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1、2013 年普通高等学校统一考试数学试题 卷必做题部分 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一填空题。 1函数) 4 2sin(3xy的最小正周期为。 2设 2 )2(iz（i为虚数单位） ，则复数z的模为。 3双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为。 4集合 1 ,0, 1共有个子集。 5下图是一个算法的流程图，则输出的n的值是。 6抽样统计甲、乙两位设计运动员的5 此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲87 91 90 89 93 乙89 90 91 88 92 则成绩较为稳定
2、（方差较小）的那位运动员成绩的方差为。 7现在某类病毒记作 nmY X，其中正整数m，n（7m，9n）可以任意选取，则nm，都取到奇数 的概率为。 8如图， 在三棱柱ABCCBA 111 中，FED，分别是 1 AAACAB，的中点， 设三棱锥ADEF的 体积为 1 V，三棱柱ABCCBA 111 的体积为 2 V，则 21 :VV。 9抛物线 2 xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部与边界）。若点 ),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是。 10设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD 2 1 ，BCBE 3 2 ，若ACABDE 21 A
3、B C 1 A D E F 1 B 1 C （ 21， 为实数），则 21 的值为。 11已知)(xf是定义在R上的奇函数。当0 x时，xxxf4)( 2 ，则不等式xxf)(的解集用区间 表示为。 12在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x ，右焦点为 F ，右准线为 l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为 1 d，F到l的距离为 2 d，若 12 6dd，则 椭圆C的离心率为。 13在平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数 x y 1 （0 x）图象上一动点，若点AP，之 间的最短距离为22，则满足条件的实数
4、a的所有值为 。 14在正项等比数列 n a中， 2 1 5 a，3 76 aa，则满足 nn aaaaaa 2121 的最大正整数n 的值为。 二解答题： 15本小题满分14 分。已知(cos,sin)(cos,sin)ab ，0。 （1）若|2ab，求证：ab； （2）设(0,1)c，若abc，求,的值。 16本小题满分14 分。 如图，在三棱锥ABCS中，平面SAB平面SBC，BCAB，ABAS，过A作SBAF， 垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点 . 求证：（1）平面/EFG平面ABC；（ 2）SABC. 17本小题满分14 分。如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3 ,0(A
5、，直线42:xyl,设圆C的半径 为1，圆心在l上。 （ 1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （ 2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围。 x y A l O A B C S G F E 18本小题满分16 分。如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线 步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。现有甲乙两位游客从A处 下山， 甲沿AC匀速步行， 速度为min/50m。在甲出发min2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留min1 后，再从匀速步行到C。假设缆车匀速直线运动的速度为min/13
6、0m，山路AC长为m1260，经测量， 13 12 cos A， 5 3 cosC。 （1）求索道 AB的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 19 本小题满分16 分。 设 n a是首项为a， 公差为d的等差数列)0(d， n S是其前n项和。 记 cn nS b n n2 ， * Nn，其中c为实数。 （1）若 0c ，且 421 bbb，成等比数列，证明： knk SnS 2 （ * ,Nnk） ； （2）若 n b是等差数列，证明：0c。 20本小题满分16 分。 设函数axxx
7、fln)(，axexg x )(，其中a为实数。 （1）若)(xf在), 1(上是单调减函数，且)(xg在),1 (上有最小值，求a的取值范围； （2）若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论。 21A.选修 4-1 ：几何证明选讲本小题满分10 分。 如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，,C AC经过圆心O，且2BCOC 求证：2ACAD 22B.选修 4-2 ：矩阵与变换本小题满分10 分。 已知矩阵 1 012 , 020 6 AB ，求矩阵BA 1 。 23.C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程本小题满分10 分。 C B A 在平面直角坐标系xo
8、y中， 直线l的参数方程为 ty tx 2 1 （t为参数）， 曲线 C 的参数方程为 tan2 tan2 2 y x （为参数），试求直线 l与曲线 C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。 24D.选修 4-5 ：不定式选讲本小题满分10 分。 已知ba0，求证：baabba 2233 22 25本小题满分10 分。 如图，在直三棱柱 111 A B CABC中，ACAB,2ACAB,4 1 AA, 点D是BC的中点 （1）求异面直线BA 1 与DC1所成角的余弦值 （2）求平面 1 ADC与 1 ABA所成二面角的正弦值。 26本小题满分10 分。 设数列122,3,3,34444 n
