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1、第 1 页共 11 页 北京市西城区 2015年高三一模试卷 数学（文科） 2015.4 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设集合0,1A，集合|Bx xa，若AB，则实数a的范围是（） （ A）1a（B）1a（C）0a（D）0a 3关于函数 3 ( )log ()f xx和( )3 x g x，下列说法中正确的是（） （ A）都是奇函数（B）都是偶函数 （ C）函数( )f x的值域为 R（D）函数( )g x的值域为 R 4. 执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为 3，则输出的n
2、 的值为 _. （ A）4 （ B）5 （ C）6 （ D） 7 2复数 z满足i3iz ，则在复平面内，复数 z对应的点位于 （ ） （ A）第一象限 （B）第二象限 （ C）第三象限（D）第四象限 x=3x 开始 1n n=n+1 100 x 输出 n 结束 否 是 输入 x 第 2 页共 11 页 5. 设 ,P Q 分别为直线0 xy和圆 22 (6)2xy上的点，则 |PQ 的最小值为（） （A） 2 2 （B） 3 2 （C） 42（D） 4 6设函数( )f x 的定义域为R ，则“x R ， (1)( )f xf x ”是“函数( )f x为增函数”的 （） （A）充分而不必要
3、条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（） （ A） 7 （ B） 15 2 （ C） 23 3 （ D） 47 6 8. 已知 6 枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24 元，而 4 枝玫瑰与 4 枝康乃馨的价格之和 小于 20 元，那么2 枝玫瑰和3 枝康乃馨的价格的比较结果是（） （ A） 2 枝玫瑰的价格高（B）3 枝康乃馨的价格高 （ C）价格相同（D）不确定 侧 (左)视图 正 (主)视图 俯视图 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 第 3 页共 11 页 第卷（非选择题 共 110 分）
4、二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 9. 已知平面向量,a b满足(1, 1)a， ()()abab ，那么|b|=_. 10函数 22 ( )sincosf xxx的最小正周期是_. 11在区间 2,1上随机取一个实数x，则 x 使不等式1|1|x成立的概率为 _. 12已知双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一个焦点是抛物线 2 8yx的焦点， 且双曲线 C 的离心率为2，那么双曲线C 的方程为 _；渐近线方程是_. 13. 设函数 2 0, 1 , ( ) 4 ,0.x xx f xx x x 则 ( 1)f f_；函数( )f x的极小值是
5、_. 14. 某赛事组委会要为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3 件，二等奖奖品6 件. 制作一等奖和二等奖奖品所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异. 现有 甲、乙两家工厂可以制作奖品（一等奖、二等奖奖品均符合要求)，甲厂收费便宜，但原 料有限， 最多只能制作4 件奖品， 乙厂原料充足， 但收费较贵， 其具体收费情况如下表： 奖品 收费 (元件 ) 工厂 一等奖奖品二等奖奖品 甲500 400 乙800 600 则组委会定做该工艺品的费用总和最低为元. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分13 分） 如图，
6、在ABC中， 90ABC ， 4AB ，3BC，点D在线段AC上，且4ADDC. （）求BD的长； （）求 sinCBD 的值 . B C A D 第 4 页共 11 页 16 （本小题满分13 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S ，且满足3 2a， 57 Sa （）求数列 n a的通项公式 n a 及 n S ； （）若 444,mnaaa （ * ,m nN ）成等比数列，求n的最小值 17 （本小题满分14 分） 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，/EFAD， 平面ADEF平面ABCD，且2BCEF,AEAF，点 G 是 EF 的中点 . （）证明：AGC
7、D； （）若点M在线段AC上，且 1 3 AM MC ，求证：GM/平面ABF； （）已知空间中有一点O 到,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O的位置 . ( 只 需写出结论 ) 18 （本小题满分13 分） 2014 年 12 月 28 日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价. 具体如下表 . （不 考虑公交卡折扣情况） 已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5 元，现从那些只乘坐四 号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120 人， 他们乘坐地铁的票价统计如图所示 乘公共电汽车 方案 10 公里（含）内2 元； 10 公里以上部分，每增加1 元可乘坐
8、 5 公里（含） . 乘 坐 地 铁 方 案 （不含机场线） 6 公里（含）内3 元； 6 公里至 12 公里（含） 4 元； 12 公里至 22 公里（含） 5 元； 22 公里至 32 公里（含） 6 元； 32 公里以上部分，每增加1 元可乘坐 20 公里（含） . F C A D B G E 第 5 页共 11 页 （）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶 然亭站出站的乘客中任选1 人，试估计此人乘坐地 铁的票价小于5 元的概率； （）已知选出的120 人中有 6 名学生，且 这 6 人乘坐地铁的票价情形恰好与按票价 从 这 120 人中 分层抽样所选的结果相同， 现从这 6 人中随机
