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1、2014 海淀高三二模数学理科第 1 页 共 12 页 海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2014.05 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. 1. sin150（）的值为（） A. 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 3 2 2. 已知命题p： “0a，有1 a e 成立” ，则p为（） A. 0a, 有1 a e 成立 B. 0a, 有1 a e 成立 C. 0a, 有1 a e成立 D. 0a, 有1 a e成立 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的S为 4，则输入的x应为 ( ) A. 2 B
2、. 16 C. 2或 8 D. 2或 16 4. 在极坐标系中，圆2sin的圆心到极轴的距离为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 5. 已知( , )P x y是不等式组 1 0 3 0 0 xy xy x , , 表示的平面区域内的一点，(1,2)A，O为坐标一点， 则OA OP的 最大值（） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM的长 ) ，巨轮的半径为30m, 2AMBP m ，巨轮逆时针旋转且每12 分钟转动一圈. 若点M为吊舱 P的初始位置， 经过t分钟， 该吊舱 P距离地面的高度为 ( )h t
3、m ，则( )h t =( ) A. 30sin()30 122 t B. 30sin()30 62 t 否 是 开始 结束 输入x 1x 2 x S2 logSx 输出S 2014 海淀高三二模数学理科第 2 页 共 12 页 C. 30sin()32 62 t D. 30sin() 62 t 7. 已知等差数列 n a单调递增且满足 110 4aa，则 8 a的取值范围是（） A. (2, 4) B. (,2) C. (2,) D. (4,) 8. 已知点,E F分别是正方体 1111 ABCDABC D的棱AB, 1 AA的中点，点,M N分别是线段 1 D E与 1 C F上 的点，则
4、满足与平面ABCD平行的直线MN有（） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9. 满足不等式 2 0 xx的x的取值范围是 . 10. 已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线为2yx，则双曲线的离心率为 . 11. 已知 5 (1)ax的展开式中 3 x的系数是10，则实数a的值是 . 12. 已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 . 1 C F 1 D 1 B 1 A D C E B A h P B O A M 2014 海淀高三二模数学理科第 3 页 共 12 页 13. 已知 1 l， 2
5、 l是曲线 1 :Cy x 的两条互相平行的切线，则 1 l与 2 l的距离的最大值为 . 14. 已知集合1,2,3,100M，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作()S A. 满足()8S A的集合A的个数为；()S A的所有不同取值的个数为 . 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13 分） 在锐角 ABC中，2 7 sinaA且21b. (I)求B的大小； (II)若3ac，求c的值 . 16. （本小题满分14 分） 如图，在三棱柱 111 ABCA BC中， 1 AA底面ABC，ABAC， 1 ACA
6、BAA，,E F分别是棱 BC, 1 AA的中点，G为棱 1 CC上的一点，且 1 C F平面AEG. (I) 求 1 CG CC 的值； (II)求证： 1 EGA C; (III)求二面角 1 AAGE的余弦值 . 2 1 2 主视图左视图 1 1 1 俯视图 2014 海淀高三二模数学理科第 4 页 共 12 页 17. （本小题满分13 分） 某单位有车牌尾号为2 的 A 车和尾号为6 的 B 车，两车分属于两个独立业务部门. 对一段时间内两 辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6 ，B 车日出车频率0.5. 该地区汽车限行规定 如下： 车尾号0 和 5 1 和
7、6 2 和 7 3 和 8 4 和 9 限行日星期一星期二星期三星期四星期五 现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A,B 两车出车相互独立. (I)求该单位在星期一恰好出车一台的概率； (II)设 X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望E(X). 18. （本小题满分13 分） 已知函数( )()sincos ,(0,)f xxaxx x. (I) 当 2 a时，求函数( )f x的值域； (II)当 2 a时，求函数( )f x的单调区间 . 19. （本小题满分14 分） 已知椭圆G的离心率为 2 2 ，其短轴两端点为(0,1),B(0,1)A. (I)
