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1、第 1 页 四川省 2014 年“联测促改”活动数学(文史类 ) 一、选择题： 1.集合4,3AxxBx x，则A B A.2, 4)B.3,)C.3,4)D.2,3) 【答案】：C 2.复数 5 2i 的共扼复数是 A.2iB.2iC.2iD.2i 【答案】：B 3.为了解某地区的中小学生的课业负担情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调 查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的课业负担情况有较大差异，而男 女生课业负担差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样 【答案】：C 4.为了得到函数3sin(
2、2) 5 yx的图象，只需把函数3sin() 5 yx图象上的所有点 A.纵坐标伸长到原来的2 倍，横坐标不变B.横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变D.横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 【答案】：D 5.“ab”是“ 11 ab ”成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要的条件 【答案】：D 6.若 12 ,e e 是夹角为60的两个单位向量，则 12 2aee 与 12 32bee 的夹角为 A. 30B. 60C. 120D. 150 【答案】：C 7.已知 x,y 满足约束条件 5315
3、1 53 xy yx xy ， 设 M，m 分别为目标函数z=3x+5y 的最大、 最小值， 则 Mm，为 A. 9B. 11C. 17D. 28 【答案】：D 8.某算法程序框图如图所示，若 1 3 2 3 ,3 ,log 3 2 abc，则输出的结果是 第 2 页 否 是 否 是 输出 c 输出 b 输出 a b c?a c? 开始 输入 a,b,c a b? 否是 结束 A. 3 abc B.aC.bD.c 【答案】：D 9.已知 ABC的周长为21，且sinsin2sinABC.若 ABC的面积为 1 sin 6 C,则角 C的大小为 A. 30B. 60C. 90D. 120 【答案
4、】：B 10.过抛物线 2 4xy的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过 A,B作抛物线的切线 12 ,l l, 则 1 l与 2 l的交点 P的轨迹方程是 A.1yB.2yC.1yxD.1yx 【答案】：A 二、填空题： 11.函数22 xx y的最小值为 【答案】：2 12. 366 log9log 12 【答案】：2 13.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1 的正方形，俯视图是一个直 径为 1 的圆，那么这个几何体的表面积为 俯视图 侧视图 正视图 第 3 页 【答案】： 3 2 14. 圆 1 C： 22 2880 xyxy与 圆 2 C： 22 4420 x
5、yxy的 公 共 弦 长 等 于. 【答案】：2 5 15. 在 直 角 坐 标 系 中 ， 定 义 两 点 1122 (,),(,)P xyQ xy之 间 的 “ 直 角 距 离 ” 为 1212 (,)d P Qxxyy。现有下列命题： 若 P, Q 是 x轴上两点，则 12 ( ,)d P Qxx； 已知 P (1,3)，Q( 22 sin,cos) (R)，则 d(P,Q)为定值； 原点 O 到直线10 xy上任一点P的直角距离d (O, P)的最小值为 2 2 ; 设 A(x,y)且,xZ yZ，若点 A 是在过 P (1,3)与 Q(5,7)的直线上，且点A 到点 P与 Q 的 “
6、直角距离”之和等于8，那么满足条件的点A 只有 5 个. 其中的真命题是.(写出所有真命题的序号) 【答案】： 三、解答题： 16.(12 分)为了解某校学生参加某项测试的情况，从该校学生中随机抽取了6 位同学，这6 位同学的成绩 (分数 )如茎叶图所示. 求这 6 位同学成绩的平均数和标准差; 从这 6 位同学中随机选出两位同学来分析成绩的分布情况，求这两位同学中恰有一位同学 成绩低于平均分的概率. 学生成绩 28 86 6 7 9 68 【解析】：这 6 位同学的成绩平均效为 6 1 1 81 6 n n xx 又 2 6 2222222 1 11 ()(5533115 )49 66 n
7、n sxx 故这 6 位问学成绩的标准差为s=7 .6分 从 6 位同学中随机选取2 位同学，包含的基本事件空间为(76,76)、(76,78)、 第 4 页 (76,78)、(76,82)、(76,96)、(76,78)、(76,78)、(76,82)、(76,96)、(78,78)、 (78,82) 、(78,96)、(78,82) 、 (78,96)、(82,96)15个基本事件。其中括号内数字 分别表示 2 位同学的成绩 . 记“ 选出的 2 位问学中，恰有 1 位同学的成绩低于平均分 ” 为事件 A，则事件 A 包 含的基本事件为 (76,82)、(76,96)、(76,82)、(7