9、选出 2 人，求这2 人的票价和恰好为8 元的概率； （）小李乘坐地铁从A 地到陶然亭的票价是5 元，返程时，小李乘坐某路公共电汽 车所花交通费也是5 元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里， 试 写出 s 的取值范围(只需写出结论) 19 （本小题满分14 分） 设点F为椭圆 22 22 1(0) xy Eab ab ：的右焦点， 点 3 (1, ) 2 P在椭圆E上，已知椭圆E 的离心率为 1 2 . （）求椭圆E的方程； （）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记ABP三条边所在直线的 斜率的乘积为t，求t的最大值 . 20 （本小题满分13 分） 设 * n
10、N，函数 ln ( ) n x f x x ，函数 e ( ) x n g x x ，(0,)x. （）判断函数( )f x在区间(0,)上是否为单调函数，并说明理由； （）若当1n时，对任意的 12 ,(0,)x x， 都有 12 ()()g xf xt 成立，求实数t的 取值范围； （） 当2n时，若存在直线lyt：（tR） ，使得曲线( )yf x与曲线( )yg x分 别位于直线l的两侧，写出n的所有可能取值. ( 只需写出结论 ) O 票价 (元) 3 4 5 10 40 50 人数 30 20 60 第 6 页共 11 页 北京市西城区2015 年高三一模试卷参考答案及评分标准 高
11、三数学 （文科） 2015.4 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1B 2C 3C 4B 5A 6B 7 D 8A 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 92；10；11 1 3 ；12 2 2 1 3 y x，3yx；13 10 3 ，2； 14 4900 ； 注：第 12， 13 题第一问2 分，第二问3 分 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分） （）解 ：因为90ABC ， 4AB ，3BC， 所以 3 cos 5 C， 4 sin 5 C，5AC，, 3 分
12、又因为DCAD4，所以4AD，1DC. , 4 分 在BCD中，由余弦定理， 得 222 2cosBDBCCDBC CDC , 7 分 22332 3123 1 55 ， 所以 5 104 BD. , 9 分 （）在BCD中，由正弦定理，得 sinsin CDBD CBDC ， 所以 4 10 1 5 4 sin 5 CBD ，, 12 分 所以 10 sin 10 CDB. , 13 分 16 （本小题满分13 分） （） 解： 设公差为d， 第 7 页共 11 页 由题意，得 1 11 22, 1 5546 , 2 ad adad , 4 分 解得 1 2a，2d，,5 分 所以 2(1)
13、224 n ann ，, 6 分 2 1 2(1)23 2 n Snn nnn, 7 分 （） 解： 因为 444 , mn a aa成等比数列， 所以 2 444mnaa a，, 9 分 即 2 (24)4(24)mn，, 10 分 化简，得 21 (2)2 2 nm，, 11 分 考察函数 21 ( )(2)2 2 f xx，知 ( )f x 在 (0,) 上单调递增， 又因为 5 (1) 2 f，(2)6f， * nN ， 所以当2m时，n有最小值6, 13 分 17 （本小题满分14 分） （） 证明 ：因为AEAF，点 G 是 EF 的中点， 所以AGEF. ,1 分 又因为/EF
14、AD， 所以AGAD. ,2 分 因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD， AG 平面ADEF， 所以AG平面ABCD. ,4 分 因为CD平面 ABCD ， 所以AGCD. ,5 分 （） 证明 ：如图，过点M作MN/BC，且交AB于点N，连结NF， 第 8 页共 11 页 F C A D B G E M N 因为 1 3 AM MC =，所以 1 4 MNAM BCAC =，,6 分 因为2BCEF，点 G 是 EF 的中点， 所以4BCGF， 又因为/EF AD，四边形ABCD 为正方形， 所以GF/MN，GFMN. 所以四边形 GFNM 是平行四边形. 所以/GM
15、FN. ,8 分 又因为GM平面ABF，FN平面ABF， 所以GM/平面ABF. ,11 分 （） 解：点 O为线段GC的中点 . ,14 分 18 （本小题满分13 分） （） 解：记事件 A 为“此人乘坐地铁的票价小于5 元”，,1 分 由统计图可知， 得 120 人中票价为3 元、4 元、5 元的人数分别为60 ，40 ，20（人）. 所以票价小于5 元的有6040100（人）,2 分 故 120 人中票价小于5 元的频率是 1005 1206 所以估计此人乘坐地铁的票价小于5 元的概率 5 ( ) = 6 P A,4 分 （） 解：记事件 B 为“这 2 人的票价和恰好为8 元”，,5
16、 分 由统计图，得 120 人中票价为3 元、 4 元、 5 元的人数比为60:40 :203: 2:1， 则 6 名学生中票价为3 元、 4 元、 5 元的人数分别为3， 2，1（人） . ,6 分 记票价为3 元的同学为,abc，票价为 4 元的同学为,de ，票价为 5 元的同学为f ， 从这 6 人中随机选出2 人，所有可能的选出结果共有15 种，它们是：( ,), ( ,)ca ba， (,) ,(,) , (,) ,(,) , (,) , (,) , (,) , (,) , ( ,(,)defcdefdefeaaabbbbcccd, (,) , ( ,)ffde. ,8 分 其中事件B的结果有4 种
