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1、海淀区高三年级第一学期期中练习 数学（文科）2013.11.06 一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 1. 已知集合 1,0,1,2A ， |1Bx x ，则 AB ( ) A. 2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,1,2 2. 下列函数中，为奇函数的是( ) A. ( )f xx B. ( )lnf xx C. ( )2 x f x D. ( )sinf xx 3. 已知向量 (1, 2),( , 1)mab ，且 / /ab，则实数m的值为 ( ) A. 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 2 4. “
2、6 ” 是“ 1 sin 2 ” 的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 11 10,3() nn aaanN，则 n S取最小值时，n的值是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.若函数 tan ,0, ( )2 (1)1,0 xx f x a xx 在 (,) 2 上单调递增，则实数 a的取值范围 ( ) A. (0,1 B. (0,1) C. 1,) D. (0,) 7.若函数 ( )sinf xxkx 存在极值，则实数 k 的取值范围是( ) A. ( 1,1) B.
3、 0,1) C. (1,) D. (, 1) 8.已知点 (1,0)B，P是函数exy 图象上不同于 (0,1)A的一点 .有如下结论： 存在点P使得ABP是等腰三角形；存在点P使得ABP是锐角三角形； 存在点P使得ABP是直角三角形 . 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3 二、填空题 :本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. 函数 2 yxx的定义域是 _. 10.已知10 5,lg2 a b，则ab_. 11. 已知等差数列 n a的前 n 项和为 nS ，若 33 4,3aS，则公差d_. 12.函数 ( )2sin() (0,|) 2
4、 f xx的图象如图所示， 0.52 2 2 x y O 则_，_. 13. 向量,AB AC在正方形网格中的位置如图所示 . 设向量ACAB a ,若 ABa ，则实数_. 14.定义在 (0,) 上的函数( )f x 满足： 当1,3)x时， 1,12, ( ) 3, 23, xx f x xx (3 )3 ( )fxf x . （ i）(6)f； （ ii ） 若 函 数()()Fxfxa的 零 点 从 小 到 大 依 次 记 为 12 , n x xx， 则 当( 1 , 3 )a时 ， 12212nn xxxx_. 三、解答题 : 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明
5、 , 演算步骤或证明过程 . 15.（本小题满分14 分） 已知函数 2 ( )3cos22cos ()1 4 f xxx. （I）求( )fx的最小正周期； （II ）求( )f x在区间 , 3 2 上的取值范围 . 16.（本小题满分13 分） 在ABC中，60A，32 ,bc 3 3 2 ABC S. （）求b的值； （）求sinB的值 . 17.（本小题满分13 分） 已知等比数列 n a 满足3112 3,3aaaa . （I）求数列 n a的通项公式； （II ）若 2 1 nn ba，求数列 n b的前n项和公式 . 18.（本小题满分13 分） 如图，已知点(11,0)A，函
6、数1yx的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧 .设 |PHt，APH的面积为( )f t . C AB HAO P x y （I）求函数( )f t的解析式及t的取值范围； （II ）求函数( )f t的最大值 . 19.（本小题满分14 分） 已知函数( )lnf xxax （I）当1a时，求曲线( )yf x在点(1 ,(1)f处的切线方程； （II ）求( )f x的单调区间； （III ）若函数( )f x没有零点，求a的取值范围 . 20.（本小题满分13 分） 已知数列 n a的首项 1 ,aa其中 * aN， 1 ,3, 3 1 ,3. n n n nn a a
7、 a aa 为 的倍数 不为 的倍数 令集合|,=1,2,3 n Ax xan，. （I）若4a，写出集合A中的所有的元素； （II ）若2014a，且数列 n a中恰好存在连续的7 项构成等比数列，求a的所有可能取值构成的集合； （III ）求证： 1A. 1.B 2. D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.A 8.B 9. (, 10,) ；10.1；11.3；12. 2 3 , 6；12.3；14.3； 6(3 1) n ； 15. 解： （I） ( )3cos2cos(2 ) 2 f xxx-2分 3cos2sin2xx-4分 2sin(2) 3 x-6分 ( )f x最小正周期为T
8、，-8分 （II ）因为 32 x，所以 4 2 333 x-10分 所以 3 sin(2)1 23 x-12分 所以 32sin(2)2 3 x，所以( )f x取值范围为 3,2.-14 分 16. 解： （）由60A 和 3 3 2 ABC S可得 13 3 sin60 22 bc, -2分 所以6bc，-3分 又32 ,bc 所以2,3bc. -5分 （）因为2,3bc,60A , 由余弦定理 222 2cosabcbcA可得-7分 222 2367a，即7a. -9分 由正弦定理 sinsin ab AB 可得 72 sinsin60B ，-12分 所以 21 sin 7 B.-13
9、分 17. 解： （I）设等比数列 n a 的公比为 q， 由 31 3aa 得 2 1( 1)3a q-2分 由 12 3aa得 1(1 )3aq-4分 两式作比可得11q，所以2q，-5分 把2q代入解得 1 1a，-6分 所以 1 2 n n a. -7分 （II ）由（ I）可得 21 141 n nn ba-8分 易得数列 1 4 n 是公比为4 的等比数列， 由等比数列求和公式可得 141(4 1) 143 n n n Snn.-13分 18. 解： （I）由已知可得1xt，所以点P的横坐标为 2 1t,-2分 因为点 H在点A的左侧，所以 2 111t，即232 3t. 由已知0
10、t，所以02 3t，-4分 所以 22 11(1)12,AHtt 所以APH的面积为 2 1 ( )(12) ,02 3 2 f tttt.-6分 （II ） 233 ( )6(2)(2) 22 ftttt-7分 由( )0ft，得2t（舍） ,或2t. -8分 函数( )f t与( )ft在定义域上的情况如下： t(0,2)2 (2,23) ( )ft + 0 ( )f t 极大值 -12分 所以当2t时，函数( )f t取得最大值8. -13分 19. 解： （I）当1a时，( )lnf xxx， 1 ( )1(0)fxx x -1分 (1) 1f，(1)2f-3分 所以切线方程为210
11、xy-5分 （II ）( )(0) xa fxx x -6分 当0a时，在(0,)x时( )0fx，所以( )f x的单调增区间是(0,)；-8 分 当0a时，函数( )f x与( )fx在定义域上的情况如下： x(0,)aa(,)a ( )fx 0 + ( )f x 极小值 -10分 （III ）由（ II ）可知 当0a时，(0,)是函数( )f x的单调增区间，且有 11 ()11 10 aa f ee，(1)10f， 所以，此时函数有零点，不符合题意；-11分 当0a时，函数( )f x在定义域(0,)上没零点；-12分 当 0a 时，()fa是函数( )f x的极小值，也是函数( )
12、f x的最小值， 所以，当()(ln()1)0faaa，即ea时，函数( )f x没有零点 -13 分 综上所述，当e0a时，( )f x没有零点 . -14分 20. 解： （I）集合A的所有元素为：4,5,6,2,3,1.-3分 （II ）不妨设成等比数列的这连续7 项的第一项为 k a， 如果 ka 是 3 的倍数，则 1 1 3 kk aa；如果 ka 是被 3 除余 1，则由递推关系可得 22kkaa ，所以 2ka 是 3 的倍数，所以 32 1 3 kk aa；如果 k a被 3 除余2，则由递推关系可得 1 1 kk aa，所以 1k a 是 3 的倍数，所以 21 1 3 kk aa. 所以，该7 项的等比数列的公比为 1 3 . 又因为 * n aN，所以这 7 项中前 6 项一定都是3 的倍数， 而第 7 项一定不是3 的倍数 （
