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1、2014 海淀高三数学一模理科第 1 页 共 10 页 海淀区高三年级第二学期期中练习 数学 （理科） 2014.4 一、选择题：本大题共8 小题 , 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一 项. 1. 已知集合 21 1,2, 2 ABy yxxAAB集合则 A. 1 2 B.2 C.1 D. 2. 复数1 i1 iz在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.1 , 0 D. (2,0) 3. 下列函数( )f x图象中，满足 1 ()(3)(2) 4 fff的只可能是 A B C D 4. 已知直线l的参数方程为 1,
2、1 xt yt (t为参数 ) ，则直线l的普通方程为 A.02yxB.02yxC.0 xyD.02yx 5. 在数列 n a中，“ 1 2,2,3,4, nn aan”是“ n a是公比为2 的等比数列”的 A 充分不必要条件B必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 6. 小明有4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面. 他想把 4 个硬币摆成一摞, 且满足相邻两枚硬币 的正面与正面不相对, 不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种 7. 某购物网站在2013 年 11 月开展“全场6 折”促销活动，在11 日当天购物还可以再享受“每张订单金 额（ 6 折后）
3、满300 元时可减免100 元” . 某人在 11 日当天欲购入原价48 元（单价）的商品共42 件，为 使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为 A.1 B.2C.3 D.4 8. 已知(1,0)A，点 B在曲线 :Gln(1)yx上，若线段AB与曲线:M 1 y x 相交且交点恰为线段AB的 中点，则称 B为曲线G关于曲线 M的一个关联点 . 记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则 A0a B1a C2a D2a 1 1 x y O 1 x y O x y O x y O 1 1 1 2014 海淀高三数学一模理科第 2 页 共 10 页 二、填空题 : 本大题共6 小题 , 每小题 5
4、 分, 共 30 分. 9. 一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_. 10. 函数 2 yxx的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于_. 11. 如图，AB切圆O于B，3AB，1AC，则AO的长为 _ 12. 已知圆0 4 1 22 mxyx与抛物线 2 4yx的准线相切，则 m_ 13. 如图，已知ABC中，30BAD，45CAD， 3,2ABAC，则 BD DC _. 14. 已知向量序列： 123 , n a a aa满足如下条件： 1 |4|2ad， 1 21ad且 1nn aad（2,3,4,n）. 若 1 0 k aa，则 k_； 123 |,|,|,|, n aaa
5、a中第 _项最小 . 三、解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 80 分. 解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13 分） 已知函数 ( )2sincos 66 f xxx，过两点 ( ,( ),(1, (1)A t f tB tf t的直线的斜率记为( )g t. （）求(0)g的值； （II ）写出函数( )g t的解析式，求( )g t在 3 3 , 2 2 上的取值范围 . 16. （本小题满分13 分） 为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两 公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记
6、录结果中随机抽取10 天的数据，制表 如下： 甲公司某员工A乙公司某员工B 3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： A B DC 33 8 4 6 俯视图 主视图侧视图 C OB A 2014 海淀高三数学一模理科第 3 页 共 10 页 甲公司规定每件4.5 元；乙公司规定每天35 件以内（含35 件）的部分每件4 元，超出35 件的部分 每件 7 元. （）根据表中数据写出甲公司员工A在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中
