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1、二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第五节一、微分的概念一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分(differential) 第二章 的微分微分,定义定义: 若函数在点 的增量可表示为( A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即在点可可微微,机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、微分的概念一、微分的概念定理定理 : 函数证证: “必要性必要性” 已知在点 可微 ,则故在点 的可导, 且在点 可微的充要条件充要条件是在点 处可导,且即机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 : 函数在点 可微的充要条件充要条件是
2、在点 处可导,且即“充分性充分性”已知即在点 的可导,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分的几何意义当 很小时,则有从而导数也叫作微商(differential coefficient)切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 , 则(C 为常数)分别可微 ,的微分为一阶微分形式不变一阶微分形式不变5. 复合函数的微分则复合函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求 解解:机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设求 解解: 利用一阶微分形式不变性 , 有例例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解: 设取则例例4. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 .解解:例例5. 计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性 :( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的应用近似计算估计误差机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设函数的图形如下, 试在图中标出的点处的及并说明其正负 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边求微分, 得已知求解解：思考题思考题.习题课 目录 上页 下页 返回 结束
