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1、- 1 - 9分段函数，剪不断理还乱 1设函数f(x) 2 1x，x1， 1log2x，x1， 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 _ 答案0， ) 解析当 x1 时， 21 x2，解得 x 0，所以 0 x1； 当 x1 时， 1log2x2，解得 x 1 2， 所以 x1.综上可知x0. 2已知函数f(x) a3 x5，x1， 2a x ，x1 是(， )上的减函数，那么a 的取值范围是 _ 答案(0,2 解析由题意，得 a 30， a 352a， 解得 0a 2. 3设函数g(x)x 22(xR)， f(x) g x x4，xg x ， g x x，xg x ， 则 f(x)的值域
2、是 _ 答案9 4，0 (2， ) 解析由 xg(x)得 xx22， x2； 由 xg(x)得 xx 22，1x2. f(x) x 2x2，x2， x 2x2， 1x2. 即 f(x) x 1 2 27 4，x2， x1 2 29 4， 1x2. 当 x2；当 x2 时， f(x)8. 当 x(， 1) (2， )时，函数的值域为(2， ) 当 1x2 时， 9 4f(x)0. - 2 - 当 x1,2时，函数的值域为 9 4，0 综上可知， f(x)的值域为 9 4，0(2， ) 4已知 f(x) 2x1x0 ， x00， log2x ，xf(m)，则实数m 的取值范围是_ 答案(， 1)(
3、0,1) 解析若m0，则 mf(m)，得 log2mlog2m，即 log2m0,0m1；若 m0，f(m)log 1 2 (m) log2(m)，f(m) log2(m)，由 f(m)f(m)得 log2( m) log2(m)，解得 m1. 设函数 f(x)(x22)?(xx2)，xR. 若 函 数y f(x) c 的 图 象 与x轴 恰 有 两 个 公 共 点 ， 则 实 数c 的 取 值 范 围 是 _ 答案(， 2(1， 3 4) - 3 - 解析f(x) x 2 2，x22 xx2 1， xx 2，x22 xx2 1， 即 f(x) x 22， 1 x3 2， x x 2， x3
4、2， f(x)的图象如图所示，由图象可知c 的取值范围为 (， 2(1， 3 4) 7已知函数f(x) log2x，x0， f x2 1，x0， 则 f(3)的值为 _ 答案2 解析f(3)f(1)1f(1) 22. 8已知函数f(x) x 2 2ax，x2， 2 x1，x3 a2，则 a 的取值范围是_ 答案1a3a 2? 6a 93a2，解得 1a3. 9已知函数f(x) 2 x， x 2， x1 3， x2. 若关于x 的方程 f(x)k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_ 答案(0,1) 解析画出分段函数f(x)的图象如图所示， 结合图象可以看出，若 f(x)k 有两个不同的实
5、根，也即函数y f(x)的图象与yk 有两个不同 的交点， k 的取值范围为(0,1) 10设 f(x)是定义在R 上且周期为2 的函数， 在区间 1,1上，f(x) ax1， 1x0， bx2 x1 ，0 x1， 其 - 4 - 中 a，b R.若 f 1 2 f 3 2 ，则 a3b 的值为 _ 答案10 解析因为 f(x)的周期为2， 所以 f 3 2 f 3 22 f 1 2 ， 即 f 1 2 f 1 2 . 又因为 f 1 2 1 2a1，f 1 2 b 22 1 21 b4 3 ， 所以 1 2a1 b4 3 . 整理，得a 2 3(b1) 又因为 f(1)f(1)， 所以 a1
6、 b2 2 ，即 b 2a. 将代入，得a2， b 4. 所以 a3b23(4) 10. 11(2013 四川 )已知函数 f(x) x 22xa， x0， 其中 a 是实数， 设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2) 为该函数图象上的两点，且x1x2. (1)指出函数f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的图象在点A，B 处的切线互相垂直，且x20，求 x2x1的最小值； (3)若函数 f(x)的图象在点A，B 处的切线重合，求a 的取值范围 解(1)函数 f(x)的单调递减区间为(， 1)，单调递增区间为1,0)，(0， ) (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f
7、(x1)，点 B 处的切线斜率为f (x2)， 又当点 A 处的切线与点B 处的切线垂直时， 有 f (x1)f (x2) 1. 当 x0 时，对函数f(x)求导，得f (x)2x2， 因为 x1x20，所以 (2x12)(2x22) 1， 所以 2x120. 因此 x2x1 1 2 (2x1 2)2x22 2x12 2x22 1， 当且仅当 (2x12) 2x221， - 5 - 即 x1 3 2且 x 2 1 2时等号成立 所以，函数f(x)的图象在点A，B 处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1. (3)当 x1x2x10 时， f (x1) f (x2)， 故 x10x2. 当 x1
8、0 时，函数 f(x)的图象在点 (x2，f(x2)处的切线方程为yln x2 1 x2(xx2)， 即 y 1 x2 xln x2 1. 两切线重合的充要条件是 1 x22x12， ln x2 1 x 2 1 a， 由及 x10x2知， 0 1 x22. 由得， aln x2 1 2x21 21 ln1 x2 1 4 1 x22 21. 令 t 1 x2，则 0t2，且 a 1 4t 2 tln t. 设 h(t)1 4t 2tln t(0t2)， 因为 h (t) 1 2t1 1 t t1 23 2t 0， 所以 h(t)(0th(2) ln 21，aln 21.而当 t(0,2)且趋近于
9、0 时， h(t)无限增大，所以a 的取值范围是(ln 21， )， 故当函数f(x)的图象在点A、B 处的切线重合时，a 的取值范围是 ( ln 21， ) 12(2013 湖南 )已知 a0，函数 f(x) xa x2a . (1)记 f(x)在区间 0,4 上的最大值为g(a)，求 g(a)的表达式； (2)是否存在a，使函数 yf(x)在区间 (0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？ 若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由 解(1)当 0 xa 时， f(x) ax x2a ； 当 xa 时， f(x) xa x2a . 因此， - 6 - 当 x(0，a)时，
10、 f (x) 3a x2a 20，f(x)在(a， )上单调递增 若 a4，则 f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0)1 2. 若 0a4，则 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增 所以 g(a)max f(0)，f(4) 而 f(0)f(4) 1 2 4 a 42a a1 2a ， 故当 0a1 时， g(a)f(4) 4a 42a ； 当 1a4 时， g(a)f(0) 1 2. 综上所述， g(a) 4 a 42a ，01. (2)由(1)知，当 a4 时， f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求 当 0a4 时， f(x)在(0，a)上单调递减，在(a
11、,4)上单调递增 若存在 x1， x2(0,4)(x1x2)，使曲线yf(x)在(x1， f(x1)，(x2，f(x2)两点处的切线互相垂直 则 x1(0，a)，x2 (a,4)，且 f (x1) f (x2) 1. 即 3a x12a 2 3a x22a 2 1. 亦即 x12a 3a x22a .(*) 由 x1(0，a)，x2 (a,4)得 x12a(2a,3a)， 3a x22a 3a 4 2a ，1 . 故(*) 成立等价于集合Ax|2ax3a与集合 B x| 3a 42ax1 的交集非空 因为 3a 42a 3a，所以当且仅当02a1，即 0a 1 2时， AB?. 综上所述，存在a 使函数 f(x)在区间 (0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直， 且 a 的取值范围是0， 1 2 .