7、随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元） ，求X的分布列和数学期望； （）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费. 17. （本小题满分14分） 如图 1， 在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC中点，AEBD于E， 延长AE交BC于F， 将ABD 沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图 2所示 . （）求证：AE平面BCD； （）求二面角ADC B的余弦值 （）在线段AF上是否存在点M使得/ /EM平面 ADC ？若存在 , 请指明点M的位置；若不存在，请说 明理由 . 18. （本小题满分13分） 已知曲线:eax Cy. ( ) 若曲线C在点(0,1)
8、处的切线为2yxm，求实数a和m的值； ( ) 对任意实数a，曲线C总在直线 l :yaxb的上方，求实数b的取值范围 . 19. （本小题满分14 分） 已知,A B是椭圆 22 : 239Cxy上两点，点M的坐标为 (1,0) . （）当,A B两点关于x轴对称，且MAB为等边三角形时，求AB的长； （）当,A B两点不关于x轴对称时，证明：MAB不可能为等边三角形. 20. （本小题满分13 分） 在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点） ( )A n ： 123 , n A A AA与( )B n： 123 , n B B BB，其中3n，
9、若同时满足： 两点列的起点和终点分别相同；线段 11iiii AAB B，其中1,2,3,1in， 则称( )A n与( )B n互为 正交点列 . （）求(3)A： 123 (0,2),(3,0),(5,2)AAA的正交点列(3)B； （）判断(4)A： 1234 0,0),3,1),6,0)(,9,1)(AAAA是否存在正交点列(4)B？并说明理由； （）5nn，N，是否都存在无正交点列的有序整点列( )A n？并证明你的结论. F E D A B C 1图图 2 E BC A D F 2014 海淀高三数学一模理科第 4 页 共 10 页 海淀区高三年级第二学期期中练习数学 （理科） 2
10、014.4 参考答案 一、选择题：本大题共8 小题 , 每小题 5 分, 共 40 分 . 1. C ； 2. D ； 3. D ； 4. A ； 5. B ； 6. B ； 7.C； 8. B； 二、填空题 : 本大题共6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分. 9. 96 ； 10. 1 6 ； 11. 2 ； 12. 3 4 ； 13. 3 2 4 ； 14. 9，3 ； ( 本题第一空3 分，第二空2 分) 三、解答题 : 本大题共 6 小题 , 共 80 分. 15解： （） ( )sin 3 f xx -2分 (1)(0) (0) 1 ff g -3分 3 sinsin 0 3
11、2 . -5分 （） (1)( ) ( )sin()sin 1333 f tf t g ttt tt -6分 sincoscossinsin 33333 ttt -7分 13 sincos 2323 tt -8分 sin() 33 t -10分 因为 3 3 , 2 2 t，所以 5 , 3366 t， -11分 所以 1 sin()1, 332 t， -12分 所以( )g t在 3 3 , 2 2 上的取值范围是 1 ,1 2 -13分 16. 解： （）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. -2分 （）设a为乙公司员工B投递件数，则 2014 海淀高三数学一模理科第 5
12、页 共 10 页 当a=34 时，X=136 元，当a35 时，354(35)7Xa元， X的可能取值为136,147,154,189,203 -4分 说明：X取值都对给4 分，若计算有错，在4 分基础上错1 个扣 1 分， 4 分扣完为止 X的分布列为： X136 147 154 189 203 P 1 10 3 10 2 10 3 10 1 10 -9分 说明：每个概率值给1 分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分 13231 ()136147154189203 1010101010 E X 1655 =165.5() 10 元 -11分 （）根据图中数据，可估算甲公司被抽
13、取员工该月收入4860 元，乙公司被抽取员工该月收入4965 元. -13分 17 （）因为平面ABD平面BCD，交线为BD， 又在ABD中，AEBD于E，AE平面 ABD 所以 AE 平面BCD . -3分 （）由（）结论AE平面BCD可得AEEF. 由题意可知EFBD，又AEBD. 如图，以E为坐标原点，分别以,EF ED EA所在直线 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Exyz -4分 不妨设2ABBDDCAD，则1BEED. 由图 1 条件计算得，3AE，2 3BC， 3 3 BF 则 3 (0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,3),(,0,0),(3,2,0) 3 EDBAFC-5分 (3,1,0),(0,1,3)DCAD. 由AE平面BCD可知平面DCB的法向量为 EA . -6分 设平面ADC的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0. DC AD n n 即 30, 30. xy yz 令1z，则3,1yx，所以(1,3, 1)n.-8分 y z x E B C A1 D F 2014