8、6,96) 、(78,82) 、(78,96)、(78,82) 、 (78,96)共 8 个基本事件，则 8 () 15 P A。 故从 6 位同学中随机选取2 位同学，恰有 1 位同学的成绩低于平均分的概率为 8 15 。 .12 分 17.( 12 分)已知向量(1,),(cos ,sin)am bxx ，函数( )2f xa b . 设1m，x 为某三角形的内角，求( )1f x时 x 的值 ; 设3m，当函数( )f x取最大值时，求cos2x 的值。 【解析】：由题可知，( )sincos2f xmxx， 当1m时，( )sincos2f xxx， ( )1sincos12 sin(
9、)1 4 f xxxx 2 sin() 42 x x为三角形的内角， 3 442 xx.6 分 当3m时，( )3sincos22sin()2 6 f xxxx， 当且仅当sin()1 6 x时，函数 max ( )0f x。 此时2()2() 623 xkkZxkkZ 21 cos2cos2(2)cos 332 xk.12 分 18.( 12 分)学校餐厅每天供应500 名学生用餐， 每星期一有A, B两种菜可供选择。调查表明， 凡是在这星期一选A 菜的， 下星期一会有 1 5 改选 B 菜;而选 B 菜的， 下星期一会有 3 10 改选 A 菜。用, nn ab分别表示第n个星期选A的人数
10、和选B 的人数 . 第 5 页 试用 1( *,2) n anNn表示 n a，判断数列300 n a是否成等比数列并说明理由; 若第一个星期一选A 神菜的有200 人，那么第10 个星期一选A 种菜的大约有多少人? 【解析】：由题知，对*nN有500 nn ba, 所以当*nN且2n时, 1111 4311 (500)250300(300) 51022 nnnnnnn aaaaaaa 当 1 300a时,300 n a不是等比数列；当 1 300a时， 300 n a是以 1 300a 为首项， 1 2 为公比的等比数列 (7 分) 当 1 200a时， 1 110 19 1100100 3
11、00()(300)300300300 222 n nn n aaaa 第 10 个星期一选 A 种菜的大约有 300 人。.12 分 19.(12 分 )已知四债铁P-ABCD 中， PB平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形 , ABC= BCD =90， PB=BC=CD = 1 2 AB. Q 是 PC上的一点 . 求证：平面PAD面 PBD; 当 Q 在什么位置时，PA 平面 QBD? Q P A D C B 【解析】： ABC= BCD=9 0， BC=CD=1 2 AB, 设 BC=1，则 AD=BD=2， 222 ADBDABADBD 又 PB平面 ABCD . PB AD 又
12、因为 BD， PB在平面 PBD内，且 BD与 PB相交， AD平面 PBD 又 AD面 PAD， 所以平面PA D平面 PBD。6 分 当 PQ=2QC时， PA平面 QBD,证明如下，连结AC交 BD于点 O ，连接 OQ, 2CD=AB,CD AB,AO=2OC 过 PA的平面 PAC平面 QBD=OQ, PA平面 QBD,AP OQ,PQ=2QC. ,12 第 6 页 Q D A P B C O 20.(13 分)定义在实数集上的函数 23 1 ( ),( )2 3 f xxx g xxxm。 求函数( )f x的图象在1x处的切线方程; 若( )( )f xg x对任意的 4,4x恒
13、成立，求实数m 的取值范围。 【解析】： 2 ( )f xxx,当1x时，(1)2f ( )21(1)3fxxf 所求切线方程为23(1)310yxxy。 .(4 分) 令 321 ( )( )( )3( )(3)(1) 3 h xg xf xxxxmh xxx 当41x时，( )0h x； 当13x时，( )0h x； 当34x时，( )0h x； 要使( )( )f xg x恒成立，即 max ( )0h x. 由上知( )h x的最大值在1x或4x取得 . 而 52055 ( 1), (4)0 3333 hmhmmm 实数 m 的取值范围 5 (, 3 。.13 分 21.(14 分)巳
14、知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率是 3 2 。 若点 P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程; 若存在过点A(1,0)的直线l，使点 C(2,0)关于直线l的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取 值范围 . 第 7 页 【解析】： 222 222 3 12 ,31 24 bxy eab cb abb , 点 P(2,1)在椭圆上 , 2222 2 22 21 121 482 xy b bb ,4 分 依题意，直线 l 的斜率存在且不为0，则直线 l 的方程为：(1)yk x. 设点 C(2, 0)关于直线 l 的对称点为 00 (,)C xy，则 00 02 0 0 2 0 2
15、 2 (1) 22 1 2 1 2 1 yx k x k y k k y x k 若点 00 (,)Cxy在椭圆 22 22 1 4 xy bb 上，则 22 22 24222 22 22 ()() 11 1(24)(1)0 4 k kk b kbkb bb 设 2 kt，因此原问题转化为关于t 的方程 2 222 (24)(1)0b tbtb有正根 . 当 22 1001bb时，方程一定有正根； 当 22 101bb时，则有 2222 2 2 (24)4(1)04 3 240 bb b b b 综上得 2 3 0 3 b. 又椭圆的焦距为22 3024cbc. 故椭圆的焦距的取值范围是(0,414 分