9、 a： ，- ，-，- ，- ，- ，- ， ， -1 -1-1 k kk kk 个 （）， ，（），即当 11 22 kkk k n （）（） kN时， 1 1 k n ak（- ），记 12nn SaaanN，对于lN， 定义集合 l P1 nn n SanNnl是的整数倍，且 （1）求集合 11 P中元素的个数；（2）求集合 2000 P中元素的个数。 参考答案 一、选择题 1解析：本题主要考察三角函数的周期公式 2 T 2 22 T= 2解析：本题主要考察复数的模 22 yxziiz43)2( 2 5)4(3 22 z 3解析：本题主要考察双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两
10、条渐近线的求法，把1改成0得0 2 2 2 2 b y a x 双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的两条渐近线的方程为x a b y 双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线的方程为xy 4 3 4解析：本题主要考察子集的有关概念。 集合, 21n aaa的子集个数为 n 2 集合1 ,0, 1共有 3 2= 8 个子集 5解析：本题主要考察准确读算法及流程图，注意执行过程，3n 6 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：90 5 9288919089 x 方差为：2 5 )9092()9088()9091()9090()9089( 22222 2 S 7 【解析】m取到奇数的有1，
11、3，5，7 共 4 种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9 共 5 种情况，则nm，都 取到奇数的概率为 63 20 97 54 8解析：本题主要考察棱柱的体积计算及相似比等有关基础知识。 设三棱柱高为 h，底面ABC面积为S, 三棱柱ABCCBA 111 的体积为ShV2 F是 1 AA的中点2:1: 1 hhFE，分别是ACAB，的中点4:1: 1 ss 24 1 2 1 4 1 3 1 3 1 3 1 11 11 2 1 121 h h S S Sh hS V V V V CBAABC ADEF 棱柱 三棱锥 9解析：本题主要考察导数的几何意义及线性规划等基础知识。 xy2 2 1 x
12、 yk切线方程为)1(21xy 与x轴交点为)0, 2 1 (A，与y轴交点为)1,0(B, 当直线yxz2过点)0 , 2 1 (A时0 2 1 max z 当直线yxz2过点)1,0(B时2)1(20 min z yx2的取值范围是 2 1 ,2 10解析：本题主要考察向量的加减法及待定系数法等基础知识。 ACABACABABACABBCABBEDBDE 21 3 2 6 1 )( 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 6 1 2 1 2 1 21 11解析：本题主要考察函数的奇偶性一元二次不等式的解法等基础知识及分类讨论的数学思想方法。 设x0，则x0，xxxxxf4)(4)()( 2
13、2 )(xf是定义在R上的奇函数 )()(xfxfxxxf4)( 2 xxxf4)( 2 又0)0(f )0(4 0 )0(4 )( 2 2 xxx xxx xf xxx x 4 0 2 或者 xxx x 4 0 2 5x或者05x 不等式xxf)(的解集用区间表示为,50,5 法二：【解析】做出xxxf4)( 2 (0 x) 的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数，利用 奇函数图像关于原点对称做出x0 的图像。不等式xxf)(，表示函数y)(xf的图像在yx的上方，观 察图像易得：解集为( 5， 0) (5 ， ) 。 12解析：本题主要考察椭圆的性质，以及化繁为简运算能力及数
14、学思想方法。 AOBRt中，利用面积相等 1 dABOBOA或者利用原点)0,0(O到直线1 b y c x 即0bccybx 的距离公式得 a bc d1 ，因为c c a d 2 2 带入 12 6dd得 a bc c c a 6 2 a bc c ca 6 22 a b c ca 6 2 22 左边分子分母同时除以 2 a右边平方再开方得： x y yx yx 24 x P(5,5) Q(5, 5) y x O y2x1 y 1 2 x 2 22 2 2 6 1 a ca e e 2 2 2 16 1 e e e 6 1 2 2 e e 016 24 ee 3 1 2 e（ 2 1 2
15、e舍） 3 3 e 法二： 【解析】 如图，l：x c a 2 ， 2 d c a 2 c c b 2 ， 由等面积得： 1 d a bc 。若 12 6dd，则 c b 2 6 a bc ， 整理得：066 22 baba，两边同除以： 2 a，得：066 2 a b a b ，解之得： a b 3 6 ， 所以，离心率为： 3 3 1e 2 a b 13解析：本题主要考察二次函数的值域等基础知识，以及设元换元法分类讨论等数学思想方法。 设点) 1 ,( x xP（0 x） ，则 2 2 222 2) 1 (2) 1 () 1 ()(a x xa x xa x axd 设t x x 1 （2
16、t） ，则2 12 2 2 t x x 2)( 22 aatd ，设2)()( 22 aattf（2t） 对称轴为at 分两种情况： （1）2a时，)(tf在区间,2上是单调增函数，故2t时，)(tf取最小值 222)2( 22 min aad，032 2 aa，1a（3a舍） （2）a2时，)(tf在区间a,2上是单调减，在区间,a上是单调增， at 时，)(tf取最小值 222)( 22 min aaad，10a（10a舍） 综上所述，1a或10 14解析：本题主要考察等比数列的有关概念及性质指数函数二次函数的单调性猜想与证明等知识及推理 论证能力。 由 2 1 5 a，及3 76 aa得方程组： 3)1 ( 2 1 5 1 4 1 qqa qa 两式相除得：06 2 qq，2q（3q舍） 32 1 1 a nn aaaaaa 2121 )1(21 1 1 1 )1(nn n qa q qa 2 )10)(1( 212 nn n n 2 2 )10)(1( 212 nn
