCC ， 21 62 21 105 10 (3) 75 CC P CC , 31 (2)1(0)(1)(3) 75 PPPP 0 1 2 3 P 75 6 75 28 75 31 75 10 5 8 E. -13分 17(本小题满分 14 分) （）依题设知， AC是所作球面的直径，则AMMC。 又因为 P A 平面 AB
12、CD ，则 PACD，又 CD AD， 所以 CD平面，则CD AM， 所以 A M平面 PCD ， 所以平面 ABM平面 PCD -5分 方法一： （）由（ 1）知，AMPD，又PAAD， 则M是PD的中点可得 , 2 2AM， 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAMMC 设 D 到平面 ACM的距离为h， 由 DACMMACD VV即2 68h，可求得 2 6 3 h ， N O D M C B P A 设所求角为，则 6 sin 3 h CD . -10分 ( )可求得 PC=6, 因为 ANNC，由 PNPA PAPC ，得 PN 8 3 , 所以:5: 9NC
13、PC, 故 N 点到平面 ACM的距离等于 P点到平面 ACM距离的 5 9 . 又因为 M 是 PD的中点，则 P、D 到平面 ACM的距离相等， 由（）可知所求距离为 510 6 927 h. -14分 方法二： （）如图所示，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B， (2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M； 设平面ACM的一个法向量( , , )nx y z ， 由,nAC nAM 可得： 240 220 xy yz ， 令1z，则(2, 1,1)n. 设所求角为，则 6 sin 3 CD n CD n . -10分 （）由条件可得，A
14、NNC. 在Rt PAC中， 2 PAPN PC,所以 8 3 PN, 则 10 3 NCPCPN, 5 9 NC PC ， 所以所求距离等于点P到平面CA M距离的 5 9 ， 设点P到平面CAM距离为h则 2 6 3 AP n h n ， 所以所求距离为 5106 h 927 . -14分 z y x N O D M C B P A 18.（本小题满分 14 分） （） 2 22 22 ( ), 1(1)(1)(1) aaxa fx axxaxx ( )f x在 x=1处取得极值， 2 (1)0,120,faa即解得1.a -4分 （） 2 2 2 ( ), (1)(1) axa fx a
15、xx 0,0,xa10.ax 当2a时，在区间 (0,)( )0,fx上，( )f x的单调增区间为(0,). 当02a时， 由 22 ( )0,( )0, aa fxxfxx aa 解得由解得 ( ), aa f x aa 2-2- 的单调减区间为（ 0，单调增区间为（，）. -10分 （）当2a时，由（）知，( )(0)1;f xf的最小值为 当02a时，由（）知， ( )f x在 2a x a 处取得最小值 2 ()(0)1, a ff a 综上可知，若( )fx得最小值为 1，则 a的取值范围是2,).-14分 19(本小题满分 14 分) ()由题： 1 2 c e a ； (1) 左焦点 (c，0)到点 P(2，1)的距离为： 22 (2)1dc10 (2) 由(1) (2)可解得： 222 431abc， 所求椭圆 C的方程为： 22 +1 43 xy -5分 (II)设 1122 (,),(,)A x yB xy，由 22 1 43 ykxm xy 得 222 (34)84(3)0kxmkxm， 2222 6416(34)(3)0m kkm， 22 340km. 2 1212 22 84(3) ,.