8、求椭圆G的方程； (II)若,C D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点,M N，判断 以MN为直径的圆是否经过点A，并说明理由. 20. （本小题满分13 分） 对于自然数组( , , )a b c，如下定义该数组的极差 ：三个数的最大值与最小值的差. 如果( , , )a b c的极差 1 C 1 B 1 A F G E C B A 2014 海淀高三二模数学理科第 5 页 共 12 页 1d，可实施如下操作f：若, ,a b c中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若, ,a b c中 最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操
9、作， 操作结果记为 1( , , ) f a b c，其极差为 1 d. 若 1 1d，则继续对 1( , , ) f a b c实施操作f， , ，实施n次操作后的结果记为( , , ) n fa b c，其极差记为 n d. 例如： 1(1 ,3,3) (3,2,2)f， 2(1 ,3,3) (1,3,3)f. (I) 若( , , )(1,3,14)a b c，求 12 ,d d和 2014 d的值； (II)已知( , , )a b c的极差为d且abc，若1,2,3,n时，恒有 n dd，求d的所有可能取值； (III)若, ,a b c是以 4 为公比的正整数等比数列中的任意三项，
10、求证：存在n满足0 n d. 数学（理科） 参考答案 2014.5 一、选择题：本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 1.A ； 2.C ； 3.D ； 4.A ； 5.D 6.B ； 7.C ； 8.D； 二、填空题 : 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 9. 01x或(0,1) ； 10. 5 ；11. 1 ； 12. 2 ； 13. 22 ； 14. 6， 5050本题第一空3分，第二空2 分 ； 三、解答题 : 本大题共 6 小题, 共 80 分. 15. 解： （）由正弦定理可得 sinsin ab AB -2分 因为2 7 sin,21aA b
11、 所以 sin21sin3 sin 2 2 7 sin bAA B a A -5分 在锐角ABC中，60B -7分 （）由余弦定理可得 222 2cosbacacB -9分 2014 海淀高三二模数学理科第 6 页 共 12 页 又因为3ac 所以 222 2193ccc，即 2 3c-11分 解得3c -12分 经检验，由 222 1 cos0 22 7 bca A bc 可得90A，不符合题意， 所以3c舍去 .-13分 16. 解： （）因为 1 / /C F平面AEG 又 1 C F平面 11 ACC A，平面 11 ACC A平面AEGAG， 所以 1 / /C FAG. -3 分
12、因为F为 1 AA中点，且侧面 11 ACC A为平行四边形 所以G为 1 CC中点，所以 1 1 2 CG CC .-4分 （）因为 1 AA底面 ABC，所以 1 AAAB， 1 AAAC， -5分 又ABAC， 如 图 ， 以A为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系Axyz， 设2AB， 则 由 1 ABACAA可 得 11 (2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)CBCA-6分 因为,E G分别是 1 ,BC CC的中点， 所以(1,1,0),(2,0,1)EG. -7分 1 (1 , 1,1) ( 2,0,2)0EG CA.-8分 所以 1 EGCA，
13、所以 1 EGAC. -9分 （）设平面AEG的法向量( , , )x y zn，则 0, 0, AE AG n n 即 0, 20. xy xz -10分 令1x，则1,2yz，所以(1, 1, 2)n.-11分 由已知可得平面 1 A AG的法向量(0,1,0)m-11分 G z x y F E B1 C1A1 A B C 2014 海淀高三二模数学理科第 7 页 共 12 页 所以 6 cos, | |6 n m n m nm -13分 由题意知二面角 1 AAGE为钝角， 所以二面角 1 AAGE的余弦值为 6 6 .-14分 17. 解： （）设A车在星期i出车的事件为 i A，B车在星期i出车的事件为 i B，1,2,3,4,5i 由已知可得()0.6,()0.5 ii P AP B 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C，-1分 因为,A B两车是否出车相互独立，且事件 1111 ,A B A B互斥 -2分 所以 111111111111 ( )()()()()()() ()P CP A BA BP A BP A BP A P BP A P B 0.6(10.5)(10.6)0.5-4分 0.5 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. -5分 答题与设事件都没有扣1 分，有一个不扣分 （）X的可能
